2022-2023学年吉林省长春市博硕学校高一（下）期初数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市博硕学校高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
4.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长外环半径与内环半径之差为，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知角，，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.下列说法错误的是( )
A. 函数的周期是
B. 函数是周期为的奇函数
C. 函数最小正周期为
D. 若对，满足，其中且，则为函数的周期
12.已知定义域为，其函数图象关于直线对称，且，若当时，，则下列结论正确的是( )
A. 为偶函数 B. 的图象关于对称
C. 在上单调递减 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知在半径为的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为，则这条弧的弧长为______．
14.已知，则 ______．
15.若不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
16.已知函数若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
化简函数，并求的值；
若，，求的值．
19.本小题分
某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量万件与广告费万元之间的关系式为已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需再投入万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和．
试写出年利润万元与年广告费万元的关系式；
当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？
20.本小题分
已知实数，函数是定义域为的奇函数．
求函数的解析式；
已知且，若对于，，使得恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由全集，集合，可得，
又由，所以．
故选：．
根据补集的运算，求得，再结合交集的概念及运算，即可求解．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，的否定是，．
故选：．
特称命题的否定是全称命题，把任意改为存在，把结论否定．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由在上单调递增，
且，，
由函数零点判定定理可得，函数零点所在的区间是．
故选：．
判定函数的单调性，求出，，即可得答案．
本题考查函数零点的判定，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：
，
，
，
故选：．
利用对数函数，指数函数，正切函数的性质求解．
本题考查三个数大小的求法，注意对数函数，指数函数，正切函数性质的合理运用．
5.【答案】
【解析】解：，则函数是奇函数，
图象关于原点对称，排除，，
当时，，排除，
故选：．
先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，解得，
所以．
故选：．
利用两角和、差的正弦公式可得，的值，再由同角三角函数的商数关系，求解即可．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差的正弦公式，同角三角函数的商数关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设扇形所在圆的圆心角为，内环的半径，外环的半径为，
则，
因为扇环外环的弧长为，内环的弧长为，
可得，
可得，
所以扇环需要进行工艺制作的面积的估计值为：．
故选：．
根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算，即可求解．
本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数满足对任意实数，都有 成立，
所以函数在上递减，
所以，
解得．
故选：．
易知函数在上递减，由求解．
本题考查分段函数的单调性，以及不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：不等式的解集为，
和是方程的两个根，且，
，，
，，故A错误，B正确，C正确，
，故D正确，
故选：．
由题意可知和是方程的两个根，且，再利用韦达定理求解即可．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了韦达定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，即A正确；
对于，因为，所以，即B错误；
对于，因为，所以，
所以，即C正确；
对于，由选项C可知，，
所以，即D正确．
故选：．
利用诱导公式，逐一判断选项即可．
本题主要考查诱导公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：的最小正周期，故A正确；
，故为偶函数，故B错误；
函数最小正周期为，故C错误；
若对，满足，
则，
则为函数的周期，故D正确．
故选：．
选项，使用进行求解最小正周期；选项，利用定义判断出奇偶性；选项，的最小正周期为；选项，根据周期性的定义即可判断．
本题考查了三角函数的周期性，考查了学生的判断能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为定义域为，其函数图象关于直线对称，所以，
因为，所以，
所以，即，所以为偶函数，所以A正确，
对于，因为为偶函数，且图象关于直线对称，
所以，，，
所以，所以的图象关于对称，所以B正确，
对于，因为，所以，
所以是以为周期的周期函数，
当时，，因为和在上为增函数，
所以在上为增函数，
所以在上单调递增，所以C错误，
对于，因为是以为周期的周期函数，所以，所以D正确．
故选：．
利用函数图象的对称性以及，可得，即可判断，利用函数为偶函数，且图象关于直线对称，分析判断，由可得函数的周期为，再判断在上的单调性，从而可判断在上单调性，即可判断，利用函数的周期性判断，
此题考查函数性质的综合应用，考查了函数的奇偶性、周期性、对称性和单调性的应用，解题的关键是根据已知条件结合对称的定义和周期的定义求出函数的周期，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：此扇形所含的弧长．
故答案为：．
利用弧长公式即计算得解．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，可得．
故答案为：．
根据三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：不等式的解集为，
则，
解得，
实数的取值范围是．
故答案为：．
不等式的解集为，，列出不等式求解即可．
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：，作出函数的图象，如图所示：
有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的实数根，，，，不妨设，且，
函数的图象与有个交点，
由图象可得，，
又，则，
，，
，
故的取值范围是，
故答案为：．
根据分段函数的性质，作出函数图象，可得，，则，，利用二次函数的性质，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
，
，．
是的充分不必要条件，则是的真子集，
，解得
【解析】当时，求得集合，，再利用集合的运算求解即可；
是的充分不必要条件，则是的真子集，列不等式求解即可．
本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是基础题．
18.【答案】解：依题意，，
所以；
因为，，
由知，
所以．
【解析】利用诱导公式化简函数式，再代入求值作答；
利用的结论，结合和角的正切公式求解作答．
本题主要考查了诱导公式，和角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得，产品的生产成本为万元，每万件销售价为：
年销售收入为．
年利润
．
令，则
，
，，即，
当且仅当，即时，有最大值，此时．
即当年广告费为万元时，企业利润最大，最大值为万元
【解析】由题意可得，产品的生产成本为万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入，即求解年利润的表达式；
令，则，利用基本不等式求解最值，即可得到结论．
本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：实数，函数是定义域为的奇函数，
，，，
解得：或舍去，
则；
令，，
是上的增函数，，
令，，，使得恒成立，
等价于成立，
即成立，
当时，在上单调递减，，故，解得，
当时，在上单调递增，，故，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】函数是定义域为的奇函数，根据，即可求解；
对于，，使得恒成立，等价于成立，对分情况根据单调性即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
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