2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：“，”，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.命题“若，则”的逆否命题是( )
A. 若，则， B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.若，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.点在椭圆的内部，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.双曲线的顶点到渐近线的距离等于( )
A. B. C. D.
7.若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知、为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则( )
A. B. C. D.
9.已知命题：，使得，命题：对，，若为真命题，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.点为椭圆上任意一点，，分别为左、右焦点，则的最大值为( )
A. B. C. D. 不存在
11.已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点使得，则该椭圆的离心率的取值范围是
( )
A. B. C. D.
12.已知，是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线，的斜率分别为，，，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是______．
14.已知点，，动点满足条件则动点的轨迹方程为______．
15.已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______．
16.已知椭圆的方程为，、分别为其左右焦点，、两点在椭圆上，且满足，若直线的倾斜角为，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：，：．
若为真命题，求的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程．
经过点，两点的椭圆；
与双曲线有相同的渐近线且经过点的双曲线．
19.本小题分
设命题：实数满足不等式；命题：关于不等式对任意的恒成立．
Ⅰ若命题为真命题，求实数的取值范围；
Ⅱ若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ直线与椭圆相交于，两点，求弦长．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且经过点
求椭圆的标准方程；
若过点的直线交椭圆于，两点，求为原点面积的最大值．
22.本小题分
已知、，为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为．
求点的轨迹方程；
设点的轨迹为曲线，过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点、，中点为，直线为坐标原点的斜率为，求证为定值；
在的条件下，设，且，求直线在轴上的截距的变化范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
即：，，
故选：
根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：双曲线的，，，
右焦点为．
故选：．
把双曲线方程化为标准方程可分别求得和，进而根据求得，焦点坐标可得．
本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出即可得出交点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．
根据命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，写出即可．
【解答】
解：命题“若，则”，
它的逆否命题是“若，则”．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分条件、必要条件．
结合不等式的知识进行分析即可．
【解答】
解：由得出或不能得出，
反之：由得出，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：点在椭圆的内部，
即为，
即有，
解得，
故选：．
将点代入椭圆方程可得，解不等式可得的范围．
本题考查椭圆的方程的运用，点与椭圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．
【解答】
解：由对称性可取双曲线的顶点，渐近线，
则顶点到渐近线的距离．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设该弦所在的直线方程与椭圆交于、两点，
且，，
则，，
则，
，
得：，
则，
即该弦所在的直线方程为：，
即，
故选：．
设该弦所在的直线方程与椭圆交于、两点，且，，则，，则，，，，得：，然后求解即可．
本题考查了直线与椭圆的位置关系，重点考查了点差法，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：将双曲线方程化为标准方程，则，，，
设，则根据双曲线的定义，可得，
，，
，
．
故选：．
根据双曲线的定义，结合，利用余弦定理，即可求的值．
本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，是基础题．
由为真命题，得，均为真命题，分别求出，为真命题的的范围，取交集得答案．
【解答】
解：由为真命题，得，均为真命题，
命题：，使得为真命题，
则；
若命题：对，为真命题，
则．
的取值范围是，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：设，则，，
又易知，，
，
当时，取到最大值，且最大值为．
故选：．
根据椭圆的几何性质及向量运算构建函数模型，通过函数思想，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，函数思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，属于中档题．
设点，由，得，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值范围．
【解答】
解：，是椭圆的左右两个焦点，
离心率，，，，
设点，由，得，
即，
化简得，
联立方程组
整理得，
解得，
又，
，
故选B．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的性质，均值不等式，属中档题．
根据点差法可得，再根据基本不等式可得则的取值范围．
【解答】
解：设，，，
则，，
则．
当，为正时，则．
当，为负时，则的．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：命题“，”是假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
，解得，
实数的取值范围是．
故答案为：．
考虑命题的否定为真，运用判别式不大于，解出即可判断．
本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题与命题的否定的关系、充分必要条件的判断，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
根据双曲线的定义，可得点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，进而得到答案．
【解答】
解：依题意，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
又，，．
，．
所求方程为： ，
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：由椭圆的定义可知，，
，
，解得，，
椭圆的两个焦点是、，
，解得，
，
，
是以，为直角边的直角三角形，
的面积为．
故答案为：．
根据已知条件，结合椭圆的定义，求出，，再结合勾股定理，以及三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查椭圆的定义，考查转化能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，可得四边形为平行四边形，
故直线经过坐标原点，
所以，
所以，所以四边形为矩形，
所以，，
所以离心率．
故答案为：．
根据题意易得四边形为矩形，再根据椭圆的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆的离心率的求解，属中档题．
17.【答案】解：若为真命题，则，即，
即，即，
所以的取值范围：．
记．
当时，．
因为是的必要不充分条件，
所以，
所以，所以，
故实数的取值范围为．
【解析】直接求解一元二次不等式即可得出的取值范围；记当时，，由是的必要不充分条件可得：，进而得出实数的取值范围．
本题考查充分条件与必要条件，考查转化与化归的思想，属中档题．
18.【答案】解：由题意得：要求椭圆经过点，两点，且，
则、分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上，
所以，；
所以椭圆的标准方程为．
根据题意，要求双曲线与双曲线有相同的渐近线，
设要求双曲线的方程为，
代入点，有，
解得：，
所以双曲线的标准方程为．
【解析】根据题意，由椭圆的简单几何性质可得、分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上，求出、的值，即可得答案；
根据题意，设要求双曲线的方程为，代入点，求出的值，即可得答案．
本题考查双曲线、椭圆标准方程的计算，涉及椭圆、双曲线的简单几何性质，属于基础题．
19.【答案】解：若命题为真命题，则，，
即此时实数的取值范围是．
由可知当为真命题时，
当命题为真命题时，，
解得
“”为假命题，“”为真命题
命题和命题一真一假
真假：，得
假真：，得
实数的取值范围是或
【解析】本题考查了复合命题及其真假，属基础题．
Ⅰ根据指数函数的单调性解不等式即可；
Ⅱ“”为假命题，“”为真命题等价于命题和命题一真一假．
20.【答案】解：Ⅰ由题意可得焦点在轴上，且，，可得，
所以，
所以椭圆的方程为：；
Ⅱ联立，整理可得：，可得或，
所以或，
设，，
所以，
即．
【解析】Ⅰ由焦点坐标及长轴长可得，的值，进而求出的值，进而求出椭圆的方程；
Ⅱ联立直线与椭圆的方程，可得，的坐标，求出弦长的值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：由，得，
由椭圆经过点，得，
联立，解得，
所以椭圆的方程是．
易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得
，
令，得，
设，，则，
所以，
因为，
设，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值．
【解析】由，得再由椭圆经过点，能求出椭圆的方程．
设直线方程为将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．
本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算，考查逻辑推理能力和计算求解能力，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
22.【答案】解：设，由题意知：，
化简得：的轨迹方程为；
证明：设的方程为：，设，，
联立曲线方程得：恒成立，
则，，
所以，
则中点为，所以；
由得，
代入得：，，
式平方除以式得：，
而根据对勾函数单调性知在上单调递增，，
，则，
又在轴上的截距为，，
．
【解析】设，根据斜率的坐标运算即可得轨迹方程；
设的方程为：，设，联立直线与椭圆根据交点坐标关系及斜率坐标运算即可得结论；
根据平面向量共线向量的坐标关系得代入中法一的坐标关系中可得，从而转化求解直线在轴上的截距的取值范围．
本题考查圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
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