2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）月考数学试卷（理科）（5月份）（含解析）

2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）月考数学试卷（理科）（5月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. 线性回归直线一定过样本点中心
B. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好
C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D. 在线性回归分析中，相关系数的值越大，变量间的相关性越强
3.已知条件：函数的定义域，条件：的解集，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设为随机变量，且，若随机变量的方差，则( )
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中第项为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，，，表示种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，，，那么此系统的可靠性为( )
A. B. C. D.
7.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
8.设双曲线的左，右焦点分别是，，点是上的点，若是等腰直角三角形，则的离心率是( )
A. B. C. D.
9.将甲、乙、丙、丁名志愿者分配到、两个社区参加防疫工作，每个社区至少去一名，则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为( )
A. B. C. D.
10.若是正奇数，则被除的余数为( )
A. B. C. D.
11.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则( )
A. B. C. D.
12.已知有相同焦点，的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若为坐标原点是等边三角形，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有______种用数字填写答案
14.设随机变量服从正态分布，向量与向量的夹角为锐角的概率是，则 ______．
15.位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是，质点移动五次后位于点的概率为______用数字作答
16.已知，是双曲线的左、右焦点，为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的倍．若该双曲线的离心率为，则______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在的展开式中，求：
各项的二项式系数的和．
设，求各项系数之和．
18.本小题分
已知：，：在上有解．
若，且命题与均为真命题，求实数的取值范围；
若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
甲箱的产品中有个正品和个次品，乙箱的产品中有个正品和个次品．
从甲箱中任取个产品，求这个产品都是次品的概率；
若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
20.本小题分
已知动点到点与点的直线斜率之积为，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作直线与曲线交于，两点，且求直线的方程．
21.本小题分
随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红，有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对高二年级的学生进行网络搜题的情况进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各人进行抽样分析，得到下面列联表．
试运用独立性检验的思想方法分析，并判断是否在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？并说明理由．
经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计
男生
女生
合计
现采用分层抽样的方法，从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取人进行座谈，记男生人数为，求的分布列及数学期望．
附：．
22.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，过点的直线不与轴重合与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，过点作，垂足为点．
求四边形为坐标原点面积的取值范围；
证明：直线过定点，并求出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设双曲线的方程为．
由已知得：，，
再由，，
双曲线的方程为：．
故选：．
根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．
本题主要考查双曲线方程的求解，结合双曲线方程的性质求出，的值是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：对：根据样本点中心：点必在回归直线上，故A正确；
对：由相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故B正确；
对：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，说明总体“距离”越小，即其模型拟合的精度越高，故C正确；
故D：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故D错；
故选：．
对：根据样本点中心：点必在回归直线上，可分析的真假．
对：利用相关指数：越大模型的拟合效果越好判断；
对：对于这组数据的拟合程度的好坏的评价，残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好，即可判断；
对：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，即可判断．
本题考查命题真假的判断，涉及线性回归直线的性质以及残差图、相关性指数的概念，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，条件：函数的定义域，其定义域为，即对应的集合为，
条件：，解可得，即对应的集合为，
易得是的真子集，
故是的充分不必要条件，
故选：．
根据题意，求出、对应的的取值范围，分析两个集合的关系，即可得答案．
本题考查充分必要条件的判断，涉及函数的定义域和不等式的解法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
则，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合方差的公式，以及二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查方差的公式，以及二项分布的概率公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中第项为：．
故选：．
直接利用二项式定理，求解即可．
本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，事件与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，结合事件与它的对立事件的概率之间的关系，求得结果．
【解答】
解析：、、三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，
由间接法知．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：由题意易知直线的斜率存在，设，，
因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为，
联立，消去，得，
则，故，，
则，
所以．
故选：．
联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：是等腰直角三角形，，，，，
，，，
故选：．
是等腰直角三角形，可得，，计算即可．
本题考查双曲线的几何性质，求离心率问题，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：分两种情况：
第一种情况：将甲、乙、丙、丁名志愿者分成人数为，的两组，则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为种；
第二种情况：将甲、乙、丙、丁名志愿者分成人数为，的两组，则甲、乙不在同一社区的分配方法种数为：种；
所以甲乙不在同一社区的分配方法种数为种，
故选：．
分两种情况讨论，采用先分组后安排的办法即可求解．
本题考查了排列组合，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：是正奇数，则
，
它被除的余数为，即它被除的余数为，
故选：．
由题意，本题即求被除的余数，利用二项式定理展开，可得结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望与方差公式的应用，属于中档题．
由条件可知，可直接由求出，再代入检验即可得的值．
【解答】
解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，
由题意，知该群体的位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，即，
因为，可得，解得或
由得，
化简得即．
所以．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：为坐标原点是等边三角形，且，
则，
且，则，，
，，
，
，
所以，
所以．
故选：．
由题意可得，，关系求解即可．
本题考查椭圆的性质的应用及正三角形性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：．
反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出．
本题主要考查组合及简单计数问题，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知向量与向量的夹角为锐角，
则，
即，
又向量与向量的夹角为锐角的概率是，
则，
则，
故答案为：．
由平面向量数量积的运算，结合正态分布曲线的特点及意义求解即可．
本题考查了正态分布曲线的应用，重点考查了正态分布曲线的特点及意义，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，易得位于坐标原点的质点移动次后位于点，在移动过程中向右移动次向上移动次．
则其概率为
故答案为．
根据题意，质点移动次后位于点，则其在移动过程中向右移动次向上移动次，即次独立重复试验中恰有次发生，由其公式计算可得答案．
本题考查次独立重复试验中恰有次发生的概率计算，关键是明确质点移动次后位于点质点在移动过程中向右移动次向上移动次．
16.【答案】
【解析】解：由题意，设，，因为，故，即，
根据双曲线的定义有，故，
所以的面积为，
又，故，
故内切圆半径满足，解得，
又的外接圆半径满足，故，
由题意，即，所以，
故，故，解得．
故答案为：．
根据双曲线的定义，设，，结合利用余弦定理可得，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：的展开式中各项的二项式系数的和为．
根据，
令，，所以．
【解析】直接利用二项式的系数符合的关系式求出结果；
利用赋值法求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的系数，项的系数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：已知：，当时，；
：在上有解，故，解得或，
由于命题与均为真命题，
故，整理得，故实数的取值范围为．
：在上有解，故，解得或，
由于是的充分不必要条件；
所以或，
解得．
故实数的取值范围为．
【解析】直接利用不等式的解法和命题真假的判定求出的取值范围；
利用充分性和必要性求出的取值范围．
本题考查知识点：充分性和必要性的应用，不等式的解法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：从甲箱中任取个产品的事件数为，
这个产品都是次品的事件数为．
这个产品都是次品的概率．
设事件为“从甲箱中任取个产品放入乙箱中，再从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件为“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出个正品个次品”，事件为“从甲箱中取出个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥．
，，，
，，，
．
【解析】本题考查古典概型、互斥事件、条件概率，属于中档题．
从甲箱中任取个产品的事件数为种，再计算出这个产品都是次品的事件数，求比值即可．
从甲箱中任取个产品的所有可能情况为：个产品都是正品、个正品个次品、个产品都是次品，分三种情况分别计算从乙箱中取出的一个产品是正品的概率，再求和即可．
20.【答案】解：动点到点与点的直线斜率之积为，
．
化为：，即为点的轨迹曲线的方程．
当轴时，的方程为：，代入：，解得，．
不符合题意，舍去．
当与轴不垂直时，设的方程为：，代入：，
化为：，
．
设，
则：，，
，解得．
直线的方程．
【解析】由动点到点与点的直线斜率之积为，利用斜率计算公式即可得出．
当轴时，的方程为：，代入：，解得，．不符合题意，舍去．当与轴不垂直时，设的方程为：，代入：，化为：，设，把根与系数的关系代入，解得即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解析：，
能在犯错误的概率不超过的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关．
从偶尔或不用网络搜题的学生中抽取一个容量为的样本，
故男生人，女生人，所以的可能取值为，，，，对应概率分别为：
，，，，
所以的分布列为
，
故的数学期望为．
【解析】由列联表计算观测值，对照临界值得出结论；
由题意得：男生人，女生人，所以的可能取值为，，，，分别计算出它们的概率，由此求出的分布列和数学期望即可．
本题考查独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】解：由题设知，设直线的方程为，，，
由，消去并整理，得，
所以，
，
所以四边形的面积，
令，则，
所以，
因为在上单调递增，，
所以，
故四边形的面积的取值范围为；
由可知直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，
，，
所以，
，
所以直线过定点．
【解析】直线的方程代入椭圆，结合韦达定理得两根关系，求出四边形面积表达式，通过换元及函数的单调性求得取值范围；
由，点坐标写出直线的方程的表达式，令，求出的表达式，两根关系进行化简计算得到定值即可．
本题考查圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
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