2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第八章 二元一次方程组 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是 （ ）
A．x+xy=8 B．y=x- 1 C． D．
2．（2023八上·历下期中）是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·南明期末）如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·宝安开学考）某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得分，每答错一道题得分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了道题，答错了道题，则
A． B． C． D．
5．（2024八上·大竹期末）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知x=3-k，y=k+2，则y与x的关系是 （ ）
A．x+y=1 B．x-y=1 C．x+y=5 D．x-y=5
7．（2023七下·攸县期中）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．4 B．2 C．-1 D．-5
9．（2024八上·揭阳期末）芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于x，y的二元一次方程组 的解为则方程组的解为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若方程是二元一次方程，则m= ，n= .
12． 若 则x+y 的值为 .
13．（2024八下·宝安开学考）和都是方程的解，则 ．
14． 根据如图所示的数 据求出桌子的高度为 cm.
15．若用图1表示方程组则图2所表示的二元一次方程组为 .
三、解答题
16．（2024八上·深圳期末）2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
17．（2022七下·南关期末）在等式中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=-4．求k、b的值．
18．（2024八上·盐田期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：①，得．③……第一步 ③②，得．……第二步 ．……第三步 将代入①，得．……第四步 所以，原方程组的解为……第五步
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
四、实践探究题
19．⑴[阅读理解] 对于方程组，不妨设=a，=b，则原方程组就转化成以a，b为未知数的方程组，解得．从而求得原方程组的解是，这种解法称之为换元法．
⑵[问题解决] 用换元法解方程组：
20．（2023七下·二道期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如……都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．
解：由2x+5y＝24，得：，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程2x+5y＝24的正整数解为 或 ．
问题：
（1）若为非负整数，则满足条件的整数x的值有 个．
（2）直接写出满足方程2x+3y＝8的正整数解 _
（3）若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
五、综合题
21．（2023七下·南沙期末）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家已测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为已知数）．
温度
声音传播速度（米/秒）
（1）求，的值．
（2）若温度是时，求声音在空气中的传播速度．
22．（2023七下·惠安期末）已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
23．（2023七下·平南期末）我县是中国石硖龙眼之乡，某生态石硖龙眼园计划在龙眼收获之季租用A，B两种型号的货车将石硖龙眼运往外地销售，已知用3辆A型车和2辆B型车载满石硖龙眼一次可运18吨；用4辆A型车和5辆B型车载满石硖龙眼一次可运31吨.求：
（1）1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运石硖龙眼多少吨
（2）若该生态园共有22吨石硖龙眼，计划租用A，B两种型号货车（每辆车都满载）一次把这批石硖龙眼运完，请问有哪几种租车方案
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、该方程含有两个未知数，但所含未知项不都为1次方，则本项不符合题意，
B、该方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，则本项符合题意，
C、该方程含有一个未知数，但所含未知项不都为1次方，则本项不符合题意，
D、该方程含有一个未知数，则本项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，据此逐项分析即可.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】A、把 代入中，得2×5-3=7，
∴是方程的解，故符合题意；
B、把 代入中，得-5+2=-3≠ 3，
∴不是方程的解，故不符合题意；
C、把 代入 中，得-y-2=-3-2=-5≠5，
∴不是方程的解，故不符合题意；
D、把 代入 中，得2×5-3×3=4≠-1，
∴不是方程的解，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】将分别代入各选项中进行检验即可.
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解： 是二元一次方程的解，
可将代入 中，
得：，
.
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入 中，即可解得m的值.
4．【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，
由题意，得5x-2y=60.
故答案为：C.
【分析】根据圆圆的答对题目得得分+答错题目的得分=总得分，列出方程即可.
5．【答案】C
【知识点】解二元一次方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
将方程①代入②中，可得3x-2（2x-3）=8，整理可得3x-4x+6=8.
故答案为： C.
【分析】代入消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
6．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵x=3-k，y=k+2 ，
∴x+y=3-k+k+2，
∴x+y=5.
故答案为：C.
【分析】直接将题干给的两个方程相加，再合并同类项即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】根据二元一次方程的定义：只含有两个未知数，且未知数的指数为1，
可得C选项符合题意，
故答案为：C。
【分析】利用二元一次方程组的定义逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解互为相反数，
∴
∴，
解得：
∴
∴
故答案为：D.
【分析】由题意得到则得到，据此求出x和y的值，进而可求出k的值.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=4代入x-2y=2中，得4-2y=2，解得y=1，
把x=4，y=1代入x+2y= 中，得=4+2×1=6.
故答案为：A .
【分析】把x=4代入方程组中第二个方程求出y值，再将x、y值代入第一个方程求出即可.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： 化简得：，
∵二元一次方程组 的解为，
∴
∴
解得：，
故答案为：B.
【分析】将已知方程组化简得到，再结合已知方程组的解得到，进而即可求解.
11．【答案】；-1
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程x3m-1+5y-3n-2=4是二元一次方程，
∴3m-1=1，-3n-2=1，
解得：m=，n=-1.
故答案为：m=，n=-1.
【分析】由二元一次方程的定义可知：3m-1=1，-3n-2=1，进而求出m、n的值.
12．【答案】2
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知
根据非负性可得：
可将，
转化为：
所以
故.
故答案为：2.
【分析】根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得方程组，将方程组的两个方程相加即可求解.
13．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵和都是方程y=kx+b的解，
∴，
解得，
∴k得值为2.
故答案为：2.
【分析】根据方程解的定义，将和分别代入方程y=kx+b可得关于字母k、b得二元一次方程组，解此方程组可求出k、b得值，从而得出答案.
14．【答案】130
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为xcm，站立的小猫高度为ycm，趴下的小猫高度为zcm，根据题意得：
①+②得：2x=260，
x=130.
∴桌子的高度是130cm.
故答案为130：.
【分析】先分别设桌子的高度，站立的小猫的高度和趴下的小猫的高度，然后根据图形中的数量关系分别列出方程，组成方程组，求出桌子的高度即可.
15．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：；
故答案为：.
【分析】仿照图1写方程组的方法，确定出图2表示的方程组即可．
16．【答案】（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得：
，解得：，
答：篮球的价格为元，排球的价格为元；
（2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：，
整理，得：，
∵商场所有购买方案获利相同，
∴的值与无关，
∴，
∴．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球每个x元，排球每个y元，根据题意建立方程组求解即可得出答案；
(2)设学校购进篮球a个，则购进排球(20-a)个，商场获利为W元，根据题意得出W=(m-10)a +600-20m，根据商场所有购买方案获利相同，即W与a无关，得到m-10=0，据此解答即可.
17．【答案】解：把x=1时，y=-2和x=-1时，y=-4，分别代入y=kx+b得：
，
解得：k=1，b=-3．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将x=1时，y=-2和x=-1时，y=-4，分别代入y=kx+b可得，再求出k、b的值即可。
18．【答案】（1）加减消元；等式的基本性质
（2）二
（3）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）这种解法叫做加减代入消元法，第一步的依据是：等式的基本性质.
故答案为：加减消元；等式的基本性质；
（2）第二步开始出现错误，
故答案为：二
（3）正确解题步骤：
①，得．③
③②，得．
将代入①，得．
所以，原方程组的解为.
故答案为：.
【分析】（1）（2）知道代入消元法和加减消元法的区别即可正确解决问题；等式的基本性质使方程左右两边同时变形；（3）正确解方程即知出问题的地方.注意两式相减时的顺序问题.
19．【答案】解：令
则原方程组为：
解得：
∴
解得：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意中介绍的方法，令则原方程组为：进而即可求解.
20．【答案】（1）6
（2）
（3）解：共有2种截法，
截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；
截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵是非负整数
∴ x-3是20的正因数
∴ x-3=1或x-3=2或 x-3=4或 x-3=5或 x-3=10或 x-3=20
∴ x=4或 x=5或 x=7或 x=8或 x=13或 x=23
则满足条件的整数x的值有6个．
（2）解2x+3y＝8
∴ x=
∵ x，y为正整数
∴ 8-3y=2
解得满足方程2x+3y＝8的正整数解是
【分析】本题考查解二元一次方程。（1）根据非负整数的要求，可知x-3是20的正因数，则可得x的值；（2）根据方程的解是正整数，可得x，y的值；（3）根据题意列方程，则求出的3m和4米的段数都是正整数，利用（1）（2）的方法可得结果。
21．【答案】（1）解：将，代入，得，
（2）解：由（1）知：，
将代入得，
气温为时，声音在空气中的传播速度为米/秒．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将，代入中建立关于a、b的方程组并解之即可；
（2）将代入（1）中解析式求出v值即可.
22．【答案】（1）解：依题意，得，解得
（2）解：依题意，不妨取的两个不同数值，如，，
则有
解得
故这个公共解是
（3）解：根据题意，得，解得
∵，∴，解得
又是整数，∴．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）将x，y的值代入即可得到一个关于k的方程，解出方程即得到k值；
（2）首先先随便取两个不为-1的值，代入方程中，联立方程组，解方程组即可得到这两个方差的公共解；
（3）将题目所给的两组x，y的值代入方程，得到关于a，b，k的方程组，解出k，又因为 k满足，将解出的k代入即可得到一组关于b的一元一次不等式方程组，解出解集，又b是整数，所以b=7.
23．【答案】（1）解：设1辆A型货车满载时一次运石硖龙眼x吨，1辆B型货车满载时一次运石硖龙眼y吨，根据题意得
解这个方程组得
答：1辆A型货车满载时一次运石硖龙眼4吨，1辆B型货车满载时一次运石硖龙眼3吨
（2）解：设租用A型货车a辆，租用B型货车b辆，根据题意得：
，
又a，b均为非负整数，
或，
答：该生态园共有2种租车方案
方案1；租用4辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用1辆A型车，6辆B型车。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】(1)根据条件所给的等量关系列出二元一次方程组求解即可.
(2)先根据条件所给的等量关系列出二元一次方程，再通过解的实际意义得到租车方案.
1 / 12023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第八章 二元一次方程组 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是 （ ）
A．x+xy=8 B．y=x- 1 C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、该方程含有两个未知数，但所含未知项不都为1次方，则本项不符合题意，
B、该方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，则本项符合题意，
C、该方程含有一个未知数，但所含未知项不都为1次方，则本项不符合题意，
D、该方程含有一个未知数，则本项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，据此逐项分析即可.
2．（2023八上·历下期中）是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】A、把 代入中，得2×5-3=7，
∴是方程的解，故符合题意；
B、把 代入中，得-5+2=-3≠ 3，
∴不是方程的解，故不符合题意；
C、把 代入 中，得-y-2=-3-2=-5≠5，
∴不是方程的解，故不符合题意；
D、把 代入 中，得2×5-3×3=4≠-1，
∴不是方程的解，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】将分别代入各选项中进行检验即可.
3．（2024八上·南明期末）如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解： 是二元一次方程的解，
可将代入 中，
得：，
.
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入 中，即可解得m的值.
4．（2024八下·宝安开学考）某次数学竞赛共有25道题，规定：每答对一道题得分，每答错一道题得分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了道题，答错了道题，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，
由题意，得5x-2y=60.
故答案为：C.
【分析】根据圆圆的答对题目得得分+答错题目的得分=总得分，列出方程即可.
5．（2024八上·大竹期末）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解二元一次方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
将方程①代入②中，可得3x-2（2x-3）=8，整理可得3x-4x+6=8.
故答案为： C.
【分析】代入消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
6．已知x=3-k，y=k+2，则y与x的关系是 （ ）
A．x+y=1 B．x-y=1 C．x+y=5 D．x-y=5
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵x=3-k，y=k+2 ，
∴x+y=3-k+k+2，
∴x+y=5.
故答案为：C.
【分析】直接将题干给的两个方程相加，再合并同类项即可得出答案.
7．（2023七下·攸县期中）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】根据二元一次方程的定义：只含有两个未知数，且未知数的指数为1，
可得C选项符合题意，
故答案为：C。
【分析】利用二元一次方程组的定义逐项判断即可。
8．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则k的值为（ ）
A．4 B．2 C．-1 D．-5
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解互为相反数，
∴
∴，
解得：
∴
∴
故答案为：D.
【分析】由题意得到则得到，据此求出x和y的值，进而可求出k的值.
9．（2024八上·揭阳期末）芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把x=4代入x-2y=2中，得4-2y=2，解得y=1，
把x=4，y=1代入x+2y= 中，得=4+2×1=6.
故答案为：A .
【分析】把x=4代入方程组中第二个方程求出y值，再将x、y值代入第一个方程求出即可.
10．若关于x，y的二元一次方程组 的解为则方程组的解为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： 化简得：，
∵二元一次方程组 的解为，
∴
∴
解得：，
故答案为：B.
【分析】将已知方程组化简得到，再结合已知方程组的解得到，进而即可求解.
二、填空题
11．若方程是二元一次方程，则m= ，n= .
【答案】；-1
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：∵方程x3m-1+5y-3n-2=4是二元一次方程，
∴3m-1=1，-3n-2=1，
解得：m=，n=-1.
故答案为：m=，n=-1.
【分析】由二元一次方程的定义可知：3m-1=1，-3n-2=1，进而求出m、n的值.
12． 若 则x+y 的值为 .
【答案】2
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知
根据非负性可得：
可将，
转化为：
所以
故.
故答案为：2.
【分析】根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0可得方程组，将方程组的两个方程相加即可求解.
13．（2024八下·宝安开学考）和都是方程的解，则 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵和都是方程y=kx+b的解，
∴，
解得，
∴k得值为2.
故答案为：2.
【分析】根据方程解的定义，将和分别代入方程y=kx+b可得关于字母k、b得二元一次方程组，解此方程组可求出k、b得值，从而得出答案.
14． 根据如图所示的数 据求出桌子的高度为 cm.
【答案】130
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为xcm，站立的小猫高度为ycm，趴下的小猫高度为zcm，根据题意得：
①+②得：2x=260，
x=130.
∴桌子的高度是130cm.
故答案为130：.
【分析】先分别设桌子的高度，站立的小猫的高度和趴下的小猫的高度，然后根据图形中的数量关系分别列出方程，组成方程组，求出桌子的高度即可.
15．若用图1表示方程组则图2所表示的二元一次方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：；
故答案为：.
【分析】仿照图1写方程组的方法，确定出图2表示的方程组即可．
三、解答题
16．（2024八上·深圳期末）2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
（1）求篮球和排球的价格分别为多少元？
（2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
【答案】（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得：
，解得：，
答：篮球的价格为元，排球的价格为元；
（2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：，
整理，得：，
∵商场所有购买方案获利相同，
∴的值与无关，
∴，
∴．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球每个x元，排球每个y元，根据题意建立方程组求解即可得出答案；
(2)设学校购进篮球a个，则购进排球(20-a)个，商场获利为W元，根据题意得出W=(m-10)a +600-20m，根据商场所有购买方案获利相同，即W与a无关，得到m-10=0，据此解答即可.
17．（2022七下·南关期末）在等式中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=-4．求k、b的值．
【答案】解：把x=1时，y=-2和x=-1时，y=-4，分别代入y=kx+b得：
，
解得：k=1，b=-3．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将x=1时，y=-2和x=-1时，y=-4，分别代入y=kx+b可得，再求出k、b的值即可。
18．（2024八上·盐田期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：①，得．③……第一步 ③②，得．……第二步 ．……第三步 将代入①，得．……第四步 所以，原方程组的解为……第五步
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】（1）加减消元；等式的基本性质
（2）二
（3）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）这种解法叫做加减代入消元法，第一步的依据是：等式的基本性质.
故答案为：加减消元；等式的基本性质；
（2）第二步开始出现错误，
故答案为：二
（3）正确解题步骤：
①，得．③
③②，得．
将代入①，得．
所以，原方程组的解为.
故答案为：.
【分析】（1）（2）知道代入消元法和加减消元法的区别即可正确解决问题；等式的基本性质使方程左右两边同时变形；（3）正确解方程即知出问题的地方.注意两式相减时的顺序问题.
四、实践探究题
19．⑴[阅读理解] 对于方程组，不妨设=a，=b，则原方程组就转化成以a，b为未知数的方程组，解得．从而求得原方程组的解是，这种解法称之为换元法．
⑵[问题解决] 用换元法解方程组：
【答案】解：令
则原方程组为：
解得：
∴
解得：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意中介绍的方法，令则原方程组为：进而即可求解.
20．（2023七下·二道期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如……都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．
解：由2x+5y＝24，得：，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程2x+5y＝24的正整数解为 或 ．
问题：
（1）若为非负整数，则满足条件的整数x的值有 个．
（2）直接写出满足方程2x+3y＝8的正整数解 _
（3）若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
【答案】（1）6
（2）
（3）解：共有2种截法，
截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；
截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程
【解析】【解答】解：（1）∵是非负整数
∴ x-3是20的正因数
∴ x-3=1或x-3=2或 x-3=4或 x-3=5或 x-3=10或 x-3=20
∴ x=4或 x=5或 x=7或 x=8或 x=13或 x=23
则满足条件的整数x的值有6个．
（2）解2x+3y＝8
∴ x=
∵ x，y为正整数
∴ 8-3y=2
解得满足方程2x+3y＝8的正整数解是
【分析】本题考查解二元一次方程。（1）根据非负整数的要求，可知x-3是20的正因数，则可得x的值；（2）根据方程的解是正整数，可得x，y的值；（3）根据题意列方程，则求出的3m和4米的段数都是正整数，利用（1）（2）的方法可得结果。
五、综合题
21．（2023七下·南沙期末）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家已测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用表示声音在空气中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为已知数）．
温度
声音传播速度（米/秒）
（1）求，的值．
（2）若温度是时，求声音在空气中的传播速度．
【答案】（1）解：将，代入，得，
（2）解：由（1）知：，
将代入得，
气温为时，声音在空气中的传播速度为米/秒．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将，代入中建立关于a、b的方程组并解之即可；
（2）将代入（1）中解析式求出v值即可.
22．（2023七下·惠安期末）已知关于的二元一次方程，其中为常数，且．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为－1的值时，都可得到一个方程，且这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
（3）当时，；当时，．若，求整数．
【答案】（1）解：依题意，得，解得
（2）解：依题意，不妨取的两个不同数值，如，，
则有
解得
故这个公共解是
（3）解：根据题意，得，解得
∵，∴，解得
又是整数，∴．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】（1）将x，y的值代入即可得到一个关于k的方程，解出方程即得到k值；
（2）首先先随便取两个不为-1的值，代入方程中，联立方程组，解方程组即可得到这两个方差的公共解；
（3）将题目所给的两组x，y的值代入方程，得到关于a，b，k的方程组，解出k，又因为 k满足，将解出的k代入即可得到一组关于b的一元一次不等式方程组，解出解集，又b是整数，所以b=7.
23．（2023七下·平南期末）我县是中国石硖龙眼之乡，某生态石硖龙眼园计划在龙眼收获之季租用A，B两种型号的货车将石硖龙眼运往外地销售，已知用3辆A型车和2辆B型车载满石硖龙眼一次可运18吨；用4辆A型车和5辆B型车载满石硖龙眼一次可运31吨.求：
（1）1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运石硖龙眼多少吨
（2）若该生态园共有22吨石硖龙眼，计划租用A，B两种型号货车（每辆车都满载）一次把这批石硖龙眼运完，请问有哪几种租车方案
【答案】（1）解：设1辆A型货车满载时一次运石硖龙眼x吨，1辆B型货车满载时一次运石硖龙眼y吨，根据题意得
解这个方程组得
答：1辆A型货车满载时一次运石硖龙眼4吨，1辆B型货车满载时一次运石硖龙眼3吨
（2）解：设租用A型货车a辆，租用B型货车b辆，根据题意得：
，
又a，b均为非负整数，
或，
答：该生态园共有2种租车方案
方案1；租用4辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用1辆A型车，6辆B型车。
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】(1)根据条件所给的等量关系列出二元一次方程组求解即可.
(2)先根据条件所给的等量关系列出二元一次方程，再通过解的实际意义得到租车方案.
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