2022-2023学年上海市市北中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市市北中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、都是实数，则“且”是“且”的条件( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
2.用反证法证明命题：“已知，，若不能被整除，则与都不能被整除”时，假设的内容应为( )
A. ，都能被整除 B. ，不都能被整除
C. ，至少有一个能被整除 D. ，至多有一个能被整除
3.设关于的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知集合，，则______．
6.不等式的解集为______．
7.若角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则的值为______．
8.已知、是方程的两个根，则______．
9.已知，则的最大值为______．
10.已知半径为的扇形的面积为，周长为，则 ．
11.设：，：若是的充分条件，则实数的取值范围为______．
12.已知，则______．
13.若存在实数满足，则实数的最小值为______．
14.如图所示，在锐角三角形空地中欲建一个面积不小于的矩形花园阴影部分，则其边长的取值范围为______．
15.若函数是定义在上的严格增函数，且对一切，满足，则不等式的解集为______．
16.若函数有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求的值；
已知，，求的值．
18.本小题分
设函数，且．
作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数．
19.本小题分
若函数满足，则称函数为“倒函数”．
判断函数和是否为“倒函数”不必说明理由；
若为“倒函数”，求实数，的值；
若但为正数，其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”．
20.本小题分
给出以下定义：设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
判断函数是否为“函数”；
若函数为“函数”，求实数的取值范围；
已知为“函数”，设若对任意的，，当时，都有成立，求实数的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据同向不等式的性质，前者能推出后者，
反之，不成立，比如，，，，推不出前者，
故前者是后者的充分非必要条件，
故选：．
根据同向不等式的性质，前者能推出后者，举反例得到，后者推不出前者，得出结论．
本题考查四个条件的判断，并考查不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．
而命题“与都不能被整除”的否定为“，至少有一个能被整除”，
故选：．
根据用反证法证明数学命题的方法，命题“与都不能被整除”的否定为“，至少有一个能被整除”，从而得出结论．
本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为关于的一元二次不等式与的解集分别为与，
所以，是的解且，恒成立，
由得，．
故选：．
由题意得，是的解且，恒成立，从而可求．
本题主要考查了二次不等式的解集的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：为偶函数
一定在图象上，而，
一定在图象上．
故选：．
利用奇偶函数的定义可判断，从而可以判断选项中的点是否在函数图象上．
本题考查函数的图象，关键在于判断函数的奇偶性，考查学生的分析与转化能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出集合，利用并集定义能求出．
【解答】
解：集合，，
．
故答案为：．
6.【答案】
【解析】解：由不等式可得，，
，
即不等式的解集为．
故答案为：．
利用指数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，
由三角函数定义可知：．
故答案为：．
由题意利用任意角的三角函数的定义即可得出结论．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：、是方程的两个根，
，，
所以，
故答案为：．
通过韦达定理，转化求解表达式的值即可．
本题考查函数零点与方程根的关系，韦达定理的应用，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最大值为，
故答案为：．
利用基本不等式即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积和周长的计算问题，是基础题．
设扇形的圆心角为，半径为，由扇形的面积和周长列两个方程求出和的值．
【解答】
解：设扇形的圆心角为，半径为，
所以该扇形的面积为，
周长为；
由解得，．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：：，：，
若是的充分条件，
令，
集合，
得，即，
实数的取值范围为
故答案为：．
根据充分条件的定义可得关于的不等式组，解出即可．
本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于简单题目，难度不大．
12.【答案】
【解析】解：，，，
，
故答案为：．
先把指数式化为对数式求出，的值，再利用对数的运算性质进行求解．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，当且仅当时，等号成立，
存在实数满足，
则，解得，
故实数的最小值为．
故答案为：．
结合绝对值三角不等式公式，即可求解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，∽，
设矩形的另一边长为，
则，
所以，
由题意可知，则，
即，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：．
设矩形的另一边长为，然后利用三角形相似得出与的关系，再由解出不等式的解集即可求解．
本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到一元二次不等式的解法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：对一切，满足，
对一切，满足，且，
变形为：，
即，又函数是定义在上的增函数，
，即，
解得：，又，
则所求不等式的解集为．
故答案为：．
采用赋值法求出的值；且根据，得到，将所求不等式变形，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．
本题主要考查了其他不等式的解法，利用了赋值法，赋值法是解决抽象函数常用的方法，属于基础题．
16.【答案】，
【解析】解：作出，的图象如图所示；
当时，函数只有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，，有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，不符合题意，
综上所述：实数的取值范围是，．
故答案为：，．
画出函数的图象，分，，，，讨论观察图象可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以；
因为，两边平方，可得，解得，
又因为，
所以，，
所以．
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
将已知等式两边平方，可得，结合范围，利用平方差公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，此时的图象是射线在轴上方的部分保留，下方的部分沿轴翻折到上方，
当时，，此时的图象是先把反比例函数在轴左侧部分向右平移个单位，
再向上平移个单位得，此的图象，然后将所得图象在轴上方的部分保留，
下方的部分沿轴翻折到上方，如图所示，
观察图象得函数的单调递减区间为，；单调递增区间为，，
依题意，关于的方程的解转化为直线与图象的交点的横坐标，如图，
当时，直线与图象无公共点，方程的解的个数为．
当或时，直线与图象有个公共点，方程的解的个数为．
当时，直线与图象有上公共点，方程的解的个数为．
当时，直线与图象有个公共点，方程的解的个数为．
综上所述：当时，方程的解的个数为当或时，方程的解的个数为．
当时，方程的解的个数为当时，方程的解的个数为．
【解析】根据给定条件结合函数和，借助图象变换作出的大致图象，再利用图象写出函数的单调区间．
把方程的解转化为直线与图象的交点即可求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域关于原点对称，
函数的定义域为，显然在定义域内，而不在定义域内，即不是“倒函数”，函数定义域为，而，即不是“倒函数”，
所以函数和都不是“倒函数”．
显然，函数的定义域关于原点对称，又是倒函数，
于是得，则，又，解得，，所以实数、的值分别为，．
证明：因为函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于原点对称，依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数对称，因此，，所以是倒函数．
【解析】求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答．
利用给定定义直接计算可得、的值．
探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答．
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
20.【答案】解：若是为“函数，则满足成立，
即，即，
得，得，得，即是为“函数．
函数为“函数”可知，存在实数，使得成立，且，
，即，
整理得．
当时，，符合题意；
当时，由，即，
解得且，
综上，即实数的取值范围是
为“函数”，
，即，
，即的值为．
则，不妨设，则由成立，得，
即，
得，
令，则在上单调递增
不妨设，则，
得，
令，则在上单调递增，
又，
作出函数图象如图：
由图可知，，故实数的最大值为．
【解析】根据函数的定义，建立方程判断能否求出实数，即可．
根据定义得到，转化为方程有解进行求解即可．
先求出的值，将不等式进行转化，然后构造函数，得到是增函数，利用函数的单调性进行转化求解即可．
本题主要考查函数新定义问题，根据函数的定义，建立方程，转化为方程有解问题是解决本题的关键，是中档题．
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