2023-2024学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则，间的关系为( )
A. B. C. D.
2.命题：，命题：每个大于的质数都是奇数．关于这两个命题，下列判断正确的是( )
A. 是假命题 B. ：，
C. 是假命题 D. ：存在一个大于的质数不是奇数
3.已知，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
4.设，，下列说法中错误的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，”是“，”的充要条件
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
5.设，，则( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”若函数是“回旋函数”，且，则在上( )
A. 至多有个零点 B. 至多有个零点
C. 至少有个零点 D. 至少有个零点
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
11.已知，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.若满足对任意的实数，都有，且，则下列判断正确的有( )
A. 是奇函数
B. 在定义域上单调递增
C. 当时，函数
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.换算： ______．
14.幂函数在上单调递减，则的值为______．
15.若，则 ______．
16.已知函数定义域为，恒有，时；若函数有个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求值：；
已知，求值：．
18.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知是第三象限角，且．
化简；
若，求；
若，求．
20.本小题分
某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度单位：千米小时和车流密度单位：辆千米所满足的关系式单位：辆小时研究发现：当隧道内的车流密度达到辆千米时造成堵塞，此时车流速度是千米小时．
若车流密度为辆千米．求此时的车流速度；
若车流速度不小于千米小时．求车流密度的取值范围．
21.本小题分
已知函数，对任意，恒有，且当时，有．
Ⅰ求；
Ⅱ求证：在上为增函数；
Ⅲ若关于的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且．
求函数，的解析式；
若关于的不等式在上恒成立，求正实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的求解能力，属于基础题．
根据已知求出集合，然后根据集合的包含关系即可判断求解．
【解答】
解：因为集合，
所以集合，又，
所以，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：令，满足，故命题为真命题，故A错误，
：，，故B错误，
每个大于的质数都是奇数，故命题为真命题，故C错误，
：存在一个大于的质数不是奇数，故D正确．
故选：．
先求出命题，的真假，再结合命题否定的定义，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，，
，，，
又，，
．
故选：．
利用不等式的性质，结合作差法比较大小即可．
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条件，选项A正确；
对于，“”时，“”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，选项B正确；
对于，“，”时，“，”一定成立，反之“，”成立时，，不一定成立，如，，所以“，”是“，”的充分不必要条件，选项C错误；
对于，当，时，满足“”，但不满足“”；当，时，满足“”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，选项D正确．
故选：．
根据充分条件，必要条件的概念判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了充分条件和必要条件的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：；
；
；
；
．
故选：．
根据，，则可求出，，从而得出，通分即可得出答案．
考查对数的运算性质，对数的换底公式．
6.【答案】
【解析】解：现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，
用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，
设圆的半径为，则，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此．
故选：．
设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得．
本题考查了扇形的面积及三角形面积公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为当时，，
所以，
又，所以，
所以，
，
，
所以若，
则的最大值为，
故选：．
根据分段函数的解析式依次求，，，即可．
本题考查了分段函数的求值计算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，，内均至少有一个零点，所以在上至少有个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有个零点．
若，则，此时在上至少有个零点．
综上所述，在上至少有个零点，且可能有个零点，故C错误，D正确；
可能零点个数至少，大于，故B错误；
对于，解法一取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误．
解法二构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有个零点，故A错误．
故选：．
根据已知可得，当时利用零点存在定理，可以判定区间内至少有一个零点，进而判定，，，上均至少有一个零点，得到在上至少有个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有个零点；当时，可以得到，此时在上至少有个零点．从而排除，判定D正确；举特例函数，或者构造函数，可以排除．
本题考查函数的零点，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，A正确；
因为在上单调递减，
所以，B错误；
因为，
所以，即，C正确；
因为在上单调递减，
所以，D错误．
故选：．
由已知结合指数函数，幂函数，对数函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：的定义域为或，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
B.，，定义域都是，定义域和解析式都相同，是同一函数；
C.，，定义域和解析式都相同，是同一函数；
D.与的定义域都是，解析式相同，是同一函数．
故选：．
判断每个选项的两函数的定义域和解析式是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是．
本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：判断定义域和解析式是否都相同，考查了计算能力，属于容易题．
11.【答案】
【解析】解：，由，得，当且仅当时等号成立，
令，则，解得．
所以，即所以的最大值为，A错误，
，由基本不等式得，则，又，得，
所以，所以，解得或舍去，
当且仅当、时等号成立，则的最小值为，B正确，
，令，则，所以，故可化为，整理得，
由，得，即，解得或舍去，C正确，
，，当且仅当时等号成立，D正确，
故选：．
利用基本不等式判断，利用换元法，再借助判别式判断，利用重要不等式判断．
本题主要考查基本不等式的运用，注意换元法的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，令，，则，
即，，不可能是奇函数，选项A不正确；
证明，对于任意，．
假设存在，使得，
则，与矛盾，
故对于任意，，
所以对于任意，，
因为，
所以对任意正整数，，
所以，
同理，
对任意正有理数，显然有是互质的正整数，
则，
对任意正无理数，可得看作是某个有理数列，，，的极限，
而，，所以与的极限，所以，
综上对所有正实数，有，选项C不正确，
设，则，所以，
则，
所以在定义域上是增函数，选项B正确；
由已知，
所以，
所以，选项D正确．
故选：．
利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出判断；先利用证明所有有理数，有，然后用任意无理数都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得，这样可判断，由此再根据单调性定义判断，根据定义计算，然后求得中的和，从而判断．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性在抽象函数中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为所对应的弧长为，
弧长为对应圆心角为，
所以．
故答案为：．
利用弧度制公式求解．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：幂函数在上单调递减，
，解得，
故答案为：．
由幂函数的定义和性质求解．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：若，
则，
则．
故答案为：．
由同角三角函数的关系，结合立方差公式求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了立方差公式，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又因为时，，
所以时，，
时，，
作出函数在上的图像：
若函数有个零点，
所以有四个根，
即有四个根，
所以或共有四个根，
由图可知有三个根，
所以只能有一个根，
所以，
所以，
故答案为：．
作出函数在上的图像，若函数有个零点，则或共有四个根，结合图像可得只能有一个根，即可得出答案．
本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：原式，
，
，
，
，
，
则．
【解析】根据指数幂的运算性质即可求出；
根据指数幂的运算性质即可求出．
本题考查了指数幂的运算性质，考查了运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，
，
，．
是的充分不必要条件，则是的真子集，
，解得
【解析】当时，求得集合，，再利用集合的运算求解即可；
是的充分不必要条件，则是的真子集，列不等式求解即可．
本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是基础题．
19.【答案】解：根据诱导公式有：
；
因为，是第三象限角，
所以，
所以；
因为，
所以
．
【解析】根据诱导公式化简求解；
利用同角三角函数的基本关系以及余弦在各象限的符号进行求解；
利用诱导公式进行大角化小角，负角化正角，再利用特殊角的余弦值进行求解．
此题考查了诱导公式的作用以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．
20.【答案】解：由题意知当辆千米时，千米小时，
代入，得，解得，
所以，
当时，，
故当车流密度为辆千米时，此时车流速度为千米小时．
，
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以．
所以，若车流速度不小于千米小时，则车流密度的取值范围是．
【解析】将，代入函数第二段，得到，解出值，再代入，得到值；
根据中得到的分段函数解析式，在各自范围内解不等式即可，最后取并集．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ根据题意，在中，
令，则，则有；
Ⅱ证明：任取，，且设，则，，
又由，
则，
则有，
故在上为增函数．
Ⅲ根据题意，，
即，则，
又由，则，
又由在上为增函数，则，
令，，则，
则原问题转化为在上恒成立，
即对任意恒成立，
令，只需，
而，，
当时，，则．
故的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据题意，由特殊值法分析：令，则，变形可得的值，
Ⅱ任取，，且设，则，结合，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案；
Ⅲ根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出的值．
22.【答案】解：因为，分别为上的偶函数和奇函数，，
所以，即，
联立可解得，．
不等式可化为，
因为，则，故，
设，则，故，
因为，令，
则，
由，，故，
故在上是增函数，则，
又在时是增函数，
所以，则，
因为在恒成立，所以．
所以正实数的取值范围是．
【解析】由奇偶性有、，即可求解析式；
问题化为上恒成立，应用换元法及函数单调性求不等式右侧取值范围，即可得参数范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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