人教版初中数学八年级下学期 第十八章 平行四边形 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2023九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．（2024九上·贵阳期末）已知菱形的边长为13cm，它的一条对角线长为10cm，则该菱形的面积为（ ）
A．60cm2 B．120cm2 C．240cm2 D．480cm2
3．（2024九上·揭阳期末）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直
4．（初中数学浙教版八下精彩练第五章质量评估卷）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2023·湘潭）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·深圳开学考）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，任意长为半径作圆弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则△AEC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（2024·深圳模拟） 如图， 在矩形 ABCD 中， ， 对角线AC与BD相交于点 ， A E 垂直平分OB于点 E， 则 BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
8．（2021八下·西湖期末）如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
9．（2020八上·谢家集期末）如图，把 剪成三部分，边 ， ， 放在同一直线 上，点 都落在直线 上，直线 .在 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九下·重庆开学考）如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
二、填空题
11．（2024九上·渌口期末）如图所示，已知在梯形ABCD中，，，则 ．
12．（2021·福州模拟）如图， 中， ， ， ，D是AB的中点，E是BC的中点， 于点F，则 的长是 .
13．（2023九上·章丘月考）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
14．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
15．正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为 ；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为 .
三、作图题
16．（2022·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
四、解答题
17．（2024九下·福州开学考）如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：AE＝CF．
18．（2024八上·朝阳期末）已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
五、实践探究题
19．（2024九上·防城期末）【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.
图1 图2
【动手操作】如图1，是正方形的对角线，点E是上的一个动点，过点E和B作等腰直角，其中，，与射线交于点P.
请完成：
（1）试判断图1中的和的数量关系；
（2）当点P在线段上时，求证：.
（3）【类比操作】如图2，当点P在线段的延长线上时.是否还成立 请判断并证明你的结论.
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点 F 在 AC 的延长线上，且 BE =CF，连结 EF交 BC 于点D，延长 BC 至点G，使 BD=GD，连结 EG，FG，BF.试探究 CF 和GF之间的数量关系，并说明理由.
21．（2023九下·松原月考）
（1）【知识呈现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【知识应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若，，则EF的长为 ；
（3）【知识拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD、BC于点E、F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若，，，则四边形AFCE的面积为 .
六、综合题
22．（2023七上·哈尔滨月考）已知：四边形是长方形，点，分别在边和上，，，，
（1） ， ．
（2）设的面积为，用含的式子表示S．
（3）在（2）的条件下，当的情况下，动点从出发沿线段运动，速度为每秒个单位长度运动时间为求为何值时的面积与面积相等？
23．（2023九上·成都开学考）如图
已知：如图1，在四边形中，，四边形是平行四边形，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点G，连接，若．求证：四边形是菱形．
24．（2023九上·开州期中）如图，在中，，把边绕点旋转到．
（1）如图1，连接，使，，求到的距离；
（2）如图2，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：；
（3）如图3，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：举反例说明即可，菱形四边相等，故A说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线互相垂直且相等，故B说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线相等，故C说法错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故D说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形、矩形的判定定理，举反例进行逐一判断即可求解.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在菱形ABCD中，AB=13cm，AC=10cm，
∴∠AOB=90°，OA=5cm，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相平分求出∠AOB=90°，OA=5cm，再利用勾股定理求出OB的值，最后根据三角形和菱形的面积公式计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故符合题意；
B、菱形的对角线不相等 ，故不符合题意；
C、正方形的四条边相等，四个角相等，故不符合题意；
D、菱形、正方形的对角线互相垂直， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，
∴=70°，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质结合平行线的性质即可得到∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，进而结合题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∠B=∠BAD=90°，
∠BAC＝60°，
∠BCA＝30°，
根据作图可得AE平分∠BAC，
∠BAE＝∠CAE=30°，
∠EAC＝∠ECA=30°，
AE=CE，
过点E作EF⊥AC于点F，如图，
EF=BE=1，
EC=3-1=2，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，结合已知条件求得∠BCA＝30°，由作图可得AE平分∠BAC，从而得到∠BAE＝∠CAE=30°，利用等腰三角形的性质得到AE=CE，过点E作EF⊥AC于点F，得到EF=BE=1，求得由直角三角形的性质得到最后利用三角形面积公式即可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴AB=AO=OB=2，
∴AC=2×2=4
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质可证得OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，利用垂直平分线的性质求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形.
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= ，
即EG+QG=EG+FH= ，
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，易证△FCH≌△QAG，得到AQ=CF=2，FH=QG，推出四边形ADEM是矩形，进而求得AM、EM、MQ的值，接下来在Rt△EMQ中，应用勾股定理可得EQ的值，据此可得EG+QG=EG+FH的值.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线之间的距离；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥l，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠BOC=180- （180-∠BAC）=90°+ ∠BAC=130°，
∴∠BAC=80°.
故答案为：C.
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+ ∠BAC，通过计算即可得到答案．
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
11．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】设△ABD的边AD边上的高为h，
，
△BCD的边BC边上的高为h，
即
故答案为： .
【分析】设△ABD的边AD边上的高为h，根据，得到△BCD的边BC边上的高为h，结合 ， 利用三角形的面积公式代入数据化简即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=
=10，
∵D是AB的中点，
∴BD=DC=AD=5，
=
，
连接DE，
∵E是BC的中点，
∴ =6，
∵ ，
∴ .
故答案为：
.
【分析】首先由勾股定理可得AB的值，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BD=DC=AD=5， 求出△BDC的面积，连接DE，易得S△DEC= S△BCD，然后结合三角形的面积公式计算即可求出EF.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
15．【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BD，交BD于点M，
在△DFM和△BEM中
∴△DFM≌△BEM（AAS），
∴BM=DM，FM=ME，
∵正方形ABCD，
∴∠A=90°，AB=AD=2，
∴，
∴，
设ME=x，则BE=2x，
∴BE2+ME2=BM2即x2+4x2=2，
解之：x=，
∴；
如图，将KL，HJ，HI，HG平移，
设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，可知DS=2x， SO=1.5x，
∴（1.5x）2+（2x）2=2
解之：x=.
故答案为：，.
【分析】连接BD，交BD于点M，利用AAS证明△DFM≌△BEM，利用全等三角形的性质可证得BM=DM，FM=ME，利用正方形的性质可得到∠A=90°，AB=AD=2，利用勾股定理求出BD的长，可得到BM的长；设ME=x，则BE=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长；如图，将KL，HJ，HI，HG平移，设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，则DS=2x， SO=1.5x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
16．【答案】（1）解：答案不唯一。
（2）解：如图
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】(1)以AB为腰或以AB为底，根据等腰三角形的性质，找出C点的位置，再连线即可；
(2)根据菱形四边相等的性质，找出点D和点E的位置，再连线即可.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴；
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
（2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出，根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明；
（2），推出，，根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可．
19．【答案】（1）解：
（2）解：证明：如图，过点E作于M，于N，则，四边形是矩形，
，又，
，
四边形是正方形，
平分（又于M，），
又，，；
（3）解：当点P在线段的延长线上时，EP=BE还成立.
理由：过点E作于M，于N，则四边形是矩形，
∴∠MEN=90°，
∵∠FEG=∠BEM+∠MEP=∠PEN+∠MEP=90°，
∴∠BEM=∠PEN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∵，，
∴EM=EN，∠BME=∠PNE=90°，
∴△BEM≌△PEN（ASA），
∴BE=EP.
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵∠FEC=90°，
∴.
【分析】（1）根据∠FEC=90°即可求解；
（2）过点E作于M，于N，则四边形是矩形，根据ASA证明△BEM≌△PEN，可得BE=EP；
（3）当点P在线段的延长线上时，EP=BE还成立.理由：过点E作于M，于N，同（2）可证△BEM≌△PEN（ASA），可得BE=EP.
20．【答案】解：CF=GF.理由如下，
过点E作EH∥AF交BC于点H，连接HF，AF交EG于点I，如图，
∵ EH∥AF，
∴ ∠ACB=∠EHB，
∵ AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC，
∴ ∠EHB=∠ABC，
∴ EB=EH，
∵ BE=CF，
∴ EH=CF，
∵ EH∥CF，
∴ 四边形EHFI为平行四边形，
∴ ED=FD，
∵ BD=GD，
∴ 四边形EBFG为平行四边形，
∴ EB∥GF，
∴ ∠ABC=∠CGF，
∵ ∠ACB=∠ABC，∠ACB=∠GCF，
∴ ∠CGF=∠GCF，
∴ CF=GF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】过点E作EH∥AF交BC于点H，根据平行线的性质和题意得EB=EH，根据平行四边形的判定和性质可得ED=FD，进而判定四边形EBFG为平行四边形，推出 EB∥GF，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可求得.
21．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，，，EF垂直平分AC，，.在与中，，，，，，四边形AFCE是平行四边形，，四边形AFCE是菱形.
（2）
（3）15
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图，连接、
由（教材呈现）可得平行四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将沿翻折，使点的对称点与点重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是菱形，
∴
∵在中，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是：；
故答案为：．
【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质得到，进而根据垂直平分线的性质得到，，再结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解；
（2）连接、，先根据菱形的性质得到，，进而运用勾股定理即可得到，再根据勾股定理结合三角形的面积即可求解；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先根据平行四边形的性质得到，进而根据折叠的性质得到，，再根据平行线的性质得到，进而结合题意运用平行四边形的判定和菱形的判定与性质得到，再根据勾股定理即可求解。
22．【答案】（1）-4；6
（2）解：∵，，，，，
∴，，
∴
，
∴；
（3）解：由得，
∴，
当点在上时，
∵，，的面积与面积相等，
∴，，
∴，
∴秒时，的面积与面积相等，
当点在上时，
∵，，的面积与面积相等，
∴
∴，
∴，
∴秒时，的面积与面积相等，
综上所述，当或秒时，的面积与面积相等．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，，
即m+4=0，n-6=0，
解得：m=-4，n=6；
故答案为：-4；6.
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解；
（2）结合（1）中结论和矩形的对边相等，求出A和F的坐标，结合图形即可求解；
（3）将S=26代入求出k的值，得出E的坐标，分两种情况分析：当P在BC上时，根据面积相等列出方程式，求出PE的值，即可求解；当P在AB上时，根据面积相等列出方程式，求出PE的值，即可求解.
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出，， 根据SAS证明△ADE≌△FCD；
（2）由全等三角形的性质可得， 则，结合AG=CD可证四边形是平行四边形，从而推断出CG∥BF，CG=BF，可证四边形是平行四边形， 而CF=BF，可证四边形是菱形．
24．【答案】（1）解：如图，作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴到的距离为；
（2）证明：如图，延长至K，使，连接，
∵，
∴，
∴是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∵
∴，
∴
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）如图，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
∴当点N在与圆的交点时，取最小，
∵，，
，
∴，
∴，
作于点M，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，首先计算AC的长度，继而计算CG，求出答案即可；
（2）延长EG到k，使得KG=AB，连接AK，即可证明四边形ABKG为平行四边形，即可得到AK=BG，由全等三角形的判定定理证明△ABC≌△BEG，继而得到∠AKC=∠AC证明得到答案即可；
（3）根据题意求出∠ANB=90°，即可得到点N为OC与圆的交点，结合勾股定理求出OC，继而得到CN，求出FC上的高，计算△CNF的面积即可。
1 / 1人教版初中数学八年级下学期 第十八章 平行四边形 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2023九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：举反例说明即可，菱形四边相等，故A说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线互相垂直且相等，故B说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线相等，故C说法错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故D说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形、矩形的判定定理，举反例进行逐一判断即可求解.
2．（2024九上·贵阳期末）已知菱形的边长为13cm，它的一条对角线长为10cm，则该菱形的面积为（ ）
A．60cm2 B．120cm2 C．240cm2 D．480cm2
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵在菱形ABCD中，AB=13cm，AC=10cm，
∴∠AOB=90°，OA=5cm，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相平分求出∠AOB=90°，OA=5cm，再利用勾股定理求出OB的值，最后根据三角形和菱形的面积公式计算求解即可。
3．（2024九上·揭阳期末）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故符合题意；
B、菱形的对角线不相等 ，故不符合题意；
C、正方形的四条边相等，四个角相等，故不符合题意；
D、菱形、正方形的对角线互相垂直， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质逐项判断即可.
4．（初中数学浙教版八下精彩练第五章质量评估卷）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
5．（2023·湘潭）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，CD∥AB，
∴∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，
∴=70°，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质结合平行线的性质即可得到∠2+∠DCA=90°，∠1=∠DCA，进而结合题意即可求解。
6．（2024九下·深圳开学考）如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，以点A为圆心，任意长为半径作圆弧分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则△AEC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∠B=∠BAD=90°，
∠BAC＝60°，
∠BCA＝30°，
根据作图可得AE平分∠BAC，
∠BAE＝∠CAE=30°，
∠EAC＝∠ECA=30°，
AE=CE，
过点E作EF⊥AC于点F，如图，
EF=BE=1，
EC=3-1=2，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，结合已知条件求得∠BCA＝30°，由作图可得AE平分∠BAC，从而得到∠BAE＝∠CAE=30°，利用等腰三角形的性质得到AE=CE，过点E作EF⊥AC于点F，得到EF=BE=1，求得由直角三角形的性质得到最后利用三角形面积公式即可得出结论.
7．（2024·深圳模拟） 如图， 在矩形 ABCD 中， ， 对角线AC与BD相交于点 ， A E 垂直平分OB于点 E， 则 BC的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴AB=AO=OB=2，
∴AC=2×2=4
∴.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的性质可证得OA=OB=OC，AC=2AO，∠ABC=90°，利用垂直平分线的性质求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
8．（2021八下·西湖期末）如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形.
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= ，
即EG+QG=EG+FH= ，
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，易证△FCH≌△QAG，得到AQ=CF=2，FH=QG，推出四边形ADEM是矩形，进而求得AM、EM、MQ的值，接下来在Rt△EMQ中，应用勾股定理可得EQ的值，据此可得EG+QG=EG+FH的值.
9．（2020八上·谢家集期末）如图，把 剪成三部分，边 ， ， 放在同一直线 上，点 都落在直线 上，直线 .在 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线之间的距离；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥l，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠BOC=180- （180-∠BAC）=90°+ ∠BAC=130°，
∴∠BAC=80°.
故答案为：C.
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+ ∠BAC，通过计算即可得到答案．
10．（2022九下·重庆开学考）如图，在矩形 中， 、 分别是边 、 上的点， ，连接 、 ， 与对角线 交于点 ，且 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在Rt△BFO和Rt△BFC中，
，
∴Rt△BFO≌Rt△BFC，
∴BO=BC，
在Rt△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，
∵BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6.
故答案为：D.
【分析】连接BO，根据矩形的性质可得DC∥AB，∠DCB=90°，根据平行线的性质可得∠FCO=∠EAO，证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，推出∠EAO=∠EOA，则EA=EO=OF=FC=2，证明Rt△BFO≌Rt△BFC，得到BO=BC，易得△BOC是等边三角形，得到∠BCO=60°，∠BAC=30°，则∠FEB=2∠CAB=60°，进而推出△BEF是等边三角形，则EB=EF=4，然后根据AB=AE+EB进行计算.
二、填空题
11．（2024九上·渌口期末）如图所示，已知在梯形ABCD中，，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】设△ABD的边AD边上的高为h，
，
△BCD的边BC边上的高为h，
即
故答案为： .
【分析】设△ABD的边AD边上的高为h，根据，得到△BCD的边BC边上的高为h，结合 ， 利用三角形的面积公式代入数据化简即可求解.
12．（2021·福州模拟）如图， 中， ， ， ，D是AB的中点，E是BC的中点， 于点F，则 的长是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=
=10，
∵D是AB的中点，
∴BD=DC=AD=5，
=
，
连接DE，
∵E是BC的中点，
∴ =6，
∵ ，
∴ .
故答案为：
.
【分析】首先由勾股定理可得AB的值，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BD=DC=AD=5， 求出△BDC的面积，连接DE，易得S△DEC= S△BCD，然后结合三角形的面积公式计算即可求出EF.
13．（2023九上·章丘月考）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
14．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
15．正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为 ；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为 .
【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BD，交BD于点M，
在△DFM和△BEM中
∴△DFM≌△BEM（AAS），
∴BM=DM，FM=ME，
∵正方形ABCD，
∴∠A=90°，AB=AD=2，
∴，
∴，
设ME=x，则BE=2x，
∴BE2+ME2=BM2即x2+4x2=2，
解之：x=，
∴；
如图，将KL，HJ，HI，HG平移，
设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，可知DS=2x， SO=1.5x，
∴（1.5x）2+（2x）2=2
解之：x=.
故答案为：，.
【分析】连接BD，交BD于点M，利用AAS证明△DFM≌△BEM，利用全等三角形的性质可证得BM=DM，FM=ME，利用正方形的性质可得到∠A=90°，AB=AD=2，利用勾股定理求出BD的长，可得到BM的长；设ME=x，则BE=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长；如图，将KL，HJ，HI，HG平移，设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，则DS=2x， SO=1.5x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
三、作图题
16．（2022·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
【答案】（1）解：答案不唯一。
（2）解：如图
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】(1)以AB为腰或以AB为底，根据等腰三角形的性质，找出C点的位置，再连线即可；
(2)根据菱形四边相等的性质，找出点D和点E的位置，再连线即可.
四、解答题
17．（2024九下·福州开学考）如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：AE＝CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴；
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
18．（2024八上·朝阳期末）已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
【答案】（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
（2）解：当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出，根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明；
（2），推出，，根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可．
五、实践探究题
19．（2024九上·防城期末）【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.
图1 图2
【动手操作】如图1，是正方形的对角线，点E是上的一个动点，过点E和B作等腰直角，其中，，与射线交于点P.
请完成：
（1）试判断图1中的和的数量关系；
（2）当点P在线段上时，求证：.
（3）【类比操作】如图2，当点P在线段的延长线上时.是否还成立 请判断并证明你的结论.
【答案】（1）解：
（2）解：证明：如图，过点E作于M，于N，则，四边形是矩形，
，又，
，
四边形是正方形，
平分（又于M，），
又，，；
（3）解：当点P在线段的延长线上时，EP=BE还成立.
理由：过点E作于M，于N，则四边形是矩形，
∴∠MEN=90°，
∵∠FEG=∠BEM+∠MEP=∠PEN+∠MEP=90°，
∴∠BEM=∠PEN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∵，，
∴EM=EN，∠BME=∠PNE=90°，
∴△BEM≌△PEN（ASA），
∴BE=EP.
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵∠FEC=90°，
∴.
【分析】（1）根据∠FEC=90°即可求解；
（2）过点E作于M，于N，则四边形是矩形，根据ASA证明△BEM≌△PEN，可得BE=EP；
（3）当点P在线段的延长线上时，EP=BE还成立.理由：过点E作于M，于N，同（2）可证△BEM≌△PEN（ASA），可得BE=EP.
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点 F 在 AC 的延长线上，且 BE =CF，连结 EF交 BC 于点D，延长 BC 至点G，使 BD=GD，连结 EG，FG，BF.试探究 CF 和GF之间的数量关系，并说明理由.
【答案】解：CF=GF.理由如下，
过点E作EH∥AF交BC于点H，连接HF，AF交EG于点I，如图，
∵ EH∥AF，
∴ ∠ACB=∠EHB，
∵ AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC，
∴ ∠EHB=∠ABC，
∴ EB=EH，
∵ BE=CF，
∴ EH=CF，
∵ EH∥CF，
∴ 四边形EHFI为平行四边形，
∴ ED=FD，
∵ BD=GD，
∴ 四边形EBFG为平行四边形，
∴ EB∥GF，
∴ ∠ABC=∠CGF，
∵ ∠ACB=∠ABC，∠ACB=∠GCF，
∴ ∠CGF=∠GCF，
∴ CF=GF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】过点E作EH∥AF交BC于点H，根据平行线的性质和题意得EB=EH，根据平行四边形的判定和性质可得ED=FD，进而判定四边形EBFG为平行四边形，推出 EB∥GF，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可求得.
21．（2023九下·松原月考）
（1）【知识呈现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【知识应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若，，则EF的长为 ；
（3）【知识拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD、BC于点E、F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为G，若，，，则四边形AFCE的面积为 .
【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，，，EF垂直平分AC，，.在与中，，，，，，四边形AFCE是平行四边形，，四边形AFCE是菱形.
（2）
（3）15
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图，连接、
由（教材呈现）可得平行四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将沿翻折，使点的对称点与点重合，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴是菱形，
∴
∵在中，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是：；
故答案为：．
【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质得到，进而根据垂直平分线的性质得到，，再结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解；
（2）连接、，先根据菱形的性质得到，，进而运用勾股定理即可得到，再根据勾股定理结合三角形的面积即可求解；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先根据平行四边形的性质得到，进而根据折叠的性质得到，，再根据平行线的性质得到，进而结合题意运用平行四边形的判定和菱形的判定与性质得到，再根据勾股定理即可求解。
六、综合题
22．（2023七上·哈尔滨月考）已知：四边形是长方形，点，分别在边和上，，，，
（1） ， ．
（2）设的面积为，用含的式子表示S．
（3）在（2）的条件下，当的情况下，动点从出发沿线段运动，速度为每秒个单位长度运动时间为求为何值时的面积与面积相等？
【答案】（1）-4；6
（2）解：∵，，，，，
∴，，
∴
，
∴；
（3）解：由得，
∴，
当点在上时，
∵，，的面积与面积相等，
∴，，
∴，
∴秒时，的面积与面积相等，
当点在上时，
∵，，的面积与面积相等，
∴
∴，
∴，
∴秒时，的面积与面积相等，
综上所述，当或秒时，的面积与面积相等．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，，
即m+4=0，n-6=0，
解得：m=-4，n=6；
故答案为：-4；6.
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性即可求解；
（2）结合（1）中结论和矩形的对边相等，求出A和F的坐标，结合图形即可求解；
（3）将S=26代入求出k的值，得出E的坐标，分两种情况分析：当P在BC上时，根据面积相等列出方程式，求出PE的值，即可求解；当P在AB上时，根据面积相等列出方程式，求出PE的值，即可求解.
23．（2023九上·成都开学考）如图
已知：如图1，在四边形中，，四边形是平行四边形，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点G，连接，若．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先求出，， 根据SAS证明△ADE≌△FCD；
（2）由全等三角形的性质可得， 则，结合AG=CD可证四边形是平行四边形，从而推断出CG∥BF，CG=BF，可证四边形是平行四边形， 而CF=BF，可证四边形是菱形．
24．（2023九上·开州期中）如图，在中，，把边绕点旋转到．
（1）如图1，连接，使，，求到的距离；
（2）如图2，连接交于点，当时，在边取一个点，使，过点作的垂线交于点，交于点，交延长线于点，求证：；
（3）如图3，若，连接，点是内部一个动点，连接、使，连接、，若，，当取最小时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：如图，作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴到的距离为；
（2）证明：如图，延长至K，使，连接，
∵，
∴，
∴是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
又∵，
∵
∴，
∴
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）如图，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
∴当点N在与圆的交点时，取最小，
∵，，
，
∴，
∴，
作于点M，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，首先计算AC的长度，继而计算CG，求出答案即可；
（2）延长EG到k，使得KG=AB，连接AK，即可证明四边形ABKG为平行四边形，即可得到AK=BG，由全等三角形的判定定理证明△ABC≌△BEG，继而得到∠AKC=∠AC证明得到答案即可；
（3）根据题意求出∠ANB=90°，即可得到点N为OC与圆的交点，结合勾股定理求出OC，继而得到CN，求出FC上的高，计算△CNF的面积即可。
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