2022-2023学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省眉山市北外附属东坡外国语学校高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，那么的值是( )
A. B. C. D.
4.函数的零点位于区间( )
A. B. C. D.
5.若函数，的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知是上的减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知实数、，满足，，关于、下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.下面命题为真命题的是( )
A. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C. “”是“为单元素集”的充分而不必要条件
D. “”是“”的充分不必要条件
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 在上是增函数
C. 的解集为 D. 的解集为
12.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确有( )
A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有八个解 D. 方程有且仅有一个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知定义在上的奇函数，当时，，则 ______．
14.方程的一根大于，一根小于，则实数的取值范围是______．
15.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式为正常数求得．若，将的物体放在的空气中冷却，则物体冷却到所需要的时间为______．
16.已知函数，，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求值：
Ⅰ；
Ⅱ
18.本小题分
已知集合，．
若，，求实数的取值范围；
若，且，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知关于的不等式的解集为，或．
求，的值
当，，且时，有恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；
Ⅱ当时，求函数的最值．
21.本小题分
党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为元盒，且每万盒猕猴桃的销售收入单位：万元与售价量单位：万盒之间满足关系式．
写出利润单位：万元关于销售量单位：万盒的关系式；利润销售收入成本
当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
22.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；
Ⅱ若对任意的，，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合
故选B
根据全集，集合，易知再根据交集定义即可求解
本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的否定．存在量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查．
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以：“，”的否定是：，．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由分段函数可知，，
，
故选A．
根据分段函数，直接代入进行求解即可．
本题主要考查利用分段函数进行求值问题，直接代入即可，注意分段函数的取值范围，比较基础．
4.【答案】
【解析】解：函数，
，可得，为增函数，
，
，
，
，
所以的零点所在区间为，
故选：．
对进行求导，得到其单调性，再利用零点定理进行判断；
此题主要考查函数零点的判定定理，此题主要函数的定义域，此题是一道基础题；
5.【答案】
【解析】解：函数，则，
可知时，函数是增函数，函数的最大值为，
所以函数的图象为．
故选：．
结合函数的解析式，判断函数的图象即可．
本题考查函数的图象的判断，函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，
又由，
而在单调递减，则，
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性可得，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，涉及不等式比较，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，函数是上的减函数，
，
解得
故的取值范围是．
故选：．
由在上单调递减，确定，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题．
本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
8.【答案】
【解析】解：，不选AB；
令，
设，则，，，，
，，
故选：．
，再构造函数和比大小，可解决此题．
本题考查导数运算、不等式性质、考查数学运算能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质、函数的应用，属于基础题．
利用对数函数单调性判断出 ，再根据不等式的性质得出答案即可．
【解答】
解：由题意得，故，故A正确，
对于，，故B错误；
对于，由，得，则，故C错误；
对于，由，得，故D正确，
故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于中档题．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得且，故必要性成立，
不能推得，因为有可能为，故充分性不成立，
则“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
B.若二次方程有一正根一负根，
则需满足
则“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B正确；
C.当时，是单元素集，
当时，若为单元素集，
由，得，得，
则“”是“为单元素集”的充分而不必要条件，故C正确；
D.当时，显然成立，
由得或，
则“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查函数绝对值，函数的性质，涉及最值、单调性和不等式的解法，属于一般题．
去掉绝对值符号，写成分段函数，作出图象，再逐个判断即可．
【解答】
解：因为
作出图象：
由图象可知，的最大值为，故A正确；
在和递增，在和递减，故B错误；
当时，，故C错误；
当时，
当时，，此时无解，
故的解集为，故D正确，
故选AD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根的存在性及根的个数判断，涉及复合函数单调性的判断，属于一般题．
利用换元法，结合函数的图象依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，设，则由，即，得或或，
则，或，或，
由于是减函数，所以每一个方程都有一个解，
所以方程有且仅有三个解，A正确；
对于，设，若，即，则，所以，因为，所以对应的解有个，B正确；
对于，设，若，即，或或，则，或，或，
因为，所以每个方程对应着三个解，所以共个解，C错误；
对于，设，若，即，所以，则，因为是减函数，所以方程只有解，D正确；
故选：．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，因为为定义在上的奇函数，
所以，又当时，，
所以，则，
则．
故答案为：．
根据题意，根据函数奇偶性求出，再由，即可求出结果．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设，
方程的一根大于，一根小于，
，即，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
设，由题意可知，从而求出的取值范围．
本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：将，，，代入，
，即，
所以，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，
所以的最大值为，
又函数，，
当时，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减，
所以；
因为对于，，使得成立，
则，
所以，当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
依题意得，，可求出的最大值，分和两种情况，由函数的单调性可求解的最大值，列式求解即可．
本题考查了函数恒成立问题，考查函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ
．
Ⅱ
．
【解析】Ⅰ利用指数的性质、运算法则直接求解．
Ⅱ利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：集合，，
，
若，则，，
若，故，解得，
综上：，即实数的取值范围是．
，
由题意得，，
实数的取值范围是．
【解析】根据集合的交集的运算和，分类讨论，求出的范围，
根据集合的并集和，求出的范围．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
19.【答案】因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且
所以，解得．
由知，于是有，
故，当，时等号成立
依题意有，即，
解得．
所以的取值范围为．
【解析】根据题意可得和是方程的两个实数根且，得到关于，的方程组，解得，，即可．
由知，于是有，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数和二次不等式的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】Ⅰ证明：任取，，且．
则
．
，，即．
又，
，即
函数在上单调递增．
Ⅱ解：令，函数化为
由Ⅰ知当时，函数单调递增．
当时，函数有最小值；
当时，函数有最大值．
．
又函数在上单调递增，
当，即时，函数有最小值，即有最小值；
当，即时，函数有最大值，即有最大值
【解析】本题考查函数最值的求法，函数的单调性的证明，属于拔高题．
Ⅰ任取，，且通过求解，证明函数在上单调递增．
Ⅱ令，函数化为利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．
21.【答案】解：当时，，
当时，，
故；
当时，，
故当时，取得最大值，且最大值为，
当时，
，
当且仅当，即负值舍去时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为，由于，
所以销售量为万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为万元．
【解析】根据已知条件，结合利润销售收入成本，分，两种情况讨论，即可求解；
根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
本题考查了分段函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ，即的解集为，
，
，
时，，当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
Ⅱ任意，为减函数，
；
任意，，不等式恒成立，
在上恒成立，
即在上恒成立，
设，其对称轴方程为，
当，即时，在上为增函数，
，即，
，
当，即时，在上为减函数，
，即，
此时为空集，
当时，在为减函数，在上为增函数，
，即，
，
综上所述的取值范围为
【解析】Ⅰ依题意，利用韦达定理可求得，再化简，利用基本不等式，即可求出其最小值；
Ⅱ根据复合函数的单调性，求得，问题转化为在上恒成立在上恒成立，设，再分类讨论，求出，即可求出的范围．
本题考查恒成立问题的求解方法，考查等价转化思想及分类讨论思想的综合运用，考查思维能力与运算求解能力，属于难题．
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