2022-2023学年北京市朝阳区清华附中望京学校高一（下）开学数学试卷（2月份）（含解析）

2022-2023学年北京市清华附中望京学校高一（下）开学数学试卷（2月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
3.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知下列命题：
若，则；
若，，则；
若，则；
若，则．
其中为真命题的个数是( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的一个( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.方程的解为( )
A. B. C. D.
8.近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度单位：米是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：是常数
如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是( )
参考数据：
A. B. C. D.
9.已知函数给出下面四个结论：
的定义域是；
是偶函数；
在区间上单调递增；
的图像与的图像有个不同的交点．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
10.已知是偶函数，函数对任意，，且，都有成立，且，则的解集是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为______．
12.向量是既有______又有______的量共线向量______是不是平行向量．
13.试写出函数，使得同时满足以下条件：
定义域为；
值域为；
在定义域内是单调增函数．
则函数的解析式可以是 写出一个满足题目条件的解析式．
14.函数的图象与轴相交于点，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，则 ______．
15.设函数，若关于的方程有四个不同的解，，，，，且，则的取值范围是 ，的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，．
Ⅰ当时，求，，；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求的最小值并写出此时的取值集合；
若，求出的单调减区间．
18.本小题分
已知函数．
试用“五点法”画出它的图象；
列表：
作图：
从正弦曲线出发，如何通过图象变换得到函数的图象？两种方法
19.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求的值；
判断函数的单调性并证明；
若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为．
求函数的解析式；
若，的值域是，求的取值范围．
21.本小题分
给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和．
判断、，哪个是规范数集，并说明理由；
任取一个元规范数集，求证：；
当遍历所有元规范数集时，求范数的最小值．
注：、分别表示数集中的最小数与最大数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，又，
．
故选：．
由已知求得，再由交集运算得答案．
本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是幂函数，在区间上单调递增，不符合题意，
对于，，是对数函数，在区间上单调递增，不符合题意，
对于，，是指数函数，在区间上单调递减，符合题意，
对于，，是幂函数，在区间上单调递增，不符合题意，
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
当且仅当时，等号成立；
故的最小值为，
故选：．
利用基本不等式求最值即可，注意“一正，二定，三相等”．
本题考查了基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，
可得：．
那么：．
故选：．
利用诱导公式和二倍角公式即可计算．
本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
利用举反例、不等式的性质、逐项判断即可．
本题考查命题真假的判断以及不等式的性质，属于基础题．
【解答】
解：对于：取，，此时，故错误；
对于：若，，则，
所以，所以，故正确；
对于：若，则必有，则成立，故正确；
对于：若，在两边同时乘以，由可知：，故正确．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：在上为增函数，
，
是的一个充要条件，
故选：．
利用指数函数的单调性，充要条件的定义判定即可．
本题考查了指数函数的单调性，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：方程，两边取以为底的对数，得，
故．
故选：．
根据对数的运算性质计算即可得．
本题考查对数的运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数模型的运用，属于综合题
分别代入两点坐标得，，两式相比结合对数运算得，解出值即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
得，
，
，．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，，
的定义域为，故正确，
对于，，且定义域关于原点原点对称，
故为偶函数，故正确，
对于，，
，，故错误，
对于，由题意可得，，即，
当时，，解得 或，
当时，，解得 或，
综上所述，的图像与的图像有个不同的交点，故正确．
故选：．
对于，由，即可求解，对于，结合偶函数的定义，即可求解，对于，结合特殊值法，即可求解，对于，由题意可得，，即，分类讨论，解出的值，即可求解．
本题主要考查函数的性质，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为是偶函数，
所以的图象关于轴对称，则的图象关于直线对称，
又对任意，，且，都有成立，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减，
则，即，
则，即，解得，即不等式的解集为．
故选：．
分析可知的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，在上单调递减，由此可得解．
本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数有意义，
可得且，
解得且，
则定义域为，
故答案为：．
函数有意义，可得且，解不等式即可得到所求定义域．
本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于和分式的分母不为，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】大小 方向 是
【解析】解：向量是既有大小又有方向的量，共线向量是平行向量．
故答案为：大小，方向，是．
结合向量的概念，即可求解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查函数的基本性质，注意常见函数的定义域、值域和单调性，属于基础题．
根据题意，由幂函数的性质分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，可以为幂函数，
如；
故答案为：答案不唯一．
14.【答案】
【解析】解：由函数的最大值可知，
因为函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，
所以周期，则，解得：，
又函数的图象与轴相交于点，
则，即，，
因为，
所以或，
根据五点作图法可得，
所以．
故答案为：．
由函数的最大值可知，可求周期，利用周期公式可求，由题意可求，结合，根据五点作图法可得，可求函数解析式，即可求解．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查了函数思想，属于中档题．
15.【答案】

【解析】【分析】
本题主要考查方程的根与两函数的图象交点坐标之间的关系应用，以及函数单调性的应用，属于中档题．
作出函数的图象，由图象可知，，，，由函数的单调性即可求解．
【解答】
解：作出函数的图象，
因为方程有个不同的解，，，，，且，由图象可知，因为，关于直线对称，即，
又由图像可知，，则，即
即，可得，
当，解得或则，，
所以，，
令函数，，则在定义域上恒成立，
则函数在上单调递增，．
故答案为： ；．
16.【答案】解：Ⅰ因为集合，，
当时，，
则，，；
Ⅱ因为，则，
则的取值范围为．
【解析】根据集合间的运算可分别求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
17.【答案】由于
，
令，，
解得，，
可得的最小值为，此时的取值集合为；
由，，
可得，，
所以的单调减区间为，，
因为，当时，减区间为；
当时，减区间为．
综上，时的单调减区间为和．
【解析】通过各种公式两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等转化，最终把函数的解析式转化为的形式，即可求出的最小值并写出此时的取值集合．
先求出的单调减区间，令和与取交，即可得出答案．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：五点法列表如下：
图象如图所示：
法由正弦函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的，可得，再向左平移个单位，可得，再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，可得；
法由正弦函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的，可得，再纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，可得，再将函数向左平移，可得
【解析】先由五点法列表，再画出函数的图象；
法先平移再伸缩，法先伸缩再平移可得函数的解析式．
本题考查三角函数的伸缩变换的应用，属于基础题．
19.【答案】解：根据题意，
因为在定义域为上是奇函数，
所以，即；
由知，
可得在上为减函数．
理由：设则，
函数在上是增函数且，
又，
即
在上为减函数．
因是奇函数，从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：，
从而判别式，
即的取值范围是
【解析】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，关键是求出的值．
根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得的值；
有函数的单调性的定义，用作差法证明即可得答案；
由奇函数与单调性的性质分析可得不等式：等价于，由减函数的性质可得，由二次函数的性质分析可得答案．
20.【答案】解：
的最小值为，的最小正周期，解得，
．
由，可得，
的值域为，，
结合函数图象可知，，，
的取值范围为
【解析】先把三角函数式化为最简形式，根据三角函数的性质求出的值，即可求函数的解析式．
先求出，再由的值域为得，最后结合正弦函数的图象即可解决．
本题主要考查三角函数解析式以及三角函数性质的考查，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
21.【答案】解：对于集合，因为，
所以集合不是规范数集；
对于集合，
，，，，，
所以集合相伴数集，即，
故集合是规范数集．
证明：不妨设集合中的元素为，即，
因为为规范数集，则，，则，且，，使得，
当时，则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，，
当且仅当且时，等号成立；
当，时，，
当且仅当时，等号成立；
综上所述，．
解：不妨设，
因为为规范数集，则，，则，且，，使得，
所以对于，同样有，，则，
由的证明过程与结论，可得，
，当且仅当时，等号成立，
即，，，，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值为．
【解析】根据元规范数集的定义，只需判断集合，中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于即可；
利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论，和，三种情况，结合取绝对值的方法即可证明；
利用规范数集的定义和的结论即可得解．
本题考查新定义的理解与运用，分类讨论的熟悉思想方法，属难题．
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