第一节 变化率与导数、导数的计算（含解析）
考点一、导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即。21·cn·jy·com
【例题分析】
例1、 若f ′(x0)＝2，则 的值为________；
【变式训练】
1、设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f ′(x0)的是( )
A. B.
C. D.
【适应训练】
2、若f ′(x0)＝A，则 ＝________.
考点2.导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
（1）=0（c为常数）； （2）（a为任意常数）；
（3） (4);
(5); (6);
（7）； （8）
2．若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
（1）；
（2）；
（3）（c为常数）；
（4）；
（5）。
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为
yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【例题分析】
例1. 求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋； (3)y＝；
(4)y＝xsincos； (5)y＝ln(2x－5)．
【变式训练】
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
【适应训练】
2．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝3sin 4x.
(4)y＝(1＋)； (5)y＝3xex－ln x＋e ；(6)y＝＋e2x.
考点三、导数的几何意义
（1）函数在点x处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率。也就是说，曲线在点处的切线的斜率是。相应地，切线方程为：。21cnjy.com
(2)函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．
【提醒】求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同．
【例题分析】
考向一、求切线方程
例1．函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )
例2．若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.
【适应训练】
1．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________________．
2．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A．e B．－e C. D．－
3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 014＝________.
【变式训练】
4.已知曲线y＝x3上一点P，求过点P的切线方程．
5．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
考向二、求切点坐标
例1．若曲线＝xln x上点P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点P的坐标是_ _．21教育网
【适应训练】
1．曲线＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
【变式训练】
2．已知曲线y＝－x3＋2与曲线y＝4x2－1在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值
为________．
考向三、求参数的值
例1．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
【适应训练】
1、若曲线＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
2、设直线＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为_____．
【课外作业】
一、选择题
1．已知f(x)＝x(2 014＋ln x)，f′(x0)＝2 015，则x0＝( )
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
2．设曲线＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，
则实数a等于( )
A．－1 B. C．－2 D．2
3．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝( )21世纪教育网版权所有
A. B．－ C. D．－或
4．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是( )
A．f＝f B．f＞f
C．f＜f D．不确定
二、填空题
5．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
三、解答题
6．知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的
切点的横坐标的取值范围．
第一节 变化率与导数、导数的计算（含解析）
考点一、导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即。21世纪教育网版权所有
【例题分析】
例1、 若f ′(x0)＝2，则 的值为________；
【解析】(1)令－k＝Δx，则k＝－Δx，∴原式＝
＝－ ＝－f ′(x0)＝－1.
【变式训练】
1、设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f ′(x0)的是( )
A. B.
C. D.
【解析】令x0－Δx＝x′0，则当Δx→0时，x′0→x0，
∴ ＝f ′(x′0)＝f ′(x0)．
解法2： ＝ ＝f ′(x0).
【适应训练】
2、若f ′(x0)＝A，则 ＝________.
【解析】原式＝
＝ ＋ ＝A＋A＝2A.
考点2.导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
（1）=0（c为常数）； （2）（a为任意常数）；
（3） (4);
(5); (6);
（7）； （8）
2．若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
（1）；
（2）；
（3）（c为常数）；
（4）；
（5）。
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为
yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【例题分析】
例1. 求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋； (3)y＝；
(4)y＝xsincos； (5)y＝ln(2x－5)．
【解析】(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.
(4)∵y＝xsincos＝x sin(4x＋π)＝－x sin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2x cos 4x.
(5)令u＝2x－5，y＝ln u，
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝.
【变式训练】
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
【解析】f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)；故选C
【适应训练】
2．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝3sin 4x.
(4)y＝(1＋)； (5)y＝3xex－ln x＋e ；(6)y＝＋e2x.
【解析】 (1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′＝tan x＋x·′
＝tan x＋x·＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′
＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝(3sin 4x)′＝3cos 4x·(4x)′＝12cos 4x.
(4)∵y＝(1＋)＝2＋x－＋x－x－＋x－.
(5)y′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－＝3xexln 3＋3xex－＝3xexln(3e)－.
(6)y′＝(3－x)－(3－x)′＋e2x(2x)′＝－(3－x)－＋2e2x.
考点三、导数的几何意义
（1）函数在点x处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率。也就是说，曲线在点处的切线的斜率是。相应地，切线方程为：。21教育网
(2)函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．
【提醒】求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同．
【例题分析】
考向一、求切线方程
例1．函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0
【解析】因为 f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，
即x－y－3＝0. 故选C
例2．若函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.
【解析】∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：8
【适应训练】
1．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________________．
【解析】因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，故切线方程
为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.答案：5x＋y－3＝0
2．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )
A．e B．－e C. D．－
【解析】因为 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝，∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，
则x0＝e，∴k＝f′(x0)＝＝.故选C
3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 014＝________.
【解析】f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2 014＝503f1＋f2＋f3＋f4＋f1＋f2＝0.
故答案：0
【变式训练】
4.已知曲线y＝x3上一点P，求过点P的切线方程．
【解析】
(1)当P为切点时，由y′＝′＝x2，得y′|x＝2＝4，即过点P的切线方程的斜率
为4.则所求的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.
(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，则切线方程为y－x＝x(x－x0)，
因为切线过点P，把P点的坐标代入以上切线方程，求得x0＝－1或
x0＝2(即点P，舍去)，所以切点为Q，
即所求切线方程为3x－3y＋2＝0；
综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
【注意】此处误认为点P即为切点，而直接利用导数的几何意义求切线方程，出现此种错误的原因是审题不清，不明确导致的几何意义．21cnjy.com
5．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
【分析】(1)在点P处的切线以点P为切点．
(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．
【解析】 (1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，
则切线的斜率k＝y′＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0.∴x＋x－4x＋4＝0.
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
考向二、求切点坐标
例1．若曲线＝xln x上点P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点P的坐标是_ _．21·cn·jy·com
【解析】设P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．答案：(e，e)www.21-cn-jy.com
【适应训练】
1．曲线＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
【解析】 ∵＝x3＋11，′＝3x2，∴＝3，∴曲线＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故选C。2·1·c·n·j·y
【变式训练】
2．已知曲线y＝－x3＋2与曲线y＝4x2－1在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值
为________．
【解析】∵两曲线在x0处切线互相垂直，∴(－x)·(8x0)＝－1.∴x0＝.故答案：
考向三、求参数的值
例1．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
【解析】∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有
x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，于是解得m＝－2，
故选D.
【适应训练】
1、若曲线＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【解析】因为y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程
得b＝1. 故选A。
【变式训练】
2、设直线＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为_____．
【解析】由已知条件可得k＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标x＝2，切点坐标
为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线y＝x＋b上可得b＝ln2－1.
故答案：ln2－1
【课外作业】
一、选择题
1．已知f(x)＝x(2 014＋ln x)，f′(x0)＝2 015，则x0＝( )
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
【解析】由题意可知f′(x)＝2 014＋ln x＋x·＝2 015＋ln x．由f′(x0)＝2 015，
得ln x0＝0，解得x0＝1. 故选B
2．设曲线＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，
则实数a等于( )
A．－1 B. C．－2 D．2
【解析】∵＝，∴，由条件知＝－1，
∴a＝－1，故选A.
3．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B．－ C. D．－或
【解析】∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.故选D。21·世纪*教育网
4．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是( )
A．f＝f B．f＞f
C．f＜f D．不确定
【解析】依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′，∴f′＝－sin＋2f′，f′＝，
f′(x)＝－sin x＋1，∵当x∈时，f′(x)＞0，∴f(x)＝cos x＋x
在上是增函数，又－＜－＜＜，∴f＜f.故选C
二、填空题
5．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
【解析】∵y′＝，∴k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，
∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.答案：log2e
三、解答题
6．知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的
切点的横坐标的取值范围．
【解析】 (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
