2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第九章 不等式与不等式组 单元测试 B卷

2023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第九章 不等式与不等式组 单元测试 B卷
一、选择题
1．不等式组 的解集在数轴上表示为 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·邵阳期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
3．（2024八上·拱墅期末）若，则下列各式正确的是（　　）
A．2a＜2b B． C． D．-a＜-b
4．若关于x的不等式（1-m）x≤1-m的解集为x>1，则m的值可以取（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（2021七上·镇海期中）若 ， 则 由小到大排列正确的是 （　　）
A． B． C． D．
6．（2023八上·东安月考）若不等式组有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八上·东安月考）不等式的非负整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023七上·临平月考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　）
A．-6 B．-5 C．-3 D．-2
9．（2023八上·东阳月考）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（　　）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
10．（2022·七下潼南期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2024七上·朝阳期末）举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值：　 　．
12．（2023八上·杭州月考）某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品.已知产品的成本每个5元，售价是每个8元.若每月能生产、销售2000个产品，问至少　 　个月后能赚回这台机器的贷款.
13．已知非负实数满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为　 　.
14．（2023七下·丰台期末）小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数　 　（填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为　 　．
15．（2023七下·东丽期末）如果关于的不等式组仅有五个整数解为，，，，，若在第四象限，那么满足上述条件的整数，组成的点的坐标共有　 　个．
三、计算题
16．解下列不等式（组）：
（1）
（2）
（3）
四、解答题
17．（2024八上·华容期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．（2023七上·临洮月考） 一家游泳馆每年6到8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元.
（1）什么情况下，购会员证与不购证付一样的钱？
（2）什么情况下，购会员证比不购证更合算？
（3）什么情况下，不购会员证比购证更合算？
五、实践探究题
19．（2023七下·二道期末）下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
去分母，得24-（x-7）＞8x+4．
（1）任务一：“去分母”这一步的变形依据是____（填“A”或“B”）．
A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2）任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上．
20．（2023七下·忻州期末）阅读与思考
阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或．
任务：
（1）填空：上述解答过程中的“依据”是指　 　．
（2）仿照例题利用分类讨论思想解不等式：．
21．（2023七下·秦安期末）阅读下列材料：
已知，且，，试确定的取值范围．
解：，，
，．
又，
①．
同理得②．
由①②，得，
．
请按照上述方法，解答下列问题．
若，且方程的解适合不等式，，求的取值范围，并写出的最大值和最小值
六、综合题
22．（2023七下·长沙期末）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：；
（2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．
23．（2023八下·祥云期末）学校购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需要26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需要29元；
（1）求1只A型和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯的数量的3倍，不少于B型节能灯数量的2倍，有几种购买方案，哪种方案最省钱？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组可得，AC项，x≤2，不符合题意；D项，x﹤1，x≤2，不符合题意。
故答案为：C
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.
2．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】 关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a-1＜0，
∴a＜1.
故答案为：A。
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，可以得出a-1＜0，解不等式即可得出a的取值范围。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵∴则本项不符合题意，
B、∵∴则本项不符合题意，
C、∵∴则本项不符合题意，
D、∵∴则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（1-m）x≤1-m的解集为x>1，
∴1-m＜0，
解得：m＞1，
而-1＜1，0＜1，1=1，2＞1，
∴m的值可以取 2.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质"①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变"并结合已知可得关于m的不等式，解不等式可得m的范围，根据各选项即可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴<-1，0∴故答案为：C.
【分析】根据 ，得出<-1，06．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式1+x>a得x>a-1，
解不等式 得
不等式组有解，
a-1<2，
a<3,
故答案为：B.
【分析】先将不等式组里的每个不等式解出来，再结合不等式组有解，得到a-1<2，从而求解.
7．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解不等式 得，
非负整数解有 0，1，2共3个，
故答案为：C.
【分析】先解得不等式的解集，再结合题意，进而得出结论.
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式6x-5≥m，得x≥.
解不等式，得x＜4.
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1.
∴-5＜m≤1.
解方程，得y=m+3.
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，即m≥-3.
∴-3≤m≤1.
∴符合条件的所有整数m的值为-3，-2，-1，0，1.
∴符合条件的所有整数m之和是-3+（-2）+（-1）+0+1=-5.
故答案为：B.
【分析】首先解不等式组得-5＜m≤1；再根据方程的解是非负数，得m≥-3；最后得到符合条件的所有整数m 的值，即可得到结果.
9．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x位同学，y棵树，则，，化简得 ，，有8位同学.
故答案为：A.
【分析】结合题意得到，消去y解出x的取值范围取整数即可.
10．【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
11．【答案】答案不唯一，如
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得当b为负数的时候，是错误的，
故答案为：答案不唯一，如
【分析】根据不等式的性质结合题意即可得到b的取值，进而即可求解。
12．【答案】4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，
由题意得：（8-5）×2000x≥22000，
解得：，
∴至少4个月后能赚回这台机器的贷款.
故答案为：4.
【分析】设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，根据题中的不等关系“单个的利润×月销售量×销售月数≥业主贷款22000”可列关于x的不等式，解不等式求出该不等式的最小正整数可求解.
13．【答案】7
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵a，b，c为非负数，∴S=a+b+c≥0．
又∵c-a=5，∴c=a+5，∴c≥5．
∵a+b=7，∴S=a+b+c=7+c．
∵c≥5， ∴c=5时S最小，即S最小值为7+5＝12，即n=12．
∵a+b=7，∴a≤7，∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a，
∴a=7时S最大，S最大值为12+7＝19，即m=19，
∴m-n=19-12=7
故答案为：7．
【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c-a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c﹣a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值.
14．【答案】；7
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由图形知： 当小明跑了2圈时，他的运动里程数＜3km；
设公园的环形道的周长为y，小明总共跑的圈数为x（x为正整数），
由题意得：，解得，
∴，
∵xy=10，
∴x=，
∴，
∴正整数x=7，
∴ 小明总共跑的圈数为7.
故答案为：＜，7.
【分析】根据环形跑道的周长与里程数的关系建立不等式组，从而求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，继而求解.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解不等式3x-a≥0，得： x≥
解不等式 b -2x＞0，得：x＜
∴不等式组的解集是
∵不等式组有五个整数为-2，-1，0，1，2，
∴-3＜≤-2且2＜≤3
解得：-9＜a≤-6，4≤b＜6，
∵a、b是整数，且点P在第四象限
∴b =5或6，a =-8或-7或-6；
∴点P的坐标是（-8，5）或（-7，5）或（-6，5）或（-8，6）或（-7，6）或（-6，6）共6个
故答案为：6．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意求出a、b的取值范围，然后找出整数a、b即可得出答案。
16．【答案】（1）解：，
3x-5＞4x，
3x-4x＞5，
-x＞5，
∴x＜-5；
（2）解：解不等式①得x＜2，
解不等式②得x＜1，
∴不等式组的解集为x<1；
（3）解：，
解不等式①得x＞3，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）依次去分母，移项、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得出答案；
（3）分别求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得出答案.
17．【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示，如图，
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，从而得到不等式组解集为-3＜x≤1，然后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
18．【答案】（1）解：40次
（2）解： 大于40次
（3）解： 小于40次
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解题】（1）设去游泳馆的次数为x，由题意可得80+x=3x，
解得：x=40，
当去游泳馆40次时，购会员证与不购证付一样的钱；
（2）设去游泳馆的次数为x，由题意可得80+x>3x，
解得：x>40，
当去游泳馆多余40次时，购会员证比不购证付的钱更合算；
（3）设去游泳馆的次数为x，由题意可得80+x<3x，
解得：x<40，
当去游泳馆低于40次时，不购会员证比购更合算；
【分析】（1）根据题意设去游泳馆的次数为x，根据两种方式的费用相同，80+x=3x，即可求解；
（2）根据题意，可得80+x＞3x，进而求解；
（3）根据题意，可得80+x＜3x，进而求解.
19．【答案】（1）A
（2）解：x＜3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式。系数为分数的不等式，要先去分母，依据不等式的性质，同时乘以或除以同一个不为0 的正数，不等式不变号；时乘以或除以同一个不为0 的负数，不等式要变号；在数轴上表示解集时，要注意，大于向右，小于向左，且实心表示带等号，空心表示不带等号。
20．【答案】（1）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
（2）解：①当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
；
②当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
，
③当，即时，
原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．
所以不等式的解集为或．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由-2x＞1，得x＜，
依据是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .
故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .
【分析】（1）根据不等式的基本性质即可作答；
（2）分①2x+1＞0，即x＞，②2x+1=0，即x=，③2x+1＜0，即x＜，三种情况分别求解可得.
21．【答案】解：解方程，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为，得：，
方程解适合不等式，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
又，
①，
同理可得②，
①②，得：，
，
的最大值为，最小值为．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【分析】先求出方程的解，再将其代入可得，求出，再结合，求出，最后求出，，最后求出，从而得解.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则，此时任意的实数x都满足条件，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
当时，则，
∵不等式解集中无正整数解，
∴，
∴；
当时，则，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
综上所述，；
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查新定义下的解不等式。结合题目定义，分类讨论情况是解题关键。
（1）根据定义的不等式：（且），当时，；则由可得，解得；
（2）根据 （且），当时，和 可得，整理得，分类讨论5-k情况：或或，可得k的范围；
（3） 根据题意，对a的范围分类讨论：当时，得，有，得；当时，有，有，得；综上所述，当时，；当时，．
23．【答案】（1）解：设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）解：设购买A型m只，购买B型为（50-m）只，
由题意得：
解得：
因为m为整数，所以m=34，35，36，37
方案一：A型34只，B型16只；
方案二：A型35只，B型15只；
方案三：A型36只，B型14只；
方案四：A型37只，B型13只．
因为B型单价贵，所以为省钱应少买B型，故方案四最省钱，即应买A型37只，B型13只．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意会列二元一次方程组；会根据题意列不等式组解决方案问题。
1 / 12023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第九章 不等式与不等式组 单元测试 B卷
一、选择题
1．不等式组 的解集在数轴上表示为 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·邵阳期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
3．（2024八上·拱墅期末）若，则下列各式正确的是（　　）
A．2a＜2b B． C． D．-a＜-b
4．若关于x的不等式（1-m）x≤1-m的解集为x>1，则m的值可以取（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（2021七上·镇海期中）若 ， 则 由小到大排列正确的是 （　　）
A． B． C． D．
6．（2023八上·东安月考）若不等式组有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八上·东安月考）不等式的非负整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023七上·临平月考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　）
A．-6 B．-5 C．-3 D．-2
9．（2023八上·东阳月考）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（　　）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
10．（2022·七下潼南期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2024七上·朝阳期末）举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值：　 　．
12．（2023八上·杭州月考）某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品.已知产品的成本每个5元，售价是每个8元.若每月能生产、销售2000个产品，问至少　 　个月后能赚回这台机器的贷款.
13．已知非负实数满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为　 　.
14．（2023七下·丰台期末）小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数　 　（填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为　 　．
15．（2023七下·东丽期末）如果关于的不等式组仅有五个整数解为，，，，，若在第四象限，那么满足上述条件的整数，组成的点的坐标共有　 　个．
三、计算题
16．解下列不等式（组）：
（1）
（2）
（3）
四、解答题
17．（2024八上·华容期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．（2023七上·临洮月考） 一家游泳馆每年6到8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元.
（1）什么情况下，购会员证与不购证付一样的钱？
（2）什么情况下，购会员证比不购证更合算？
（3）什么情况下，不购会员证比购证更合算？
五、实践探究题
19．（2023七下·二道期末）下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
去分母，得24-（x-7）＞8x+4．
（1）任务一：“去分母”这一步的变形依据是____（填“A”或“B”）．
A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2）任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上．
20．（2023七下·忻州期末）阅读与思考
阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或．
任务：
（1）填空：上述解答过程中的“依据”是指　 　．
（2）仿照例题利用分类讨论思想解不等式：．
21．（2023七下·秦安期末）阅读下列材料：
已知，且，，试确定的取值范围．
解：，，
，．
又，
①．
同理得②．
由①②，得，
．
请按照上述方法，解答下列问题．
若，且方程的解适合不等式，，求的取值范围，并写出的最大值和最小值
六、综合题
22．（2023七下·长沙期末）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：；
（2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．
23．（2023八下·祥云期末）学校购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需要26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需要29元；
（1）求1只A型和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯的数量的3倍，不少于B型节能灯数量的2倍，有几种购买方案，哪种方案最省钱？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组可得，AC项，x≤2，不符合题意；D项，x﹤1，x≤2，不符合题意。
故答案为：C
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.
2．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】 关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a-1＜0，
∴a＜1.
故答案为：A。
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，可以得出a-1＜0，解不等式即可得出a的取值范围。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵∴则本项不符合题意，
B、∵∴则本项不符合题意，
C、∵∴则本项不符合题意，
D、∵∴则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（1-m）x≤1-m的解集为x>1，
∴1-m＜0，
解得：m＞1，
而-1＜1，0＜1，1=1，2＞1，
∴m的值可以取 2.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质"①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变"并结合已知可得关于m的不等式，解不等式可得m的范围，根据各选项即可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴<-1，0∴故答案为：C.
【分析】根据 ，得出<-1，06．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式1+x>a得x>a-1，
解不等式 得
不等式组有解，
a-1<2，
a<3,
故答案为：B.
【分析】先将不等式组里的每个不等式解出来，再结合不等式组有解，得到a-1<2，从而求解.
7．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解不等式 得，
非负整数解有 0，1，2共3个，
故答案为：C.
【分析】先解得不等式的解集，再结合题意，进而得出结论.
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式6x-5≥m，得x≥.
解不等式，得x＜4.
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1.
∴-5＜m≤1.
解方程，得y=m+3.
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，即m≥-3.
∴-3≤m≤1.
∴符合条件的所有整数m的值为-3，-2，-1，0，1.
∴符合条件的所有整数m之和是-3+（-2）+（-1）+0+1=-5.
故答案为：B.
【分析】首先解不等式组得-5＜m≤1；再根据方程的解是非负数，得m≥-3；最后得到符合条件的所有整数m 的值，即可得到结果.
9．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x位同学，y棵树，则，，化简得 ，，有8位同学.
故答案为：A.
【分析】结合题意得到，消去y解出x的取值范围取整数即可.
10．【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
11．【答案】答案不唯一，如
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得当b为负数的时候，是错误的，
故答案为：答案不唯一，如
【分析】根据不等式的性质结合题意即可得到b的取值，进而即可求解。
12．【答案】4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，
由题意得：（8-5）×2000x≥22000，
解得：，
∴至少4个月后能赚回这台机器的贷款.
故答案为：4.
【分析】设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，根据题中的不等关系“单个的利润×月销售量×销售月数≥业主贷款22000”可列关于x的不等式，解不等式求出该不等式的最小正整数可求解.
13．【答案】7
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵a，b，c为非负数，∴S=a+b+c≥0．
又∵c-a=5，∴c=a+5，∴c≥5．
∵a+b=7，∴S=a+b+c=7+c．
∵c≥5， ∴c=5时S最小，即S最小值为7+5＝12，即n=12．
∵a+b=7，∴a≤7，∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a，
∴a=7时S最大，S最大值为12+7＝19，即m=19，
∴m-n=19-12=7
故答案为：7．
【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c-a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c﹣a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值.
14．【答案】；7
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由图形知： 当小明跑了2圈时，他的运动里程数＜3km；
设公园的环形道的周长为y，小明总共跑的圈数为x（x为正整数），
由题意得：，解得，
∴，
∵xy=10，
∴x=，
∴，
∴正整数x=7，
∴ 小明总共跑的圈数为7.
故答案为：＜，7.
【分析】根据环形跑道的周长与里程数的关系建立不等式组，从而求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，继而求解.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解不等式3x-a≥0，得： x≥
解不等式 b -2x＞0，得：x＜
∴不等式组的解集是
∵不等式组有五个整数为-2，-1，0，1，2，
∴-3＜≤-2且2＜≤3
解得：-9＜a≤-6，4≤b＜6，
∵a、b是整数，且点P在第四象限
∴b =5或6，a =-8或-7或-6；
∴点P的坐标是（-8，5）或（-7，5）或（-6，5）或（-8，6）或（-7，6）或（-6，6）共6个
故答案为：6．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意求出a、b的取值范围，然后找出整数a、b即可得出答案。
16．【答案】（1）解：，
3x-5＞4x，
3x-4x＞5，
-x＞5，
∴x＜-5；
（2）解：解不等式①得x＜2，
解不等式②得x＜1，
∴不等式组的解集为x<1；
（3）解：，
解不等式①得x＞3，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）依次去分母，移项、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得出答案；
（3）分别求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得出答案.
17．【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示，如图，
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，从而得到不等式组解集为-3＜x≤1，然后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
18．【答案】（1）解：40次
（2）解： 大于40次
（3）解： 小于40次
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据题意设去游泳馆的次数为x，根据两种方式的费用相同，80+x=3x，求出答案即可；
（2）根据题意，令80+x＞3x，求解即可；
（3）根据题意，令80+x＜3x，求解即可。
19．【答案】（1）A
（2）解：x＜3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式。系数为分数的不等式，要先去分母，依据不等式的性质，同时乘以或除以同一个不为0 的正数，不等式不变号；时乘以或除以同一个不为0 的负数，不等式要变号；在数轴上表示解集时，要注意，大于向右，小于向左，且实心表示带等号，空心表示不带等号。
20．【答案】（1）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
（2）解：①当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
；
②当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
，
③当，即时，
原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．
所以不等式的解集为或．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由-2x＞1，得x＜，
依据是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .
故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .
【分析】（1）根据不等式的基本性质即可作答；
（2）分①2x+1＞0，即x＞，②2x+1=0，即x=，③2x+1＜0，即x＜，三种情况分别求解可得.
21．【答案】解：解方程，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为，得：，
方程解适合不等式，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
又，
①，
同理可得②，
①②，得：，
，
的最大值为，最小值为．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【分析】先求出方程的解，再将其代入可得，求出，再结合，求出，最后求出，，最后求出，从而得解.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则，此时任意的实数x都满足条件，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
当时，则，
∵不等式解集中无正整数解，
∴，
∴；
当时，则，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
综上所述，；
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查新定义下的解不等式。结合题目定义，分类讨论情况是解题关键。
（1）根据定义的不等式：（且），当时，；则由可得，解得；
（2）根据 （且），当时，和 可得，整理得，分类讨论5-k情况：或或，可得k的范围；
（3） 根据题意，对a的范围分类讨论：当时，得，有，得；当时，有，有，得；综上所述，当时，；当时，．
23．【答案】（1）解：设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）解：设购买A型m只，购买B型为（50-m）只，
由题意得：
解得：
因为m为整数，所以m=34，35，36，37
方案一：A型34只，B型16只；
方案二：A型35只，B型15只；
方案三：A型36只，B型14只；
方案四：A型37只，B型13只．
因为B型单价贵，所以为省钱应少买B型，故方案四最省钱，即应买A型37只，B型13只．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意会列二元一次方程组；会根据题意列不等式组解决方案问题。
1 / 12023-2024学年初中数学人教版七年级下学期 第九章 不等式与不等式组 单元测试 B卷
一、选择题
1．不等式组 的解集在数轴上表示为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组可得，AC项，x≤2，不符合题意；D项，x﹤1，x≤2，不符合题意。
故答案为：C
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.
2．（2024八上·邵阳期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】 关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，
∴a-1＜0，
∴a＜1.
故答案为：A。
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，可以得出a-1＜0，解不等式即可得出a的取值范围。
3．（2024八上·拱墅期末）若，则下列各式正确的是（　　）
A．2a＜2b B． C． D．-a＜-b
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵∴则本项不符合题意，
B、∵∴则本项不符合题意，
C、∵∴则本项不符合题意，
D、∵∴则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐项判断即可.
4．若关于x的不等式（1-m）x≤1-m的解集为x>1，则m的值可以取（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式（1-m）x≤1-m的解集为x>1，
∴1-m＜0，
解得：m＞1，
而-1＜1，0＜1，1=1，2＞1，
∴m的值可以取 2.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质"①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变"并结合已知可得关于m的不等式，解不等式可得m的范围，根据各选项即可判断求解.
5．（2021七上·镇海期中）若 ， 则 由小到大排列正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴<-1，0∴故答案为：C.
【分析】根据 ，得出<-1，06．（2023八上·东安月考）若不等式组有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式1+x>a得x>a-1，
解不等式 得
不等式组有解，
a-1<2，
a<3,
故答案为：B.
【分析】先将不等式组里的每个不等式解出来，再结合不等式组有解，得到a-1<2，从而求解.
7．（2023八上·东安月考）不等式的非负整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解不等式 得，
非负整数解有 0，1，2共3个，
故答案为：C.
【分析】先解得不等式的解集，再结合题意，进而得出结论.
8．（2023七上·临平月考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　）
A．-6 B．-5 C．-3 D．-2
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式6x-5≥m，得x≥.
解不等式，得x＜4.
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴0＜≤1.
∴-5＜m≤1.
解方程，得y=m+3.
∵方程的解是非负数，
∴m+3≥0，即m≥-3.
∴-3≤m≤1.
∴符合条件的所有整数m的值为-3，-2，-1，0，1.
∴符合条件的所有整数m之和是-3+（-2）+（-1）+0+1=-5.
故答案为：B.
【分析】首先解不等式组得-5＜m≤1；再根据方程的解是非负数，得m≥-3；最后得到符合条件的所有整数m 的值，即可得到结果.
9．（2023八上·东阳月考）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（　　）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设有x位同学，y棵树，则，，化简得 ，，有8位同学.
故答案为：A.
【分析】结合题意得到，消去y解出x的取值范围取整数即可.
10．（2022·七下潼南期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
二、填空题
11．（2024七上·朝阳期末）举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值：　 　．
【答案】答案不唯一，如
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意得当b为负数的时候，是错误的，
故答案为：答案不唯一，如
【分析】根据不等式的性质结合题意即可得到b的取值，进而即可求解。
12．（2023八上·杭州月考）某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品.已知产品的成本每个5元，售价是每个8元.若每月能生产、销售2000个产品，问至少　 　个月后能赚回这台机器的贷款.
【答案】4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，
由题意得：（8-5）×2000x≥22000，
解得：，
∴至少4个月后能赚回这台机器的贷款.
故答案为：4.
【分析】设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，根据题中的不等关系“单个的利润×月销售量×销售月数≥业主贷款22000”可列关于x的不等式，解不等式求出该不等式的最小正整数可求解.
13．已知非负实数满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为　 　.
【答案】7
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵a，b，c为非负数，∴S=a+b+c≥0．
又∵c-a=5，∴c=a+5，∴c≥5．
∵a+b=7，∴S=a+b+c=7+c．
∵c≥5， ∴c=5时S最小，即S最小值为7+5＝12，即n=12．
∵a+b=7，∴a≤7，∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a，
∴a=7时S最大，S最大值为12+7＝19，即m=19，
∴m-n=19-12=7
故答案为：7．
【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=7和c-a=5推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=7和c﹣a=5把S=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值.
14．（2023七下·丰台期末）小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数　 　（填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为　 　．
【答案】；7
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由图形知： 当小明跑了2圈时，他的运动里程数＜3km；
设公园的环形道的周长为y，小明总共跑的圈数为x（x为正整数），
由题意得：，解得，
∴，
∵xy=10，
∴x=，
∴，
∴正整数x=7，
∴ 小明总共跑的圈数为7.
故答案为：＜，7.
【分析】根据环形跑道的周长与里程数的关系建立不等式组，从而求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，继而求解.
15．（2023七下·东丽期末）如果关于的不等式组仅有五个整数解为，，，，，若在第四象限，那么满足上述条件的整数，组成的点的坐标共有　 　个．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解不等式3x-a≥0，得： x≥
解不等式 b -2x＞0，得：x＜
∴不等式组的解集是
∵不等式组有五个整数为-2，-1，0，1，2，
∴-3＜≤-2且2＜≤3
解得：-9＜a≤-6，4≤b＜6，
∵a、b是整数，且点P在第四象限
∴b =5或6，a =-8或-7或-6；
∴点P的坐标是（-8，5）或（-7，5）或（-6，5）或（-8，6）或（-7，6）或（-6，6）共6个
故答案为：6．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据题意求出a、b的取值范围，然后找出整数a、b即可得出答案。
三、计算题
16．解下列不等式（组）：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：，
3x-5＞4x，
3x-4x＞5，
-x＞5，
∴x＜-5；
（2）解：解不等式①得x＜2，
解不等式②得x＜1，
∴不等式组的解集为x<1；
（3）解：，
解不等式①得x＞3，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）依次去分母，移项、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（2）分别求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得出答案；
（3）分别求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得出答案.
四、解答题
17．（2024八上·华容期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示，如图，
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，从而得到不等式组解集为-3＜x≤1，然后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
18．（2023七上·临洮月考） 一家游泳馆每年6到8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元.
（1）什么情况下，购会员证与不购证付一样的钱？
（2）什么情况下，购会员证比不购证更合算？
（3）什么情况下，不购会员证比购证更合算？
【答案】（1）解：40次
（2）解： 大于40次
（3）解： 小于40次
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【解题】（1）设去游泳馆的次数为x，由题意可得80+x=3x，
解得：x=40，
当去游泳馆40次时，购会员证与不购证付一样的钱；
（2）设去游泳馆的次数为x，由题意可得80+x>3x，
解得：x>40，
当去游泳馆多余40次时，购会员证比不购证付的钱更合算；
（3）设去游泳馆的次数为x，由题意可得80+x<3x，
解得：x<40，
当去游泳馆低于40次时，不购会员证比购更合算；
【分析】（1）根据题意设去游泳馆的次数为x，根据两种方式的费用相同，80+x=3x，即可求解；
（2）根据题意，可得80+x＞3x，进而求解；
（3）根据题意，可得80+x＜3x，进而求解.
五、实践探究题
19．（2023七下·二道期末）下面是张莉同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：．
去分母，得24-（x-7）＞8x+4．
（1）任务一：“去分母”这一步的变形依据是____（填“A”或“B”）．
A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2）任务二：请完成上述解不等式的余下步骤，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）A
（2）解：x＜3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式。系数为分数的不等式，要先去分母，依据不等式的性质，同时乘以或除以同一个不为0 的正数，不等式不变号；时乘以或除以同一个不为0 的负数，不等式要变号；在数轴上表示解集时，要注意，大于向右，小于向左，且实心表示带等号，空心表示不带等号。
20．（2023七下·忻州期末）阅读与思考
阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或．
任务：
（1）填空：上述解答过程中的“依据”是指　 　．
（2）仿照例题利用分类讨论思想解不等式：．
【答案】（1）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
（2）解：①当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
；
②当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
，
③当，即时，
原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．
所以不等式的解集为或．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由-2x＞1，得x＜，
依据是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .
故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 .
【分析】（1）根据不等式的基本性质即可作答；
（2）分①2x+1＞0，即x＞，②2x+1=0，即x=，③2x+1＜0，即x＜，三种情况分别求解可得.
21．（2023七下·秦安期末）阅读下列材料：
已知，且，，试确定的取值范围．
解：，，
，．
又，
①．
同理得②．
由①②，得，
．
请按照上述方法，解答下列问题．
若，且方程的解适合不等式，，求的取值范围，并写出的最大值和最小值
【答案】解：解方程，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为，得：，
方程解适合不等式，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，
又，
①，
同理可得②，
①②，得：，
，
的最大值为，最小值为．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【分析】先求出方程的解，再将其代入可得，求出，再结合，求出，最后求出，，最后求出，从而得解.
六、综合题
22．（2023七下·长沙期末）对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题：
（1）解关于x的不等式：；
（2）若关于x的不等式：，其解集中无正整数解，求k的取值范围；
（3）若关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则，此时任意的实数x都满足条件，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
当时，则，
∵不等式解集中无正整数解，
∴，
∴；
当时，则，
又∵不等式解集中无正整数解，
∴此种情况不符合题意；
综上所述，；
（3）解：当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∵在上总存在x的值使得成立，
∴，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查新定义下的解不等式。结合题目定义，分类讨论情况是解题关键。
（1）根据定义的不等式：（且），当时，；则由可得，解得；
（2）根据 （且），当时，和 可得，整理得，分类讨论5-k情况：或或，可得k的范围；
（3） 根据题意，对a的范围分类讨论：当时，得，有，得；当时，有，有，得；综上所述，当时，；当时，．
23．（2023八下·祥云期末）学校购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需要26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需要29元；
（1）求1只A型和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯的数量的3倍，不少于B型节能灯数量的2倍，有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】（1）解：设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）解：设购买A型m只，购买B型为（50-m）只，
由题意得：
解得：
因为m为整数，所以m=34，35，36，37
方案一：A型34只，B型16只；
方案二：A型35只，B型15只；
方案三：A型36只，B型14只；
方案四：A型37只，B型13只．
因为B型单价贵，所以为省钱应少买B型，故方案四最省钱，即应买A型37只，B型13只．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意会列二元一次方程组；会根据题意列不等式组解决方案问题。
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