四川省宜宾市叙州一中2022-2023学年高二（下）开学数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州一中高二（下）开学数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B. 或
C. 或 D.
4.某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分分，从中随机抽取一个容量为的样本，发现数据均在内现将这些分数分成组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是( )
A. 频率分布直方图中第三组的频数为人
B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为分
C. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为分
D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为分
5.若，满足不等式组则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.在下列函数中，当取正数时，最小值为的是( )
A. B.
C. D.
7.执行如图的程序框图，输出的的值为( )
A. B. C. D.
8.圆与圆的位置关系是．( )
A. 相切 B. 内含 C. 相离 D. 相交
9.已知， ，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
10.已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
11.当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.如图，，是双曲线：的左、右两个焦点．若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡久千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人．”意思是用分层抽样从这三个乡中抽出了人服役，则南乡应该抽出______人．
14.若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点，离心率为，则椭圆的标准方程为______．
15.从装有大小相同的个红球和个白球的口袋内任取个球，下列事件中是互斥事件的序号为 ．
至少有个白球；都是白球．
至少有个白球；至少有个红球．
恰有个白球；恰有个白球．
至少有个白球；都是红球．
16.已知四面体中，和是等边三角形，二面角为直二面角．若，则四面体外接球的体积为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设：实数满足，其中，命题：实数满足；
若且为真，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
如表是某位同学连续次周考的历史、政治的成绩，结果如下：
周次
历史分
政治分
参考公式：，，表示样本均值．
求该生次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量、的线性回归方程．
19.本小题分
已知直线经过点．
若直线与直线垂直，求直线的方程；
若的方程是，直线与相切，求直线的方程．
20.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，、分别是线段、的中点，．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
21.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
若不过原点的直线与抛物线交于、两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标．
22.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于、两点，直线、与直线：交于、两点．
求椭圆的方程；
试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题：，，
则：，．
故选：．
直接写出特称命题的否定得答案．
本题考查特称命题的否定，关键是注意命题否定的格式，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
解出不等式的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得，
由得，
得
则“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
3.【答案】
【解析】解：由的解集为可得，是的解，
由方程的根与系数关系可得，，
，，，
则不等式可得，
整理可得，，
解可得或．
故选：．
由已知结合二次方程与不等式的关系可得，，的关系，然后结合二次不等式的求法即可求解．
本题主要考查了一元二次不等式与二次方程的关系的相互转化，还考查了二次不等式的求解，体现了转化思想的应用．
4.【答案】
【解析】解：分数在内的频率为，
所以第三组的频数为人，故A正确；
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为分，故B正确；
因为，，
所以中位数位于，估计值为，故C正确；
样本平均数的估计值为：
分，故D错误．
故选：．
利用频率分布直方图的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解等能力，体现基础性，导向对发展数学运算、数据处理等核心素养的关注，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，有最大值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质在求解函数的最值中的应用．
分别根据基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质求解．
【解答】
解：，
：，当且仅当时等号成立，即函数的最小值为；
：当时，函数不满足题意；
：令，则，在上单调递增，函数没有最小值；
：，当时，函数的最小值为．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以是以为周期的函数，所以当时，，
故选：．
分别求出当，，，，，的值，发现规律即可求解．
本题考查了程序框图的功能，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．
立足题设由圆的标准方程求出两圆的圆心与半径，据此结合圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径，
则有圆心距，
有，则两圆相交；
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
画出图形，由题意得所求直线的斜率满足 或，用直线的斜率公式求出 和 的值，即可求出直线的斜率的取值范围．
本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．
【解答】
解：如图所示：
由题意得，所求直线的斜率满足 或，
即或，
或，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由题意作图如图，
点到直线：的距离为；
点到轴的距离为；
而由抛物线的定义知．
故点到直线：和轴的距离之和为；
而点到直线：的距离为，
故点到直线：和轴的距离之和的最小值为．
故选：．
作图，化点到直线：和轴的距离之和为，从而求最小值．
本题考查了抛物线的定义及性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，得．
直线过定点，如图，
，当直线与半圆切于时，
由，解得．
当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是．
故选：．
把已知曲线方程变形，由直线方程求得直线过定点，画出图形，数形结合即可求得实数的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，矩形的对角线长相等，
代入，可得，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出，的关系，即可求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定，的关系是关键．
13.【答案】
【解析】解：由分层抽样的定义知南乡应该抽出，
故答案为：
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
14.【答案】或
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
若椭圆的焦点在轴上，
由题意知，则，则，
则有，
此时椭圆的标准方程为：；
若椭圆的焦点在轴上，
由题意知，
，，
解可得；
此时椭圆的标准方程为：；
故椭圆的标准方程为：或．
根据题意，分椭圆的焦点在轴和焦点在轴两种情况进行讨论，每种情况下利用椭圆的简单性质直接分析，求出、的值，代入椭圆的标准方程即可得答案．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的标准方程，注意需要对椭圆的焦点位置分情况讨论，是中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的判断，属于基础题．
利用互斥事件的定义直接求解．
【解答】
解：从装有大小相同的个红球和个白球的口袋内任取个球，
在中，至少有个白球和都是白球能同时发生，不是互斥事件，故错误；
在中，至少有个白球与至少有个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误．
在中，恰有个白球与恰有个白球不能同时发生，是互斥事件，故正确；
在中，至少有个白球与都是红球不能同时发生，是互斥事件，故正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】解：如图，
设为的中心，为四面体的外接球的球心，则平面，
设为线段的中点，外接球的半径为，连接、、，
过作于点，则为的中心，可得，
由已知可得，，故，，
在中，，
，则四面体外接球的体积为．
故答案为：．
由题意画出图形，求解三角形可得多面体外接球的半径，再由球的体积公式得答案．
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由，，又，
所以．
由满足；
得，即为真时，实数的取值范围是，．
当时，，即为真时实数的取值范围是若为真，则真且真，所以实数的取值范围是
Ⅱ是的充分不必要条件，即，反之不成立．
设，，则，
则，且所以实数的取值范围是
【解析】为真，则真且真．分别求出，为真命题时的范围，两者取交集即可．
是的充分不必要条件，即，反之不成立．，设，，则，转化为集合关系．
本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．
18.【答案】解：由题意可知，历史成绩的平均数分，政治成绩的平均数分，
政治成绩的方差；
由表格数据可知，，，
，
又，，
，
，
即两个变量、的线性回归方程是．
【解析】利用平均数和方差的定义求解；
根据数据求出，再利用样本中心点求出的值，进而得到两个变量、的线性回归方程．
本题主要考查了平均数和方差的定义，考查了线性回归方程的求解，属于中档题．
19.【答案】解：直线与直线垂直，
可设直线的方程为，
直线过点，
，解得，
直线的方程为．
的方程化为标准形式是，
圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，
圆心到直线的距离为，直线与相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即，
由直线与相切，得，解得，
直线的方程是，即，
综上所述，直线的方程是或．
【解析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线经过点，即可求解；
化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，然后分类结合点到直线的距离公式求直线的斜率，即可求解．
本题考查直线垂直的性质，考查圆的切线方程的求法，属基础题．
20.【答案】证明：取的中点为，连接，，
四边形是正方形，，，分别是线段，，的中点，
所以且，且，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
解：由知，，
．
【解析】本题考查直线与平面平行的判断定理，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
取的中点为，连接，，证明四边形为平行四边形，然后证明平面；
由题意知，然后求解即可．
21.【答案】解：抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，
且抛物线上有一点，
设抛物线的方程为，到焦点的距离为，
即有点到准线的距离为，
即，解得，
即抛物线的标准方程为：；
证明：由题意知直线不能与轴平行，故直线方程可设为，
与抛物线联立得，消去得，
设，，则，则，，
由，则数量积，
即，所以，即，
亦即，又，解得，
所以直线方程为，易得直线过定点．
【解析】由题意可知抛物线的焦点在轴上，由抛物线的定义可得的值，即求出抛物线的方程；
设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得数量积，进而焦点参数的值，即求出直线恒过的定点的坐标．
本题考查抛物线方程的求法及直线与抛物线的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
22.【答案】解：抛物线的焦点为，
右焦点与抛物线的焦点重合，
可得，
，
由，
联立可知：，，
所求椭圆方程为；
由可知，显然直线的斜率不为零，
当直线的斜率不存在时，即直线方程为，
易知，，
直线：，直线：，
分别在上述两个方程中令可知、，
；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，
设，，则其中、，
直线：，直线：，
分别在上述两个方程中令可知：、，
联立和椭圆方程，消去整理得：，
，，
．
综上所述，为定值．
【解析】求得抛物线的焦点，可得椭圆右焦点，可得，再由离心率公式可得，，的关系，解方程可得椭圆方程；
可知，显然直线的斜率不为零，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时可知直线方程为，的斜率存在时，设直线方程为、、，求得和的方程，求得，的坐标，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，运用向量数量积的坐标表示，化简整理，可得所求定值．
本题考查椭圆的方程和简单性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
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