2023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十八章 平行四边形 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形和正方形的判定并根据真假命题的定义依次判断即可求解.
2．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
3．如图，D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点.若AC=3，则 DE 的长为 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点
∴DE=AC＝
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中线等于第三边的一半解题即可.
4．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，AE=EF
∴DE∥BF
∴∠DEC=∠BFC=25°+10°=35°
∵BC＝CF
∴∠BFC＝∠CBF＝35°
∴∠C＝180°－35°－35°＝110°
∴∠ABC＝180°－25°－110°＝45°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线性质和外角性质，可得∠DEC=∠BFC=35°；根据等腰三角形的性质可得∠BFC＝∠CBF=35°，根据三角形的内角和定理可得∠C和∠ABC的度数.
5．如图，在 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点O，∠ODA=90°，OA=6，OB=2，则AD的长是（ ）
A．6 B．4 C．4 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD＝2
∵∠ODA＝90°
∴AD＝
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，可得OB=OD，进而根据勾股定理，可直接求出AD的长.
6．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AC=2OA=10，∠ADC=90°，进而根据勾股定理直接计算即可.
7．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③∠ABD=∠CBD；④AC⊥BD. 从中选一个条件作为补充，能使□ABCD变为菱形的是 （ ）
A．① B．①③ C．②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形，①正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，②不符合题意；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，③正确；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④正确；
∴满足条件的有①③④.
故答案为：D.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐项判断得出答案.
8．如图，□ABCD的两条对角线相交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC=4，BD=5
∴OB=BD=2.5，OC=AC=2，
∵ BC=3，
∴△BOC的周长为OB+OC+BC=2.5+2+3=7.5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得OB=BD=2.5，OC=AC=2，利用△BOC的周长为OB+OC+BC进行计算即可.
9．依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，A错误；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，B错误；
C、一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，C错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D正确；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可.
10．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （ ）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
二、填空题
11．在ABCD中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高等于12，则ABCD的周长是 .
【答案】58或38
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=15，AC=13，BC边上的高是12，即AE=12，
在Rt△ABE中，BE==9
在Rt△ACE中，CE==5，
如图1，BC=BE+CE=14，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=58，
如图2，BC=BE-CE=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=38，
故答案为：58或38．
【分析】平行四边形的形状未知，所以存在两种情况，得BC=BE+CE或BC=BE-CE；
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为 .
【答案】2
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，且OE=AE=AD=5，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∴FG=OE=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∵AE=5，EF=4，
∴AF=3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2，
故答案为2．
【分析】根据菱形性质和中位线性质可知OE=AB，根据直角三角形的中线性质可知AE=AD=5，通过矩形的判定方法可证出平行四边形OEFG是矩形，从而得知FG=OE=5，最后通过线段之间的和差关系得出答案.
13．如图，在矩形 ABCD的边AD 上找一点 P，使点 P 到B，C两点的距离之和最短，则点 P 的位置应该在 .
【答案】AD的中点处
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，
∴AB′=AB，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°，
在△APB′和△DCP中
∴△APB′≌△DCP（AAS），
∴AP=PD，
∴点P在AD的中点处.
故答案为：AD的中点处
【分析】作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，可得到AB′=AB，利用矩形的性质可知AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°；再利用AAS证明△APB′≌△DCP，利用全等三角形的性质可推出AP=PD，据此可得到点P在AD的中点处.
14．如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，AC=16cm，E，F分别是CD和BC的中点，连结EP并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm
【答案】12
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O：
根据题意可知AD∥BC，AB=BC=CD=DA=10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=8，
又∵AB∥CD，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在Rt△AOB中，AB=10，OA=8，
∴OB=OD=6，
∴BD=2OB=12，
∴EG=BD=12；
故答案为：12．
【分析】根据中位线的性质可以得知EF∥BD，所以可知四边形BDEG是平行四边形，则EG的长度就是BD的长度，通过勾股定理可求出.
15．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
三、作图题
16．如图所示为两张大小完全相同的6×6方格纸，每个小方格都是边长为1的正方形，小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫做格点多边形.网格中有一个边长为2的格点正方形，按下列要求画出拼图后的格点平行四边形.
（1）把图1中的格点正方形分割成两部分，再通过图形变换拼成一个格点平行四边形，在图1中画出这个格点平行四边形.
（2）把图2中的格点正方形分割成三部分，再通过图形变换拼成一个格点平行四边形，在图2中画出这个格点平行四边形.
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据题意画出图形即可.
四、解答题
17．如图，在ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EG的长为2.5．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.
18．如图，在 ABCD 中，延长 DA 到点 E，延长BC到点 F，使得 AE=CF，连结 EF，分别交AB，CD于点M，N，连结 DM，BN.求证：
（1）△AEM≌△CFN.
（2）四边形 BMDN 是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，
在△AEM和△CFN中
∴△AEM≌△CFN（ASA）
（2）证明：由（1）可知△AEM≌△CFN，
∴AM=CN，
∵AB=CD，
∴BM=DN，
∵BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，利用ASA可证得结论.
（2）由（1）可知△AEM≌△CFN，利用全等三角形的性质可证得AM=CN，由此可推出BM=DN，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
五、实践探究题
19．问题：如图，在ABCD中，AB=8，AD=5，∠DAB，∠ABC的平分线AE ，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF=2．
探究：
（1）把“问题”中的条件“AB= 8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB=8 ，AD=5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值
【答案】（1）解：①如图①，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB， BC=AD=5，AB∥ CD，∴∠DEA=∠BAE．∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠ DEA=∠DAE，∴ DE=AD=5．同理可得BC=CF=5．∵点E与点F重合，∴AB=CD=DE+CF= 10．
②如图②，
∵点E与点C重合．∴DE=DC=AD=5．∵CF=BC=5，∴点F与点D重合，∴EF=DC=5．
（2）解：分三种情况：
①如图③，
同(1)得AD=DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD=DE= EF=CF，∴
②如图④，
同(1)得AD=DE=CF，∵DF=FE=CE．∴
③如图⑤，
同(1)得AD=DE=CF，∵DF=DC=CE，∴ =2．
综上所述，的值为或或2．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)①根据平行四边形的性质，结合角平分线的性质得 DE=AD=5，BC=CF=5，即可得解；
②由题意可得点E与点C重合，点F与点D重合，所以EF=DC=5；
（2）分类讨论，①E，F在线段CD上，E在F左侧，②E，F在线段CD上，E在F右侧，③E，F在CD的延长线上，分别求解即可.
20．（2023八下·巩义期末）人教版初中数学教科书八年级下册第53页设置了如下一个“思考”栏目：
思考
如图2-3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．我们观察 ，在 中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
经过思考与探究，从而得到了直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
现在，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1：在 中， ，CD是斜边AB上的中线．
求证： ．
证明：延长CD至点E，使 ，连接AE，BE．
……
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
（2）定理应用：
如图2， 中， ，D为边AC上一点， 于点E，连接BD，M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC，EM．
①CM与EM的数量关系是 ．
②若BD是 的平分线，且 ，则 °．
【答案】（1）证明：延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE．
∴，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴，
∴四边形ACBE是平行四边形．
∵，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴．
∴；
（2）；140
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）①∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∵M是BD的中点，
∴，
同理可得，，
∴CM=EM，
故答案为：CM=EM；
②∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵ME=MB，
∴∠MBE=∠MEB=20°，
∴∠BME=180°-∠DEM+∠BDE=180°-20°-20°=140°，
故答案为：140．
【分析】（1）根据中线定义得AD=BD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的对角线相等可得CE=AB，即可证明；
（2）①根据直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半可得，，即可证明；
②根据直角三角形两个锐角互余可求得∠ABC=40°，根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABD=20°，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等可得∠MBE=∠MEB=20°，根据三角形内角和等于180°即可求解.
21．（2023八下·惠来期末）在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，为直尺的一条边，四边形为一正方形纸板、、、均为直角
（1）【操作发现】
如图小组成员小方把正方形的一条边与重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了的平分线，交正方形的边于点．
则此时的度数为 ；与的度数之间的关系为 ．
（2）【问题探究】
受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图放置，若此时记的度数为，其他条件不变，请帮小丽同学探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图放置，刘老师同样做出了的平分线，请直接写出与的度数之间的关系．
【答案】（1）45°；
（2）解：与的度数之间的关系没有发生改变．
理由如下：
如图，
，
，
平分，
，
，
即；
（3）解：如图，
的平分线为，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】正方形的性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=90°，∠PAB=45°，
∴∠DAE=90°，
∴∠PAB=∠DAE.
故答案为：45°，∠PAB=∠DAE.
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠DAB=90°，∠PAB=45°，∠DAE=90°，据此解答；
（2）根据邻补角的性质可得∠DAF=180°-α，由角平分线的概念可得∠DAQ=∠DAF=90°-α，则∠PAB=∠DAB-∠DAQ=90°-(90°-α)=α，据此解答；
（3）由角平分线的概念可得∠QAD=∠DAF，则∠QAB=90°+∠QAD=90°+∠DAF①，由邻补角的性质可得∠DAE=180°-∠DAF，则∠DAE=90°-∠DAF②，然后将①、②相加即可.
六、综合题
22．（2022八下·盘龙期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理求出BO的长，再利用，将数据代入求出即可。
23．（2019八下·博白期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，O F＝ DC，OE＝ BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质，易证∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，根据线段中点的定义，可证得BE=DF；再利用SAS可证得两三角形全等。
（2）根据线段的中点可证OE，OF是△ABC和△ACD的中位线，利用中位线定理就可推出AE=OE=OF=AF，即可证得四边形AEOF是菱形，要证此四边形是正方形，因此只需证这个四边形的一个角是直角，因此添加条件：菱形ABCD一组相邻的两边互相垂直即可。
24．（2023八下·小榄期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
由（1）得，，
∵，点为的中点
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（3）解：当时，四边形是正方形．
证明，如下：
∵，
∴
又∵点为的中点
∴
∴
∴
又∵四边形是菱形
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出四边形是平行四边形， 最后利用平行四边形的性质证明即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出四边形是平行四边形，最后利用菱形的判定方法证明即可；
（3）先求出 ，再求出∠CDB=90°，最后证明即可。
1 / 12023-2024学年初中数学人教版八年级下学期 第十八章 平行四边形 单元测试 A卷
一、选择题
1．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
3．如图，D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点.若AC=3，则 DE 的长为 （ ）
A．2 B． C．3 D．
4．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．如图，在 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点O，∠ODA=90°，OA=6，OB=2，则AD的长是（ ）
A．6 B．4 C．4 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知四边形 ABCD 是平行四边形，有下列条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③∠ABD=∠CBD；④AC⊥BD. 从中选一个条件作为补充，能使□ABCD变为菱形的是 （ ）
A．① B．①③ C．②④ D．①③④
8．如图，□ABCD的两条对角线相交于点O.若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长为（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
9．依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （ ）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
二、填空题
11．在ABCD中，已知AB=15，AC=13，BC边上的高等于12，则ABCD的周长是 .
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为 .
13．如图，在矩形 ABCD的边AD 上找一点 P，使点 P 到B，C两点的距离之和最短，则点 P 的位置应该在 .
14．如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，AC=16cm，E，F分别是CD和BC的中点，连结EP并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为 cm
15．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
三、作图题
16．如图所示为两张大小完全相同的6×6方格纸，每个小方格都是边长为1的正方形，小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫做格点多边形.网格中有一个边长为2的格点正方形，按下列要求画出拼图后的格点平行四边形.
（1）把图1中的格点正方形分割成两部分，再通过图形变换拼成一个格点平行四边形，在图1中画出这个格点平行四边形.
（2）把图2中的格点正方形分割成三部分，再通过图形变换拼成一个格点平行四边形，在图2中画出这个格点平行四边形.
四、解答题
17．如图，在ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
18．如图，在 ABCD 中，延长 DA 到点 E，延长BC到点 F，使得 AE=CF，连结 EF，分别交AB，CD于点M，N，连结 DM，BN.求证：
（1）△AEM≌△CFN.
（2）四边形 BMDN 是平行四边形.
五、实践探究题
19．问题：如图，在ABCD中，AB=8，AD=5，∠DAB，∠ABC的平分线AE ，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF=2．
探究：
（1）把“问题”中的条件“AB= 8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB=8 ，AD=5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值
20．（2023八下·巩义期末）人教版初中数学教科书八年级下册第53页设置了如下一个“思考”栏目：
思考
如图2-3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．我们观察 ，在 中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
经过思考与探究，从而得到了直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
现在，我们一起来探究这条性质的证明过程：
如图1：在 中， ，CD是斜边AB上的中线．
求证： ．
证明：延长CD至点E，使 ，连接AE，BE．
……
（1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程．
（2）定理应用：
如图2， 中， ，D为边AC上一点， 于点E，连接BD，M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F，连接EC，EM．
①CM与EM的数量关系是 ．
②若BD是 的平分线，且 ，则 °．
21．（2023八下·惠来期末）在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，为直尺的一条边，四边形为一正方形纸板、、、均为直角
（1）【操作发现】
如图小组成员小方把正方形的一条边与重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了的平分线，交正方形的边于点．
则此时的度数为 ；与的度数之间的关系为 ．
（2）【问题探究】
受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图放置，若此时记的度数为，其他条件不变，请帮小丽同学探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图放置，刘老师同样做出了的平分线，请直接写出与的度数之间的关系．
六、综合题
22．（2022八下·盘龙期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23．（2019八下·博白期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
24．（2023八下·小榄期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
（1）求证：；
（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形和正方形的判定并根据真假命题的定义依次判断即可求解.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边BA，BC的中点
∴DE=AC＝
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中线等于第三边的一半解题即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，AE=EF
∴DE∥BF
∴∠DEC=∠BFC=25°+10°=35°
∵BC＝CF
∴∠BFC＝∠CBF＝35°
∴∠C＝180°－35°－35°＝110°
∴∠ABC＝180°－25°－110°＝45°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线性质和外角性质，可得∠DEC=∠BFC=35°；根据等腰三角形的性质可得∠BFC＝∠CBF=35°，根据三角形的内角和定理可得∠C和∠ABC的度数.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD＝2
∵∠ODA＝90°
∴AD＝
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，可得OB=OD，进而根据勾股定理，可直接求出AD的长.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AC=2OA=10，∠ADC=90°，进而根据勾股定理直接计算即可.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：邻边相等的平行四边形是菱形，①正确；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，②不符合题意；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，③正确；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④正确；
∴满足条件的有①③④.
故答案为：D.
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐项判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC=4，BD=5
∴OB=BD=2.5，OC=AC=2，
∵ BC=3，
∴△BOC的周长为OB+OC+BC=2.5+2+3=7.5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得OB=BD=2.5，OC=AC=2，利用△BOC的周长为OB+OC+BC进行计算即可.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，A错误；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，B错误；
C、一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，C错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D正确；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
11．【答案】58或38
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=15，AC=13，BC边上的高是12，即AE=12，
在Rt△ABE中，BE==9
在Rt△ACE中，CE==5，
如图1，BC=BE+CE=14，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=58，
如图2，BC=BE-CE=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=38，
故答案为：58或38．
【分析】平行四边形的形状未知，所以存在两种情况，得BC=BE+CE或BC=BE-CE；
12．【答案】2
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE=AB，且OE=AE=AD=5，
∴OE∥FG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∴FG=OE=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∵AE=5，EF=4，
∴AF=3，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2，
故答案为2．
【分析】根据菱形性质和中位线性质可知OE=AB，根据直角三角形的中线性质可知AE=AD=5，通过矩形的判定方法可证出平行四边形OEFG是矩形，从而得知FG=OE=5，最后通过线段之间的和差关系得出答案.
13．【答案】AD的中点处
【知识点】矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，
∴AB′=AB，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°，
在△APB′和△DCP中
∴△APB′≌△DCP（AAS），
∴AP=PD，
∴点P在AD的中点处.
故答案为：AD的中点处
【分析】作点B关于AD的对称点B′，连接B′C，交AD于点P，可得到AB′=AB，利用矩形的性质可知AB=CD=AB′，∠BAD=∠B′AP=∠D=90°；再利用AAS证明△APB′≌△DCP，利用全等三角形的性质可推出AP=PD，据此可得到点P在AD的中点处.
14．【答案】12
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O：
根据题意可知AD∥BC，AB=BC=CD=DA=10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=8，
又∵AB∥CD，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在Rt△AOB中，AB=10，OA=8，
∴OB=OD=6，
∴BD=2OB=12，
∴EG=BD=12；
故答案为：12．
【分析】根据中位线的性质可以得知EF∥BD，所以可知四边形BDEG是平行四边形，则EG的长度就是BD的长度，通过勾股定理可求出.
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
16．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据题意画出图形即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EG的长为2.5．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.
18．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∴∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，
在△AEM和△CFN中
∴△AEM≌△CFN（ASA）
（2）证明：由（1）可知△AEM≌△CFN，
∴AM=CN，
∵AB=CD，
∴BM=DN，
∵BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，∠E=∠F，∠EAM=∠ABC=∠FCN，利用ASA可证得结论.
（2）由（1）可知△AEM≌△CFN，利用全等三角形的性质可证得AM=CN，由此可推出BM=DN，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
19．【答案】（1）解：①如图①，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB， BC=AD=5，AB∥ CD，∴∠DEA=∠BAE．∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE，∴∠ DEA=∠DAE，∴ DE=AD=5．同理可得BC=CF=5．∵点E与点F重合，∴AB=CD=DE+CF= 10．
②如图②，
∵点E与点C重合．∴DE=DC=AD=5．∵CF=BC=5，∴点F与点D重合，∴EF=DC=5．
（2）解：分三种情况：
①如图③，
同(1)得AD=DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD=DE= EF=CF，∴
②如图④，
同(1)得AD=DE=CF，∵DF=FE=CE．∴
③如图⑤，
同(1)得AD=DE=CF，∵DF=DC=CE，∴ =2．
综上所述，的值为或或2．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)①根据平行四边形的性质，结合角平分线的性质得 DE=AD=5，BC=CF=5，即可得解；
②由题意可得点E与点C重合，点F与点D重合，所以EF=DC=5；
（2）分类讨论，①E，F在线段CD上，E在F左侧，②E，F在线段CD上，E在F右侧，③E，F在CD的延长线上，分别求解即可.
20．【答案】（1）证明：延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE．
∴，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴，
∴四边形ACBE是平行四边形．
∵，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴．
∴；
（2）；140
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）①∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∵M是BD的中点，
∴，
同理可得，，
∴CM=EM，
故答案为：CM=EM；
②∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵ME=MB，
∴∠MBE=∠MEB=20°，
∴∠BME=180°-∠DEM+∠BDE=180°-20°-20°=140°，
故答案为：140．
【分析】（1）根据中线定义得AD=BD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBE是矩形，根据矩形的对角线相等可得CE=AB，即可证明；
（2）①根据直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半可得，，即可证明；
②根据直角三角形两个锐角互余可求得∠ABC=40°，根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABD=20°，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等可得∠MBE=∠MEB=20°，根据三角形内角和等于180°即可求解.
21．【答案】（1）45°；
（2）解：与的度数之间的关系没有发生改变．
理由如下：
如图，
，
，
平分，
，
，
即；
（3）解：如图，
的平分线为，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】正方形的性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=90°，∠PAB=45°，
∴∠DAE=90°，
∴∠PAB=∠DAE.
故答案为：45°，∠PAB=∠DAE.
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠DAB=90°，∠PAB=45°，∠DAE=90°，据此解答；
（2）根据邻补角的性质可得∠DAF=180°-α，由角平分线的概念可得∠DAQ=∠DAF=90°-α，则∠PAB=∠DAB-∠DAQ=90°-(90°-α)=α，据此解答；
（3）由角平分线的概念可得∠QAD=∠DAF，则∠QAB=90°+∠QAD=90°+∠DAF①，由邻补角的性质可得∠DAE=180°-∠DAF，则∠DAE=90°-∠DAF②，然后将①、②相加即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，且，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理可得：∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理求出BO的长，再利用，将数据代入求出即可。
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，O F＝ DC，OE＝ BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质，易证∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，根据线段中点的定义，可证得BE=DF；再利用SAS可证得两三角形全等。
（2）根据线段的中点可证OE，OF是△ABC和△ACD的中位线，利用中位线定理就可推出AE=OE=OF=AF，即可证得四边形AEOF是菱形，要证此四边形是正方形，因此只需证这个四边形的一个角是直角，因此添加条件：菱形ABCD一组相邻的两边互相垂直即可。
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
由（1）得，，
∵，点为的中点
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（3）解：当时，四边形是正方形．
证明，如下：
∵，
∴
又∵点为的中点
∴
∴
∴
又∵四边形是菱形
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出四边形是平行四边形， 最后利用平行四边形的性质证明即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出四边形是平行四边形，最后利用菱形的判定方法证明即可；
（3）先求出 ，再求出∠CDB=90°，最后证明即可。
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