22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形的最大面积
教材分析
学习了一元二次方程的解法之后，利用方程的思想建立方程模型解决实际问题。本课是实际问题的第三课时，通过前两课时的学习，学生看到实际问题能够立即想到列方程。但本课的内容是有关图形的面积问题，难度略大，稍微简单的图形面积问题，前面的学习也涉及到了。在考试中也占据了重要的位置，特别是二次函数中有很多涉及面积问题的实际问题。
课标要求
能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
学情分析
简单的面积问题学生还能有信心，但是本课的难度较大，只能有很少的学生能够独立解决。
教学目标
知识目标：能够找到等量关系列出方程解决问题。能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
能力目标：能理解题意，通过分析明确问题中的各 个数量关系，进而找到等量关系。
情意目标：体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
教学重点：能理解题意，通过分析明确问题中的各个数量关系，进而找到等量关系。
教学难点：找到等量关系列出方程。
教学手段
导学案，教师适当的启发，同学间的交流
教学方法
问答法、练习法、讨论法
教
学
过
程
1、创设情境：:（组织方法）
一、复习引入
（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
（学生口答，老师点评）具体的题再分析
很好：本节用到的有面积知识都在复习环节解决掉了。
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
学生活动：例1．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．设里面的矩形长、宽要比这种设法好
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
由于中考中对学生运算能力的考查一年比一年高，所以针对这类系数较大的一元二次方程也要让学生亲自解一解，不仅要算到带根号为止，还要给出无理数的近似数，让学生代入算一下。
五、归纳小结
本节课应掌握：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P53 综合运用5、6 拓广探索全部．
2．选用作业设计
复习引入为的是能够准确的解决实际问题中的数量关系，
解决哪些教学目标：
能够找到等量关系列出方程解决问题。
体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
本环节的解决教师不要先提示，一定要让学生自己读题后先自己解决，教师通过巡视从学生所列方程中发现学生的思路，从而解释“比例相同”的含义。
学生可能出现的困难：
不理解题意；
不能有条理的分析题中的数量关系；
找不出等量关系；
不会设未知数；
列不出方程。
2、新授：
例2．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 不要
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得： 5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
少移道路等几个经典模型。
学生在学案上独立思考，尝试解答10分钟后。教师根据学生的解答情况进行启发。（为了避免学生不动脑思考，教师的启发问题不印在学案卷上）
提示问题（课件出示）：
1、题中有哪些数量关系？那个数量关系可以用在等量关系中能便于列出方程？
2、求解问题时，通常有两种策略：a直接设未知数求结果；b间接解设未知数。你准备选用那种策略？
3、如果直接设未知数，怎样找等量关系？间接解设未知数，怎样找数量关系？
三、巩固练习
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
四、应用拓展
有关面积的动点问题都可以改编成一元二次方程的应用模型。这种问题的探索空间很大。
例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：）
分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．
（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．
解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．
则：（6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．
（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC==10
∴DQ=
则：（14-y）·=12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．
经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，
∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．
∴本小题只有一解y1=7
3、练习：
1、教材48页8、9题
要求9题B层学生做，A层学生选作。
2、54页11题。(A层选作)
解决哪些教学目标：
能够找到等量关系列出方程解决问题。能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
多角度的看问题，并解决问题。
体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
学生可能出现的困难：
找不出等量关系；
不会设未知数；
列不出方程。
不能准确的解出方程的解。
在头脑中不能出现题所描述的图形。
不能明确此类问题的解答规律
课堂小结：
分析问题时，通常我们怎样入手，怎样找等量关系？
要找基本图形，进而想到对应的面积公式。再从题目中寻找相关的量及他们之间的关系。不能直接解决时，可以寻找相关的量间接设未知数列方程。
板书设计：
实际问题与一元二次方程(3)
创设情境： 练习：
例题： 实际问题：
作业设计：
必做：
半张卷
选作：
2、导航
反思：本课是实际问题的第三课时，通过前两课时的学习，学生看到实际问题能够立即想到列方程。但本课的内容是有关图形的面积问题，难度略大，稍微简单的图形面积问题，前面的学习也涉及到了。在考试中也占据了重要的位置，特别是二次函数中有很多涉及面积问题的实际问题。
第1课时 几何图形的最大面积
教材分析
二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
课标要求
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，能解决简单实际问题。确定自变量的取值范围。
学情分析
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
教学目标
知识目标：通过本节学习，巩固二次函数y=（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
能力目标：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
情意目标：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
教学重点：利用二次函数y=（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题
教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用
教学手段
导学案由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学方法
问答法、练习法、讨论法
教
学
过
程
一、问题探究：
1、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙场25米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，另三边用总长为40米的栅栏围住，（如图）。若设绿化带的BC边长为x米，绿化带的面积为y平方米，1）、求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，2）、当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大。
解决哪些教学目标：
教师提出简单利润问题，引导学生思考，培养学生求知欲。
结合周测说明自变量取值范围的重要性。
学生可能出现的困难：
公式使用混乱
例题：某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
B（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
练习：1、某商店经销一种成本为40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）当销售单价定为多少时，月销售利润最大？
B（3）商店在月销售成本不超过10000元的情况下，销售单价应定为多少时，能使月销售利润最大？
二、小结：（2分钟。加深理解）
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在 内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
注意 ：当自变量取值范围受限制时，最值不一定在时取到。
三、课堂小测：
某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
x
销售量y（件）
销售玩具获得利润w（元）
（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？解析式必须化到最简。
四．课堂小结
板书设计：
二次函数应用（1）
创设情境： 练习：
例题： 实际问题：
教师与学生共同分析，寻找解决问题的方法，培养学生的探索精神，让学生初步感受到数学的使用价值。
让学生必须从题中挖出隐藏条件。
利用二次函数的顶点坐标解决生活中的最大值，（或最小值）问题的一种常用的方法。
运用函数知识解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。
学生可能出现的困难：
套用公式的时候，不能理解每个字母，每个式子的意义，公式使用混乱。
自变量取值范围确定不准。函数关系式列不出来。
自变量的取值范围对最值的确定有影响，但是学生不知道该如何处理
一次函数与二次函数综合解决实际问题，难度增大了，学生会感到很难。
在头脑中不能出现题所描述的图形。
反思：本节的复习是有关利润与销价的变化之间的关系，这种模型虽然已经多次讲授，可学生尤其是个别几个学生对这类问题就是不感冒。其它同学在函数与方程之间的转化还成问题。
第1课时 图形面积的最大值学习目标
1.经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
教学过程
一、情境导入
孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为米．矩形ABCD的面积为S平方米．当为何值时，S有最大值？并求出最大值．
二、合作探究
探究点：最大面积问题
【类型一】利用二次函数求最大面积
例1小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数.（1）矩形一边长为x，则另一边长为，从而表示出面积；（2）利用配方法求出顶点坐标.
解：（1）根据题意，得S=·x=-.自变量x的取值范围是.
（2）S=-=-（，
因为，所以S有最大值，即当（米）时，S最大值是225（平方米）.
方法总结: 二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．
【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件
例2（2014江苏淮安）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
解析：（1）先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；（2）已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；（3）判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．
解：（1）()
（2）当y=60时，，
解得
所以当x=10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米．
（3）方法一：当y=70时，，整理得：，
由于，因此此方程无实数根，
所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．
方法二：当y＝70时，，整理得：，
配方，得（x－8）2＝－6，因此此方程无实数根，
所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．
方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．
【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件
例3如图，用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．
解析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．
解：连结EC，作DF⊥EC，垂足为F．
∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，
∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°．
∵DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE=30，
∴∠CEA=∠ECB=90°．
∴四边形EABC为矩形，
∴AE=6－DE =6－x，DF=x，EC=．
∴S=．
故当时，m2．
例4现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
分析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.
解：（1）由题意知，场地宽为，
∴， 自变量的取值范围为．
（2），
当时，种植菊花的面积最大， 最大面积为225m2．
【类型四】最大面积方案设计
例5施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）.
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数关系式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下.
解：（1）M（12，0），P（6，6）.
（2）设这条抛物线的函数关系式为y=a(x-6)2+6 ,
因为抛物线过0(0,0),
所以a(0-6)2+6=0,解得,
所以这条抛物线的函数关系式为:y=-(x-6)2+6,即.
(3)设OB=m,米,
则点A的坐标为(m, -m2+2m),
所以AB=DC=.
根据抛物线的轴对称,可得:OB=CM=m,
所以BC=12-2m, 即AD=12-2m,
所以＝AB+AD+DC
=
=
=
所以当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米.
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地可出变化情况.
课件12张PPT。课件12张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 几何图形的最大面积提出
问题知识
要点典例
精析巩固
训练
第1课时 几何图形的最大面积 计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，如图，现有一张半径为45mm的磁盘．（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同．最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？（1）磁盘最内磁道的半径为r mm，
其上每0.015mm的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？一、情景导入首页 问题1： (1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？
(0自变量的取值范围； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？
最大面积是多少？
首页(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?问题3：何时面积最大 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.MN首页(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.xmbm首页问题4：何时窗户通过的光线最多某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?首页 例1： 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米首页例２：有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）．
（1）当x=0时，S=_____________；
当x = 10时，S =______________；
（2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式；
（3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式；
（4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．首页 见《学练优》第45页课堂达标训练第5、6、7、8、9题首页1.理解问题;“二次函数应用” 的思路 学习了本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等.三、课堂小结首页四、课外作业首页课件18张PPT。第1课时 几何图形的最大面积整理后得 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．写出S与l间的函数关系式，你能求出S的最大值吗？ 解： ， ∴ 当 时，S 有最大值为 ．当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．（0＜l＜30）．（ ）（ ）想一想 (1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？
(0为24 m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆
的长方形花圃。设花圃的宽AB为x m，
面积为S m2。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取
值范围；例1、如图，在一面靠墙的空地上用长
为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆
的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm，
面积为Sm2。
(2)当x取何值时，所围成花圃的面积最
大？最大值是多少？范例范例例1、如图，在一面靠墙的空地上用长
为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆
的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm，
面积为Sm2。
(3)若墙的最大可用长度为8m，求围成
的花圃的最大面积。何时窗户通过的光线最多例2：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?例3：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，
BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的
速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的
速度移动。如果P、Q分别从A、B同时
出发，设△PBQ的面积为
S(cm2)，移动时间为t(s)。
(1)求S与t的函数关系；1.某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。
2.窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？(计算麻烦)
练一练：3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120o的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长？
巩固4、如图，正方形ABCD的边长是4，
E是AB上一点，F是AD延长线上一点，
BE=DF。四边形AEGF是矩形，则矩
形AEGF的面积y随BE的长x的变化而
变化，y与x之间可
以用怎样的函数来
表示？巩固5、如图是一块三角形废料，∠A=30°，
∠C=90°，AB=12。用这块废料剪出一
个长方形CDEF，其中，点D、E、F分
别在AC、AB、BC上。要使剪出的长方
形CDEF的面积最大，点E应选在何处？巩固6、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=
6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边
向B以1cm/s的速度移动；点Q从B开始
沿BC边向C以2cm/s的速度移动。如果
P、Q同时出发，问经过几秒钟,
△PQB的面积最大？最大面积
是多少？7.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2
（2）设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围；
t为何值时S最小？求出S的最小值。 8.二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。（04杭州）
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；2xy1B1AO-1＜a＜09.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方). (1)求A、B两点的坐标；（2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S 与t的函数表达式；(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？ 1.理解问题;“二次函数应用” 的思路 学习了本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的方法吗？与同伴交流.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展等. 四、课外作业第2课时 商品利润最大问题
知识点1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。
2、抛物线的顶点是它的最高（低）点，当x= 时，二次函数有最大（小）值y=。
一、选择题
1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品的售价为x元，则可卖处(350-10x)件商品。商品所获得的利润y元与售价x的函数关系为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、某产品的进货价格为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）
A、130元 B、120元 C、110元 D、100元
4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数（t单位s，h单位m）可用来描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（ ）
A、0.71s B、0.70s C、0.63s D、0.36s
5、如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），，则y关于x的函数图像大致为（ ）
A B 第5题 C D
6、已知二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①abc＞0；
②＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则其中正确的结论的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
7、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A B C 第7题 D
8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）
A、x=10,y=14 B、x=14,y=10 C、x=12,y=15 D、x=15,y=12
第6题 第8题
二、填空题
1、已知卖出盒饭的盒数x（盒）与所获利润y（元）满足关系式：，则卖出盒饭数量为 盒时，获得最大利润为 元。
2、人民币存款一年期的年利率为x，一年到期后，银行会将本金和利息自动按一年期定期存款储蓄转存。如果存款额是a元，那么两年后的本息和y元的表达式为
(不考虑利息税)。
11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：若这种衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，则商场降价后每天的盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式 。
3、已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当时，x的值= .
?
4、如图，抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为
14、如图，点P在抛物线y=x2-4x+3上运动，若以P为圆心，为半径的⊙P与x轴相切，则点P的坐标为 。
5、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小．
三、解答题
1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？
2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量x（元）有如下的关系：w=-2x+80。设这种产品每天的销售利润为y（元）。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？
3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间满足函数关系式，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。问
（1）该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间的函数关系式；
（2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？
（3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。
4、（黄冈）某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越来越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变）
5、（长沙）在长株潭建设两型社会的过程中。为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备 ，进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：。（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（件）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。若出去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的单位。（选 作）
参考答案
选择题1、D 2、B 3、B 4、D 5、D 6、B 7、B 8、D
二.填空题 1、600 240000 2、 3、 4、 5、0.16
6、（-2,1） 7、3
三．解答题1、解：设每天的房价为60+5x元， 则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间． ∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30． ∴y=（30-x）?5?（8+x） =5（240+22x-x2） =-5（x-11）2+1805． 因此，当x=11时，y取得最大值1805元， 即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。
2、解：（1）y=（x-20）w =（x-20）（-2x+80） =-2x2+120x-1600， ∴y与x的函数关系式为： y=-2x2+120x-1600；（3分） （2）y=-2x2+120x-1600 =-2（x-30）2+200， ∴当x=30时，y有最大值200， ∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（6分） （3）当y=150时，可得方程： -2（x-30）2+200=150， 解这个方程，得 x1=25，x2=35，（8分） 根据题意，x2=35不合题意，应舍去， ∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
3、解：（1）把点（3，9），（4，16）代入函数关系式：
解得：
∴y=-x2+14x-24 （2）当时，
∴7月份获得最大利润，最大利润是25万元． （3）当y=0时，有方程： x2-14x+24=0 解得：x1=2，x2=12． 所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数， 因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份．
4、解：（1）设件数为x，依题意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50， 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x， 当10＜x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x2+700x 当x＞50时，y=（2600-2400）x=200x
∴y=
600x(0≤x≤10，且x为整数)
?10x2+700x(10＜x≤50，且x为整数)
200x(x＞50，且x为整数)
（3）由y=-10x2+700x可知抛物线开口向下，当x=35时，利润y有最大值， 此时，销售单价为3000-10（x-10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为2750元．
5、解：（1）∵25＜28＜30，
y＝
40?x(25≤x≤30)
25?0.5x(30＜x≤35)
∴把x=28代入y=40-x得， ∴y=12（万件）， 答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件； （2）①当?25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25， 故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万； ②当30＜x≤35时，
W=（25-0.5x）（x-20）-25-100==
故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万； 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万； （3）①当?25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x2+61x-862.5≥67.5， -x2+61x-862.5≥67.5， 化简得：x2-61x+930≤0? 解得：30≤x≤31， 当两年的总盈利不低于67.5万元时，x=30； ②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-
化简得：x2-71x+1230≤0? 解得：30≤x≤41， 当两年的总盈利不低于67.5万元时，30≤x≤35， 答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售
单价的范围是30≤x≤35．
第2课时 商品利润最大问题
学习目标:
1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程:
一、情景导学：
1、问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
问题1、总利润= × ，单件利润= — 。
2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
3、根据前面的分析我们若设每个涨价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是 ，化为一般式 。这里y是x的 函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。
二、做一做：
例题1、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
例题2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
三、训练：
1.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
四．活动与探究
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价)．
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．
(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少?
课后巩固:
1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，
下列说法正确的是 ( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，
则下列结论中正确的是( )
A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
3、x＝3时，y有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3) 、求符合条件的二次函数解析式。
4、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。现在他采用提高售出价，减 少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润最大？并求出最大利润。
5、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，
可获利润 Q＝－2＋＋160(万元)．
(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？
(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 商品利润最大值问题
学习目标
1.经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题
教学过程
一、情境导入
红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？
二、合作探究
探究点一：最大利润问题
【类型一】利用解析式确定获利最大的条件
例1 为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档）的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润越大？请你为该工厂的生产提出建议．
分析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润 = 一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．
解：设该厂生产第档的产品一天的总利润为 元，则有
=
=．
当=8时，．
由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．
建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．（其它建议，只要合理即可．
方法总结: 本题取材于工业生产，是一道关于二次函数的经济决策型应用题，解题时要全面考虑已知条件，找出正确的数量关系，通过建立函数模型，选择最优方案，提出合理化的建议，获得最大的经济效益，体现了数学的应用价值，并引导我们共建节约型社会．
【类型二】利用性质确定最大利润
例2（2014辽宁本溪）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同.销售中发现A型汽车的每周销量yA（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yA=-x+20 ， B型汽车的每周销量yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式yB=-x+14.
(l） 求A 、B 两种型号的汽车的进货单价：
(2） 己知A型汽车售价比B型汽车的售价高2 万/台，设B型汽车售价为t 万元／台．每周销售这两种车的总利润为W万元．求W与t的函数关系式，A、B 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
分析：（1）利用花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等列方程求解；
（2）分别表示出两种汽车的利润进而得出函数关系式求出最值即可．
解：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，
依题意得：=，
解得：m=10，
检验：m=10时，m≠0，m﹣2≠0，故m=10是原分式方程的解，
故m﹣2=8．
答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；
（2）根据题意得出：
W=（t+2﹣10）[﹣（t+2）+20]+（t﹣8）（﹣t+14）
=﹣2t2+48t﹣256，
=﹣2（t﹣12）2+32，
∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当t=12时，W有最大值为32，
12+2=14，
答：A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元．
【类型三】利用图象解析式确定最大利润
例3（2014·福建莆田）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1所示（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2-8mx+n，其变化趋势如图2所示.
（1）求y2的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
图1 图2
解：（1）由题意可得，函数y2的图象经过两点(3,6),(7,7)
∴ 解得
∴y2的解析式为y2=x2—x+（1≤x≤12）
（2）设y1=kx+b ∵函数y1的图象过两点（4，11），（8，10）
∴ ，解得
∴y1的解析式为y1= —x+12（1≤x≤12）
设这种水果每千克所获得的利润为w元
则w=y1—y2=(—x+12)—(x2—x+)= —x2+x+
∴w=—(x—3)2+ （1≤x≤12）
∴当x=3时，w取最大值
∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大
最大利润是元/千克.
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.
课件13张PPT。课件14张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 商品最大利润提出
问题知识
要点典例
精析巩固
训练第2课时 商品最大利润 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称
轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛
物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当
a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，
是 。抛物线上小下大高低 1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .抛物线直线x=h(h，k)基础扫描 首页 3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点
坐标是 。当x= 时，y的最 值是 。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点
坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点
坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。直线x=3(3 ，5)3小5直线x=-4(-4 ，-1)-4大-1直线x=2(2 ，1)2小1首页 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？一、情景导入首页某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来看涨价的情况．即y = （60＋x）(300－10x) －40 （300－10x）（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化的函数式．涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为( 60＋x )( 300－10x )，买进商品需付出40 ( 300－10x )y = －10x2+100x+6000怎样确定x的取值范围？其中，0≤x≤30.二、合作探究探究点一 二次函数与一元二次方程首页根据上面的函数，填空： 当x = ________时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，
即定价_________元时，利润最大，最大利润是___________.y = －10x2+100x+6000 5 5 65 6250其中，0≤x≤30.首页(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论自己得出答案．分析：我们来看降价的情况．（2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化的函数式．降价x元时，每星期多卖18x件，实际卖出（300+18x）件，销售额为( 60－x )( 300+18x )，买进商品需付出40 ( 300+18x )，因此所得的利润y = ( 60－x )( 300+18x ) － 40 ( 300+18x )即y = －18x2+60x+6000当首页 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？首页例1：为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档）的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润越大？请你为该工厂的生产提出建议．我来当老板首页解：设该厂生产第档的产品一天的总利润为 元，则有
= = .当x=8时， ．
由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．
建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．（其它建议，只要合理即可．首页例2： 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.若每个橙子市场售价约2元，问增种多少棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高约为多少？首页 见《学练优》第47页课堂达标训练第1、2、3、4、5、6、7题首页 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围.
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值. 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值三、课堂小结首页学.科.网四、课外作业首页课件13张PPT。22.3 实际问题与二次函数
（第2课时） 问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 6000 （20+x）（300-10x） (20+x)( 300-10x) (20+x)( 300-10x) =6090 分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润
可表示为 元，每周的销售量可表示为
件，一周的利润可表示为
元，要想获得6090元利润可列方程 。
构建二次函数模型解决 一些实际问题 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格?，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？ 若设定价每件x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示
为 件，一周的利润可表示
为 元，要想获得6090元利润可列方程 . （x-40）[300-10(x-60) ](x-40)[300-10(x-60)] (x-40)[300-10(x-60)]=6090问题2：某商店经营Ｔ恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低１元，就可以多售出200件．
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？设销售单价为 x（ x ≤13.5）元，那么（1）销售量可以表示为__________________;
（2）销售额可以表示为____________________；
（3）所获利润可以表示为____________________；
（4）当销售单价是_____________元时，可以获得最大利润，最大利润是___________________．3200－200x3200x－200x2－200x2＋3700x－80009.25元9112.5元某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售那么半月内可售出400件，根据销售经验，推广销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？1. 当销售单价提高5元，即销售单价为35元时，可以获得最大利润4500元．提示：设销售单价为x(x≥30)元，销售利润为y元，则y = ( x－20 )[400－20(x－30)]=－20x2＋140x－20000由讨论及现在的想做状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)运用函数来决策定价的问题: 某商场第一年销售计算机5000台,如果每年的销售量比上一年增加的百分率相同的百分率为x,写出第三年的销售量增加百分比的函数关系式解：依题意y = 5000 (1+x ) 2
例1：已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，
每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期
可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元） zxxk(0≤x≤30)怎样确定x的取值范围解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)
=(20-x)(300+20x)
=-20x2+100x+6000
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元. 答:综合以上两种情况，定价为65元时可
获得最大利润为6250元.由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围做 一 做1.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（200－x）件，应该如何定价才能使利润最大？2.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？ 在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？ 3.某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件.设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ zxxk
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
知识点：
利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。
一、选择
1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=-2x2 B．y=2x2 C、 D 、
第1题 第2题 第3题 第4题
2、有长24m的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm，面积是sm2，则s与x的关系式是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（ ）
A、y=（60+2x）（40+2x） B、y=（60+x）（40+x）
C、y=（60+2x）（40+x） D、y=（60+x）（40+2x）
5、如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A、y=36（1-x） B、y=36（1+x） C、 D、
7、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
A、 B、 C、 D、
第5题 第7题 第8题
8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A、4米 B、3米 C、2米 D、1米
二、填空题
1、一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数解析式是
2、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它
的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为
第10题 第13题 第14题 第15题
3、二次函数中，，且x=0时y=4,则y的最 （大或小）值=
4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是
5、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面OA为1m，球路的最高点为B（8,9），则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出约 米。
6、如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是 米。
7、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0,1.25)，水流路线最高处M（1，2.25），则该抛物的解析式为 。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 m，才能使喷出的水流不至落到池外。
8、某文具店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售（6-x）个，则当
x= 时，一天出售这种文具盒的总利润y最大。
9、某一型号的飞机着陆后滑行的距离y（米）与滑行时间x（秒）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行 米才能停下来。
10、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC,BC为斜边在的同侧作两个等要直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 。
第18题
三、解答题
1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为xcm的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积Scm2随x的变化而变化。
（1）请直写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
2、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O为原点米，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系。
（1）直接写出点M的坐标及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD-DC-CB,使C,D点在抛物线上，A,B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
3、大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为40元的小家电，通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，其图像如图所示。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设王强每月获利为P元，求P与x之间函数关系式；要想销售利润最大，那么销售单价应定为多少？
4、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看作一个点）的路线是抛物线的一部分，如图所示。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
5、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40个小时内，水面与河底ED的距离h（米）随时间（时）的变化满足函数关系：，且当顶点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？
参考答案
一．选择题1、C 2、A 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、A
二．填空题1、 2、 3、小， 3 4、12.5 5、，16.5 6、6
7、 8、3 9、600 10、1
三．解答题
1、
2、
3、
4、
5、
第3课时 桥拱问题和运动中的抛物线
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题.
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策.
教学过程
一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物（如图所示），大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？
二、合作探究
探究点一：建立二次函数模型
【类型一】运动轨迹问题
例1 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图6-4-10，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．
⑴建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点（顶点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x=1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．
解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A（0，），B（4，4），C（7，3），其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y=a（x—h）2+k，将点A、B的坐标代入，
可得y= —（x—4）2+4．
将点C的坐标代入解析式，得左边=右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中．
⑵将x=1代入解析式，得y=3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
例2如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4=7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2=5）
解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA=1，OB=6，BM=4，所以点A的坐标为(0,1),顶点M的坐标是(6,4).根据顶点式可求到抛物线关系式.因为点C在x轴上,所以要求OC的长,只要把点C的纵坐标y=0,代入函数关系式,通过解方程求到OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米,实际就是求DB的长.求解的方法有多种.
解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4, 由已知：当x=0时y=1,即1=36a+4,所以a=-
所以函数表达式为y=-(x-6)2+4或y=-x2+x+1.
(2) 令y=0,,则-(x-6)2+4=0, 所以(x-6)2=48,所以x1=4+6≈13,x2=-4+6<0(舍去）． 所以足球第一次落地距守门员约13米． （3）如图，第二次足球弹出后的距离为CD,根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位） 所以2=-(x-6)2+4,解得x1=6-2,x2=6+2, 所以CD=|x1-x2|=4≈10. 所以BD=13-6+10=17(米）．
方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件.常有两个步骤：（1）根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；（2）应用有关函数的性质作答.
【类型二】拱桥、涵洞问题
例3（2014湖北潜江）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米.水面下降1米时，水面的宽度为
米.
解析：如图，建立直角坐标，设这条抛物线为y=ax2，把点（2，-2）代入，得-2=a×22，a=?， ∴y=?x2，当y=-3时，?x2＝?3，x＝±．故答案为.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）将实际问题中的数量转化为点的坐标；（3）设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；（4）利用函数关系式解决实际问题. 例4如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2) 求出这条抛物线的函数关系式；
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标二次函数关系式为，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD+DC+CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．
解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6).
(2) 设此函数关系式为：.
因为函数经过点(0，3)，
所以，即.
所以此函数关系式为：.
(3) 设A(m，0)，则B(12-m，0)，
C，
D .
即“支撑架”总长AD+DC+CB
=
= .
因为此二次函数的图象开口向下.所以当m = 0时，AD+DC+CB有最大值为18.
例5如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图6-4-4 ②中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
解析：观察图②的图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2＋6．又因为AB＝20，所以OB＝10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值．
解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2＋6．
依题意，得B（10，0）．
∴a×102＋6＝0．
解得a=－0.06．即y=－0.06x2＋6．
当y=4.5时，－0.06x2＋6=4.5，解得x=±5．
∴DF＝5，EF＝10．
即水面宽度为10米．
方法总结: 将桥拱抽象化为数学问题中的抛物线，利用一些数据转化为抛物线上的某些点的坐标，利用二次函数性质即可以解决问题.
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题.
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
学习目标:
1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程:
一、预备练习：
1、如图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB∥x轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是 ，点B的坐标为 ；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为 。
二、新课导学：
例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
三、课堂练习：
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=，当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米 B、6米； C、8米； D、9米
2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示.
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
学习目标：会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，
在运用中体会二次函数的实际意义．
重点、难点
1.重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题
2.难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题
导学过程：阅读教材P25, 完成课前预习
【课前预习】
探究1：
如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
探究2：
图26．3-2中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m。水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？(多种方法)
【课堂活动】
活动1：预习反馈
活动2：典型例题
例1．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
活动3：随堂训练
1. 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中?
（选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
活动4：课堂小结
【课后巩固】
1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
2.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
3.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
第3课时 桥拱问题和运动中的抛物线
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题.
2.能运用二次函数的图象与性质进行决策.
教学过程
一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物（如图所示），大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？
二、合作探究
探究点一：建立二次函数模型
【类型一】运动轨迹问题
例1 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图6-4-10，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．
⑴建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
分析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点（顶点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x=1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．
解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A（0，），B（4，4），C（7，3），其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y=A（x—h）2+k，将点A、B的坐标代入，
可得y= —（x—4）2+4．
将点C的坐标代入上式，得左边=右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中．
⑵将x=1代入函数式，得y=3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
例2如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4=7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2=5）
分析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点A和顶点M的坐标，因为OA=1，OB=6，BM=4，所以点A的坐标为(0,1),顶点M的坐标是(6,4).根据顶点式可求到抛物线关系式.因为点C在x轴上,所以要求OC的长,只要把点C的纵坐标y=0,代入函数关系式,通过解方程求到OC的长.要计算运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米,实际就是求DB的长.求解的方法有多种.
解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a(x-6)2+4, 由已知：当x=0时y=1,即1=36a+4,所以a=-
所以函数表达式为y=-(x-6)2+4或y=-x2+x+1.
(2) 令y=0,,则-(x-6)2+4=0, 所以(x-6)2=48,所以x1=4+6≈13,x2=-4+6<0(舍去）． 所以足球第一次落地距守门员约13米． （3）如图，第二次足球弹出后的距离为CD,根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位） 所以2=-(x-6)2+4,解得x1=6-2,x2=6+2, 所以CD=|x1-x2|=4≈10. 所以BD=13-6+10=17(米）．
方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件.常有两个步骤：（1）根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；（2）应用有关函数的性质作答.
【类型二】涵洞通行问题
例3（2014湖北潜江）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米.水面下降1米时，水面的宽度为
米.
解析：如图，建立直角坐标，设这条抛物线为y=ax2，把点（2，-2）代入，得-2=a×22，a=?， ∴y=?x2，当y=-3时，?x2＝?3，x＝±．故答案为.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：（1）建立合适的平面直角坐标系；（2）将实际问题中的数量转化为点的坐标；（3）设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；（4）利用函数关系式解决实际问题. 例4如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2) 求出这条抛物线的函数关系式；
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
分析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标二次函数关系式为，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD+DC+CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．
解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6).
(2) 设此函数关系式为：.
因为函数经过点(0，3)，
所以，即.
所以此函数关系式为：.
(3) 设A(m，0)，则B(12-m，0)，
C，
D .
即“支撑架”总长AD+DC+CB
=
= .
因为此二次函数的图象开口向下.所以当m = 0时，AD+DC+CB有最大值为18.
例5如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图6-4-4 ②中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
分析：观察图②的图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2＋6．又因为AB＝20，所以OB＝10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值．
解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2＋6．
依题意，得B（10，0）．
∴a×102＋6＝0．
解得a=－0.06．即y=－0.06x2＋6．
当y=4.5时，－0.06x2＋6=4.5，解得x=±5．
∴DF＝5，EF＝10．
即水面宽度为10米．
方法总结: 将桥拱抽象化为数学问题中的抛物线，利用一些数据转化为抛物线上的某些点的坐标，利用二次函数性质即可以解决问题.
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题.
课件12张PPT。课件18张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 拱桥问题提出
问题知识
要点典例
精析巩固
训练第3课时 拱桥问题与运动中的抛物线探究点二 运动中的抛物线提出
问题知识
要点典例
精析巩固
训练 某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物（如图所示），大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？一、情景导入首页 问题1:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.65m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由. zxxk二、合作探究探究点一 拱桥问题首页解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.∵AB=4∴A(-2,0) B(2,0)∵OC=4.4∴C(0,4.4)设抛物线所表示的二次函数为∵抛物线过A(-2,0)∴抛物线所表示的二次函数为∴汽车能顺利经过大门.首页问题二： 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示.
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？（1）卡车可以通过.提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.（2）卡车可以通过.提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.首页例1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
首页分析：
如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．AB首页解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
,得
所以
因此，函数关系式是
BA首页例2 ：图中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？首页解一如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴，建立平面直角坐标系。∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:当拱桥离水面2m时,水面宽4m即抛物线过点(2,-2)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了首页解二如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:此时,抛物线的顶点为(0,2)首页 见《学练优》第49页课堂达标训练第1、2、3、4、5题首页问题2：从地面竖直向上抛出一小石块，小石块的高度 h（单位： m）与其运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2
（0≤t≤6）．小石块的运动时间是多少时，小 石块最高？小石块运动中的最大高度是多少？ 小石块运动的时间是 3 s 时，小球最高．
小石块运动中的最大高度是 45 m．探究点二 运动中的抛物线问题3： 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形
状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在
处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线
的表达式为 。如果不考虑其他因素，那么水
池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。y= －(x-1)2 +2.252.5首页 例2：一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.1m,他如何做才能盖帽成功? zxxk首页解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和
篮圈的坐标分别为A（0，），B（4，4），C（7，3），其中B是抛物线的顶点．
设二次函数关系式为y=a（x—h）2+k，将点A、B的坐标代入，可得y= —（x—4）2+4．
将点C的坐标代入上式，得左边=右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中．
⑵将x=1代入函数式，得y=3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功． 首页 见课本首页小结:解决今天课堂上的实际问题一般步骤: (1).建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的坐标, (2).合理地设出所求的函数的表达式,并代入已知条件或点的坐标,求出关系式, .
(3).利用关系式求解实际问题三、课堂小结首页课件18张PPT。xy0实际问题与二次函数（三）yxo课前预习 问题一：有一桥洞为抛物线形的拱桥，这个桥洞的最大高度为16cm，跨度40cm，现在把它的图形放在坐标系中，如图示，若跨度中心点M左右5m处各垂直竖立一根铁柱支撑拱桥，则铁柱有多高？问题二：如图是抛物线形拱桥，当水面在L 时，拱桥离水面2米，水面宽4米。水面下降1米，水
面宽度增加多少米？ 课中研讨
思考：
一.①从题目自身条件，你能联想到用什么数学知识来解决？
②在此基础上我们需要建立______,即可求出这条抛物线表示的函数关系式。 二.你有几种建系的方法? zxxk
？ 课中研讨ABCDo（-2，-2）（2，-2）-2-3 课堂小结㈠生活当中的拱桥、喷出的水柱、投篮时篮 球的运动路线等等都成抛物线形，因此我们可以用二次函数的知识来解决此类相关问题。
㈡解决此类抛物线实际问题的一般步骤：
①建立适当的直角坐标系 。
②求抛物线的解 析式 。
③ 根据函数解析式和已知量求相关的量。
㈢一定要注意适当建系，方便解题。
课堂检测 一自动喷灌设备的喷流情
况如图所示，设水管AB在
高出地面1.5米的B处有一
自动旋转的喷水头，水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C连线与地面成45度角，水流最高点C比喷头高2米，求水流落点D到A点的距离。 E拓展延伸 在例题2的基础上，当水面在L时，拱桥离水面2米，水面宽4米，有一艘顶部宽3米，高出水面1.5米的小船，问：这艘小船能顺利通过这座桥吗？若不能通过，水面至少下降多少米后才能通过？Z，xxk
2米3米3>2ba? 练习1.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m。请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
2.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.练习
3.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？ zxxk 练习:4.有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是 m，水位上升4 m就达到警戒线CD，这时水面宽是 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5 m速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处．x练习5.再见
