2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第八章 二元一次方程组 单元测试 B卷
一、选择题
1．若方程2x-1=3y+2的解为则b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
2．下列关于x，y的方程组的说法中，正确的是 （ ）
①是方程组的解；
②无论a取什么实数，x+y的值始终不变；
③当a2时，x与y相等.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．已知是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，则 a的值为 （ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
4． 用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中，无法消元的是（ ）
A．①×2-② B．②×（-3）-①
C．①×（ -2）+② D．①-②×3
5．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的 ，另一根高出水面的长度是它的.若两根铁棒长度之和为110cm，则此时木桶中水的深度为 （ ）
A．60cm B．50cm C．40 cm D．30cm
6．（2022七下·尧都期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．如果方程组 的解中的x与y的值相等，那么a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
10．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
二、填空题
11．写出一个以为解的二元一次方程组： .
12．已知方程组则 x+y= .
13．（2021七下·开学考）为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品 件.
14．（2021七下·柯桥月考）三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解。”提出各自的想法。
甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”，
参考他们的讨论，你能求出这个方程组的解吗？x= .y=
15．（2019七下·仁寿期中）已知关于x，y的方程组 ，下列结论：
①当a=3时，方程组的解是 ；②无论a取何值，x与y的和都不可能为1；③如果x-y=0，则a=2；④如果x为正数，y为非负数，则-5
三、解答题
16．已知关于x，y的二元一次方程组的解为求a+b的值.
17．用一根绳子环绕一个圆柱形油桶，若环绕油桶3周，则绳子还多4尺；若环绕油桶4 周，则绳子又少了 3尺问：这根绳子有多长 环绕油桶一周需要多少尺
18．已知方程是关于x，y的二元一次方程，求m2-3n的值.
四、实践探究题
19．（2023七下·忻州期末）
（1）计算．
（2）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：， 由①得③，第一步 把③代入②，得，第二步 整理得，第三步 解得，即．第四步 把代入③，得， 则方程组的解为．第五步
任务一：
①以上求解过程中，小林用了 ▲ 消元法．（填“代入”或“加减”）
②第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：该方程组的正确解为 ▲ ．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解二元次方程组要注意的事项给其他同学提一建议．
20．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= ▲ .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= ▲ （x+2y+3z）+ ▲ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 ▲ 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 ▲ .（直接写出结果）
21．（2022七下·朝阳期中）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第69页的部分内容．
8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围．
写出这道题完整的解题过程．
【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值．
五、综合题
22．（2023七下·武平期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，若点，的横坐标值与纵坐标值的有序实数对，都是方程的解，则称三点共线.(如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解.)
（1）已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？.请写出判断过程.
（2）已知方程，
①对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解；
②以①的解中值为点的横坐标，值为点的纵坐标，若点，与点三点共线，求与的值.
23．（2023七下·安乡县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的一组正整数解 ．
（2）若为自然数，求满足条件的正整数x的值．
（3）2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入 方程2x-1=3y+2 可得：
b=-3.
故答案为：D.
【分析】通过观察、分析可知，把直接代入方程2x-1=3y+2可以直接求出b的值即可.
2．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解①得：解②得：则说法①错误，
②，①-②得：
∴
∴则说法②正确，
③将代入代入原方程组得：
解得：，则说法③正确，
综上所述，说法正确的为②③，
故答案为：C.
【分析】把代入原方程组得：，分别解出方程①②中a的值，即可判断①；，分别用含a的式子表示x和y，进而即可判断②；将代入代入原方程组得：解此方程组即可判断③.
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意将代入方程得到即可求出a的值.
4．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解二元一次方程组时，
消去x；
消去y；
消去x；
消去y，
则无法消元的是．
故答案为：D.
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元：消去x；消去y；系数相反相加消元：消去y；消去x，从而而逐个判断得出答案．
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一根铁棒长度为x厘米，令一根铁棒长度为y厘米，
，
解得：，
∴此时木桶中水的深度为：，
故答案为：C.
【分析】设一根铁棒长度为x厘米，令一根铁棒长度为y厘米，根据题干"两根铁棒长度之和为110cm"，据此列出第一个方程根据题意"在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的 ，另一根高出水面的长度是它的"，据此列出第二个方程联立两个方程得到二元一次方程组，解此方程组即可求解.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，
；
购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，
．
所列方程组为．
故答案为：．
【分析】根据购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，列方程组求解即可。
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是.
∴方程组可以变形为：
∴
∴
故答案为：A.
【分析】把第二个方程组变形为的形式，这样就与第一个方程组有相同的形式了。因为第一个方程组的解是，所以，解出即为第二个方程组的解.
8．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
把（3）代入（1）得：3y+7y=10，
解得：y=1，x=1，
代入（2）得：a+（a﹣1）=5，
解得：a=3．故答案为：C．
【分析】因为x与y的值相等，可以根据3x+7y=10求出y=1，x=1，再代入ax+(a 1)y=5中，求出a的值。
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
10．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，
可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，
∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c=16；据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，则d=8，又a+d=8+1+a=10，则a=1；综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9．
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解为的二元一次方程组为：，
故答案为：.
【分析】先围绕列一组算式，然后用x和y替换即可求解.
12．【答案】6
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：
∴
故答案为：6.
【分析】，①+②得：进而即可求解.
13．【答案】320
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，
则24x=29y-200=19z-370=m，
∵0＜m≤1000，
∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，
∵x，y、z均为正整数，
∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，
24x=29y-200化为：x=y-8+，
∴5y-8=24n（n为正整数），
∴5y=8+24n=8（1+3n），
∴y=8k（k为正整数），5k=3n+1，
∴7≤8k≤41，n=k+，
∴1≤k≤5，1≤2k-1≤9，
∵2k-1必为奇数且是3的整数倍.
∴2k-1=3或2k-1=9，
∴k=2或k=5，
当k=2时，y=16，x=11，z=33（舍）
∴k只能为5，
∴y=40，x=40，z=70.
∴8x=8×40=320.
答：第一次购进A种纪念品320件.
故答案为：320.
【分析】设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，由于0＜m≤1000，求出x、y、z的正整数解即可.
14．【答案】5；13
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴,
解得：,
故答案为：5，13.
【分析】 把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，再求解即可．
15．【答案】②④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组得
①把a=3分别代入，得，故①错误；
② x+y=，故②正确；
③如果x-y=0，则解得a=-2，故③错误；
④根据题意得：，解这个不等式组得-5∴其中正确的有 ②，④.
【分析】先求出方程组的解，然后根据每个选项给出的条件求解，即可意义作出判断。
16．【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为
把代入得：
∴a+b=2.
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】把代入求出a、b的值进而求出a+b的值.
17．【答案】解：设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．根据题意，得：
，
解得：．
答：这根绳子25尺，绕大树一周需要7尺．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．等量关系：①环绕大树3周，则绳子还多4尺；②环绕大树4周，则绳子少了3尺．根据等量关系列方程求解即可．
18．【答案】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴，
∴.
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫作二元一次方程，即可得到：，进而可求出m和n的值，进而即可求解.
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：任务一：①代入；②三，去括号错误
任务二：；
任务三：去括号时，要注意如果括号前面是减号，括号内所有的符号都要变号
【知识点】实数的运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）①以上求解过程中，小林用了代入消元法．
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号错误．
故答案为：代入，三，去括号错误；
任务二：
正确求解过程如下：
解：，
由①得③，第一步
把③代入②，得，第二步
整理得，第三步
解得，即．第四步
把代入③，得，
则方程组的解为．第五步
∴该方程组的正确解为，
故答案为：；
任务三：去括号时，要注意如果括号前面是减号，括号内所有的符号都要变号．
【分析】（1）根据实数运算的顺序进行计算即可；
（2）任务一：①根据代入消元法的定义即可求解；②去括号注意要变号；
任务二：根据代入消元法的步骤解出答案即可；
任务三：根据等式的性质和去括号法则说出应注意的问题即可.
20．【答案】解：【方法体验】方法体验：
①+②得4037x+y=520；
【方法迁移】5；
【探究升级】；–；
【巩固运用】–.–2，8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方法迁移：将中的两个方程相减得到：–3x–y+z=–5，则3x+y–z=5.
故答案是：5；
探究升级：设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）
由题意得：，解得：，
∴2x+5y+8z=（x+2y+3z）–（4x+3y+2z）
故答案为，–.
巩固运用：设8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）
∴，解得，
∴8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）=3×4+2×（–2）=8.
故答案为–2，8.
【分析】方法体验：将方程组中的两个方程相加即可；
方法迁移：将方程组中的两个方程相减可得–3x–y+z=–5，变形可得3x+y-z的值；
探究升级：设2x+5y+8z=m(x+2y+3z)+n(4x+3y+2z)，则m+4n=2、2m+3n=5、3m+2n=8，联立求出m、n的值，据此解答；
巩固运用：设8a+3b–2c=m(2a–b+kc)+n(a+3b+2c)，则2m+n=8、3n-m=3、2n+mk=-2，联立求出m、n、k的值，据此解答.
21．【答案】解：教材呈现：解：，
移项得：，
化系数为1得：，
∵关于x方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴k的取值范围．
拓展：解：，
①×3得：④，
②×2得：⑤，
⑤-④得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
∵，
∴，
解得：，
∴m的最小整数值是5．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】【教材呈现】先求出的解，再根据题意列出不等式，最后求出k的取值范围即可；
【拓展】先求出方程组的解，再结合，可得，最后求出m的取值范围即可。
22．【答案】（1）对于
对于；
对于；
对于.
三点共线.
（2）①法一：因为为任意实数，不妨取和；
当时得；
当时得.
联立
解得
所以固定的解为.
法二：得，
即.
因为对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，所以
，
解得.
所以固定的解为.
②由①得，因为与点三点共线，
所以，
得
解得.
所以.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将点A、B、C、D代入方程中进行检验即可；
（2）①法一：因为为任意实数，不妨取和，将其代入方程中，可得关于x、y的方程组并解之即可； 法二：将方程整理为，由于对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，可得 ，解之即可；
②由①得，且与点三点共线，将三点坐标分别代入方程中，可得关于a、t的方程组，并解之即可.
23．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：∵为自然数，
∴能被12整除，
∴、2、3、4、6、12；
解得：、5、6、7、9、15；
（3）解：设购买了m个笔记本，n支钢笔，
，
∴①时，；②时，；③时，；
∴有3种购买方案：
方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；
方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；
方案3：购买笔记本1个，钢笔9支．
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：（1）∵ ，∴y=3x-6，
∵x、y均为正整数，
∴x=3，y=3或x=4，y=6等；
故答案为： （答案不唯一） ；
【分析】（1）求出方程的正整数解即可（答案不唯一）；
（2）由 为自然数，可知是12的约数，据此求解即可；
（3） 设购买了m个笔记本，n支钢笔， 根据“ 购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元 ”列出方程并求出其正整数解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第八章 二元一次方程组 单元测试 B卷
一、选择题
1．若方程2x-1=3y+2的解为则b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把代入 方程2x-1=3y+2 可得：
b=-3.
故答案为：D.
【分析】通过观察、分析可知，把直接代入方程2x-1=3y+2可以直接求出b的值即可.
2．下列关于x，y的方程组的说法中，正确的是 （ ）
①是方程组的解；
②无论a取什么实数，x+y的值始终不变；
③当a2时，x与y相等.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解①得：解②得：则说法①错误，
②，①-②得：
∴
∴则说法②正确，
③将代入代入原方程组得：
解得：，则说法③正确，
综上所述，说法正确的为②③，
故答案为：C.
【分析】把代入原方程组得：，分别解出方程①②中a的值，即可判断①；，分别用含a的式子表示x和y，进而即可判断②；将代入代入原方程组得：解此方程组即可判断③.
3．已知是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，则 a的值为 （ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程2x+ay=6的一个解，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意将代入方程得到即可求出a的值.
4． 用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中，无法消元的是（ ）
A．①×2-② B．②×（-3）-①
C．①×（ -2）+② D．①-②×3
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：用加减消元法解二元一次方程组时，
消去x；
消去y；
消去x；
消去y，
则无法消元的是．
故答案为：D.
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元：消去x；消去y；系数相反相加消元：消去y；消去x，从而而逐个判断得出答案．
5．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的 ，另一根高出水面的长度是它的.若两根铁棒长度之和为110cm，则此时木桶中水的深度为 （ ）
A．60cm B．50cm C．40 cm D．30cm
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一根铁棒长度为x厘米，令一根铁棒长度为y厘米，
，
解得：，
∴此时木桶中水的深度为：，
故答案为：C.
【分析】设一根铁棒长度为x厘米，令一根铁棒长度为y厘米，根据题干"两根铁棒长度之和为110cm"，据此列出第一个方程根据题意"在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的 ，另一根高出水面的长度是它的"，据此列出第二个方程联立两个方程得到二元一次方程组，解此方程组即可求解.
6．（2022七下·尧都期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，
；
购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，
．
所列方程组为．
故答案为：．
【分析】根据购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，列方程组求解即可。
7．若方程组的解是则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵方程组的解是.
∴方程组可以变形为：
∴
∴
故答案为：A.
【分析】把第二个方程组变形为的形式，这样就与第一个方程组有相同的形式了。因为第一个方程组的解是，所以，解出即为第二个方程组的解.
8．如果方程组 的解中的x与y的值相等，那么a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
把（3）代入（1）得：3y+7y=10，
解得：y=1，x=1，
代入（2）得：a+（a﹣1）=5，
解得：a=3．故答案为：C．
【分析】因为x与y的值相等，可以根据3x+7y=10求出y=1，x=1，再代入ax+(a 1)y=5中，求出a的值。
9．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
10．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，
可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，
∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c=16；据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，则d=8，又a+d=8+1+a=10，则a=1；综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9．
二、填空题
11．写出一个以为解的二元一次方程组： .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解为的二元一次方程组为：，
故答案为：.
【分析】先围绕列一组算式，然后用x和y替换即可求解.
12．已知方程组则 x+y= .
【答案】6
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：
∴
故答案为：6.
【分析】，①+②得：进而即可求解.
13．（2021七下·开学考）为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品 件.
【答案】320
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，
则24x=29y-200=19z-370=m，
∵0＜m≤1000，
∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72，
∵x，y、z均为正整数，
∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72，
24x=29y-200化为：x=y-8+，
∴5y-8=24n（n为正整数），
∴5y=8+24n=8（1+3n），
∴y=8k（k为正整数），5k=3n+1，
∴7≤8k≤41，n=k+，
∴1≤k≤5，1≤2k-1≤9，
∵2k-1必为奇数且是3的整数倍.
∴2k-1=3或2k-1=9，
∴k=2或k=5，
当k=2时，y=16，x=11，z=33（舍）
∴k只能为5，
∴y=40，x=40，z=70.
∴8x=8×40=320.
答：第一次购进A种纪念品320件.
故答案为：320.
【分析】设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有
，由于0＜m≤1000，求出x、y、z的正整数解即可.
14．（2021七下·柯桥月考）三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解。”提出各自的想法。
甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；
乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；
丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”，
参考他们的讨论，你能求出这个方程组的解吗？x= .y=
【答案】5；13
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴,
解得：,
故答案为：5，13.
【分析】 把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，再求解即可．
15．（2019七下·仁寿期中）已知关于x，y的方程组 ，下列结论：
①当a=3时，方程组的解是 ；②无论a取何值，x与y的和都不可能为1；③如果x-y=0，则a=2；④如果x为正数，y为非负数，则-5【答案】②④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组得
①把a=3分别代入，得，故①错误；
② x+y=，故②正确；
③如果x-y=0，则解得a=-2，故③错误；
④根据题意得：，解这个不等式组得-5∴其中正确的有 ②，④.
【分析】先求出方程组的解，然后根据每个选项给出的条件求解，即可意义作出判断。
三、解答题
16．已知关于x，y的二元一次方程组的解为求a+b的值.
【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为
把代入得：
∴a+b=2.
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】把代入求出a、b的值进而求出a+b的值.
17．用一根绳子环绕一个圆柱形油桶，若环绕油桶3周，则绳子还多4尺；若环绕油桶4 周，则绳子又少了 3尺问：这根绳子有多长 环绕油桶一周需要多少尺
【答案】解：设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．根据题意，得：
，
解得：．
答：这根绳子25尺，绕大树一周需要7尺．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设这根绳子x尺，绕大树一周需要y尺．等量关系：①环绕大树3周，则绳子还多4尺；②环绕大树4周，则绳子少了3尺．根据等量关系列方程求解即可．
18．已知方程是关于x，y的二元一次方程，求m2-3n的值.
【答案】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴，
∴.
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫作二元一次方程，即可得到：，进而可求出m和n的值，进而即可求解.
四、实践探究题
19．（2023七下·忻州期末）
（1）计算．
（2）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：， 由①得③，第一步 把③代入②，得，第二步 整理得，第三步 解得，即．第四步 把代入③，得， 则方程组的解为．第五步
任务一：
①以上求解过程中，小林用了 ▲ 消元法．（填“代入”或“加减”）
②第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：该方程组的正确解为 ▲ ．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解二元次方程组要注意的事项给其他同学提一建议．
【答案】（1）解：原式
（2）解：任务一：①代入；②三，去括号错误
任务二：；
任务三：去括号时，要注意如果括号前面是减号，括号内所有的符号都要变号
【知识点】实数的运算；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）①以上求解过程中，小林用了代入消元法．
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号错误．
故答案为：代入，三，去括号错误；
任务二：
正确求解过程如下：
解：，
由①得③，第一步
把③代入②，得，第二步
整理得，第三步
解得，即．第四步
把代入③，得，
则方程组的解为．第五步
∴该方程组的正确解为，
故答案为：；
任务三：去括号时，要注意如果括号前面是减号，括号内所有的符号都要变号．
【分析】（1）根据实数运算的顺序进行计算即可；
（2）任务一：①根据代入消元法的定义即可求解；②去括号注意要变号；
任务二：根据代入消元法的步骤解出答案即可；
任务三：根据等式的性质和去括号法则说出应注意的问题即可.
20．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= ▲ .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= ▲ （x+2y+3z）+ ▲ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 ▲ 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 ▲ .（直接写出结果）
【答案】解：【方法体验】方法体验：
①+②得4037x+y=520；
【方法迁移】5；
【探究升级】；–；
【巩固运用】–.–2，8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方法迁移：将中的两个方程相减得到：–3x–y+z=–5，则3x+y–z=5.
故答案是：5；
探究升级：设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）
由题意得：，解得：，
∴2x+5y+8z=（x+2y+3z）–（4x+3y+2z）
故答案为，–.
巩固运用：设8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）
∴，解得，
∴8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）=3×4+2×（–2）=8.
故答案为–2，8.
【分析】方法体验：将方程组中的两个方程相加即可；
方法迁移：将方程组中的两个方程相减可得–3x–y+z=–5，变形可得3x+y-z的值；
探究升级：设2x+5y+8z=m(x+2y+3z)+n(4x+3y+2z)，则m+4n=2、2m+3n=5、3m+2n=8，联立求出m、n的值，据此解答；
巩固运用：设8a+3b–2c=m(2a–b+kc)+n(a+3b+2c)，则2m+n=8、3n-m=3、2n+mk=-2，联立求出m、n、k的值，据此解答.
21．（2022七下·朝阳期中）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第69页的部分内容．
8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围．
写出这道题完整的解题过程．
【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值．
【答案】解：教材呈现：解：，
移项得：，
化系数为1得：，
∵关于x方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴k的取值范围．
拓展：解：，
①×3得：④，
②×2得：⑤，
⑤-④得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
∵，
∴，
解得：，
∴m的最小整数值是5．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】【教材呈现】先求出的解，再根据题意列出不等式，最后求出k的取值范围即可；
【拓展】先求出方程组的解，再结合，可得，最后求出m的取值范围即可。
五、综合题
22．（2023七下·武平期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，若点，的横坐标值与纵坐标值的有序实数对，都是方程的解，则称三点共线.(如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解.)
（1）已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？.请写出判断过程.
（2）已知方程，
①对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解；
②以①的解中值为点的横坐标，值为点的纵坐标，若点，与点三点共线，求与的值.
【答案】（1）对于
对于；
对于；
对于.
三点共线.
（2）①法一：因为为任意实数，不妨取和；
当时得；
当时得.
联立
解得
所以固定的解为.
法二：得，
即.
因为对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，所以
，
解得.
所以固定的解为.
②由①得，因为与点三点共线，
所以，
得
解得.
所以.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将点A、B、C、D代入方程中进行检验即可；
（2）①法一：因为为任意实数，不妨取和，将其代入方程中，可得关于x、y的方程组并解之即可； 法二：将方程整理为，由于对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，可得 ，解之即可；
②由①得，且与点三点共线，将三点坐标分别代入方程中，可得关于a、t的方程组，并解之即可.
23．（2023七下·安乡县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的一组正整数解 ．
（2）若为自然数，求满足条件的正整数x的值．
（3）2020-2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：∵为自然数，
∴能被12整除，
∴、2、3、4、6、12；
解得：、5、6、7、9、15；
（3）解：设购买了m个笔记本，n支钢笔，
，
∴①时，；②时，；③时，；
∴有3种购买方案：
方案1：购买笔记本11个，钢笔3支；
方案2：购买笔记本6个，钢笔6支；
方案3：购买笔记本1个，钢笔9支．
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：（1）∵ ，∴y=3x-6，
∵x、y均为正整数，
∴x=3，y=3或x=4，y=6等；
故答案为： （答案不唯一） ；
【分析】（1）求出方程的正整数解即可（答案不唯一）；
（2）由 为自然数，可知是12的约数，据此求解即可；
（3） 设购买了m个笔记本，n支钢笔， 根据“ 购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元 ”列出方程并求出其正整数解即可.
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