人教版初中数学八年级下学期 第十九章 一次函数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024九上·杭州月考）已知点，，在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵点B和C的纵坐标相等，横坐标互为相反数
∴函数关于y轴对称，B、C不符合题意；
∵由点A和B的坐标可知，随着x的值增大，-2＜-1，y的值也在增大，a-1＜a；
A中当x由-2到-1时，y的值在减小；
∴D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数上点的特征，判断函数的对称轴；根据点的坐标的变化趋势，判断函数在一定区间的增长趋势，即可解题.
2．（2024九下·深圳开学考）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），
由图可得不等式ax+b＞0的解集是x＜4 ，
故答案为：B.
【分析】直接观察图象得到图象在x轴上方的部分对应的x的取值，从而求解.
3．（2024八上·深圳期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】由图表可知甲无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式为正比例函数即：，
其图象过点(5，40)，
即40 = 5k，
解得k = 8，
所以
由图表可知乙无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式可设为
因为图象过点(0，20)，(5，40)，
所以有
解得b=20 m=4
所以
当x = 10s时，
故选：D.
【分析】根据图表信息先分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式，再分别求出当x=10时，甲、乙两架无人机对应的高度求差即可.
4．（2024八上·深圳期末）直线y＝﹣ax+a与直线y＝ax在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据一次函数图象的性质：a>0时，直线y= -ax +a过一、二、四象限，直线y = ax过一、三象限，没有选项符合；
a<0时，直线y=-ax +a过一、三、四象限，直线y = ax过二、四象限
故选D.
【分析】根据一次函数图象的性质分a＞0和a＜0两种情况讨论即可.
5．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b
故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
6．（2023八上·六盘水期中）已知点和点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．无法判定
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为，
∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∵-3>-5，
∴，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的性质与系数的关系可得一次函数的函数值y随x的增大而增大，再结合-3>-5，可得，从而得解.
7．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
8．（2020·北京）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设水面高度为 注水时间为t分钟，
则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故答案为：B．
【分析】设水面高度为 注水时间为 分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．
9．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
10．（2023八上·深圳期中）如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（ ）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
【分析】过点A作AN⊥AB交BC于点N，过点N作MN⊥x轴于点M，用AAS证得△NAM≌△ABO，从而得到AM=OB，CM=OA， 由y=x+3 可得，，即可得到，结合待定系数法，把和代入，计算求解即可．
二、填空题
11．（2023八上·历下期中）直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 把点代入直线中，得b=2，即M（1，2），
∴ 关于的方程组的解为.
故答案为： .
【分析】 关于的方程组的解为直线与直线的交点坐标.
12．（2024八上·拱墅期末）如图，函数的图象经过点B（3，0），与函数的图象交于点A，则不等式0＜的解集为 ．
【答案】1＜x＜3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得：不等式的解集为函数在x轴上方且在函数下方的部分，
点A的坐标为：
∴该不等式解集为：，
故答案为：.
【分析】根据题中给的函数图象可知：不等式的解集为函数在x轴上方且在函数下方的部分，进而即可求解.
13．（2024八上·朝阳期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣1与y＝ax（a≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴方程组的解为，
即的解为：，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的交点坐标就是以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．据此求解即可。
14．（2023八上·龙岗期中）在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，当取最小值时， ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 如图，作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，
∵A（1，0），
∴A′（0，1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线A′B的解析式为y=x+1，
联立方程组，
解得，
∴P（，），
∴S△PAB=.
故答案为：.
【分析】作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，求出点P的坐标，再利用三角形面积公式进行计算，即可得出答案.
15．（2023九上·自流井开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形AnBn nCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…， n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
【答案】（2n-1-2，2n-1）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O的边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2，
∴A1（0，1）A2（1，2）
将其代入 y＝kx+b中得，解得，
∴y=x+1，
∴直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴A1（0，1），即为（20-1，20）
A2（1，2），即为（21-1，21），
A3（22-1，22），A4（23-1，23），······，
∴ 点An的坐标为 （2n-1-1，2n-1） ，
故答案为：（2n-1-1，2n-1） .
【分析】先确定A1，A2的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，然后分别求出A3、A4······的坐标，从而得出规律，继而得解.
三、解答题
16．（2024八上·桐乡市期末）如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：把点，分别代入直线的解析式，
得，，
解得，.
∴直线的解析式是.
（2）解：在直线中，令，得.
∴点C的坐标为.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点，分别代入直线的解析式，即可求解；
（2）结合（1）求出点C的坐标，然后根据三角形面积计算公式计算即可.
17．（2024七上·岳池期末）现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（）与人体身高（m）平方的商．对于成年人来说，身体质量指数低于18.5，体重过轻；身体质量指数在18.5~25范围内，体重适中；身体质量指数高于25，体重超重或肥胖．
（1）设一个人的体重为w（），身高为h（m），则他的身体质量指数p为 ．（用含w，h的式子表示）
（2）李老师的身高是，体重是，他的体重是否适中？
【答案】（1）
（2）解：当时，
李老师的身体质量指数为．
因为，
所以他的体重适中．
【知识点】函数解析式；函数值
【解析】【解答】（1）根据题意可得：他的身体质量指数P=，
故答案为：.
【分析】（1）根据“身体质量指数等于人体体重与人体身高平方的商”列出函数解析式即可；
（2）将h=1.70和w=60代入P=求出p的值，再比较判断即可.
18．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为.在轴的负半轴上有一点，直线AB上有一点，且OD
（1）求b的值及点的坐标.
（2）在线段AB上有一个动点，点的横坐标为，作点关于轴的对称点，当点落在内（不包括边界）时，求的取值范围.
【答案】（1）解：将点 的坐标 代人 ， 求得 . . 点 坐标为 点 横坐标为 -2 ， 当 时， ， 点 坐标为
（2）解： 点 所在直线的函数表达式为 点 Q 所在直线的函数表达式为 ).设CD 所在直线的函数表达式为y=kx+b，将C(-4，0)，D( -2，4)代入表达式，得k= 2，b=， 即y=2x+8.设 所在直线函数表达式为 ，将 代人表达式， 得 ， 即 ， 联立方程 解得 联立方程 解
∵点Q横坐标为-a，∴解得 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB解析式，把代入，即可得解；
（2）由题意得点 Q 所在直线的函数表达式为，利用待定系数法求得CD 所在直线的函数解析式y=2x+8，同理 所在直线函数解析式为 ，分别CD直线解析式， 直线函数表达式与联立求解，即可得到的取值范围.
四、实践探究题
19．（2024八上·南山期末）先阅读下列材料，然后解决问题：
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是．
（1）【尝试应用】
观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是____.
A． B．
C． D．
（2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式；
（3）【综合运用】
如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式．
【答案】（1）B
（2）解：令，
消去得：，
故解析式为：；
（3）解：（3）设，
①当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，
，
消去得；
②当点B第三象限时，过点A作直线轴于点A，过点P作于点G，过点B作于点H，设与y轴交于点M，
同理可得，，
，
设，
，
消去得；
综上所述，点B随点P变化而运动所形成的图象的解析式为或．
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 将点代入函数解析式，逐项判断即可得到答案；
（2）令，消去可得，即可得解；
（3）分类讨论：①当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，设
，，设，得到，消去得；当点B在第三象限时，同理可求得点B的坐标满足，消去得，即可得解.
20．（2023八上·盐湖月考）【模型介绍】
如图，，，过点作于点，过点作于点．则．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，再过点作轴的垂线，垂足为，可求出点的坐标为 ，从而求得直线的表达式为 ．
（2）若将直线绕点顺时针旋转，所得直线的表达式为 ．
（3）点是线段上的一个动点，点是线段上一动点，若是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，得；
当y=0时，则，
解得，
∴，，
∴，，
∵将直线绕点逆时针旋转，得到直线，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，轴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
故答案为：；；
（2）过点作交直线于点，过点作轴于点，
∵将直线绕点顺时针旋转得到直线，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，轴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
故答案为：；
（3）如图所示，过点作轴于点，
设，则，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，，
∴，
∵点是线段上一动点，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标是，
故答案为：．
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，再求出，，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据旋转的性质求出，，再求出，最后利用全等三角形的性质和待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出，再利用全等三角形的性质求出，，最后求点Q的坐标即可。
五、综合题
21．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
22．（2020八上·济阳期末）如图，直线l1：y＝x＋3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
（3）在x轴上是否存在点P，使以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把（1，m）代入y＝x＋3得m＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx＋b，
代入（1，4），（3，0）得
∴ ，
解得 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x＋6
（2）解：在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a＋3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a＋6），
MN＝|a＋3﹣（﹣2a＋6）|＝|3a﹣3|，
∵MN＝AB，
∴|3a﹣3|＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
（3）解：如图2，
∵B（-3，0），C（1，4）．
∴BC= ．
设P（x，0），
当PC=BC时，此时点P与点B关于直线x=1对称，则P1（5，0）；
当PC=PB时， ．
解得 x=1．
此时P2（1，0）；
当BP=BC时， ，
解得 或 ．
此时P3（ ，0），P4（ ，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P1 （5，0），P2 （1，0），P3（ ，0），P4（ ，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出AB=6，再求出 |3a﹣3|＝6， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用勾股定理计算求解即可。
23．（2023八上·青羊月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，连接，满足．
（1）求直线的解析式；
（2）已知直线经过点B．
①若点D为直线上一点，若，求点D的坐标；
②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点，使得为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点C在y轴的负半轴，
∴，
设直线的解析式为，
将点B、点C的坐标代入可得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线经过点B，
∴，解得，
∴直线，
设直线与y轴交于一点E，
则当时，，
此时点，
①当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，如图所示：
，
由（1）可得，
∵，
∴，
即，
解得：，
代入的直线方程可得：，
∴；
当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，如图所示：
，
此时设点，
，
即，
解得：，
∴，
综上，点D的坐标为：或；
②当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，如图所示：
则，
故；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，如图所示：
根据题意，得，
解得，
∴；
过点F作交直线于点G，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
根据题意，得，
解得，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
综上所述，存在这样的点N，且或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而运用待定系数法即可得到直线BC的解析式；
（2）①先根据点B的坐标得到直线的解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点E的坐标，进而分类讨论：当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，根据题意运用三角形的面积即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，进而根据三角形全等的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析数，结合两个一次函数的交点问题，进而运用勾股定理即可求解。
1 / 1人教版初中数学八年级下学期 第十九章 一次函数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024九上·杭州月考）已知点，，在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·深圳开学考）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
3．（2024八上·深圳期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
4．（2024八上·深圳期末）直线y＝﹣ax+a与直线y＝ax在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
6．（2023八上·六盘水期中）已知点和点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．无法判定
7．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
8．（2020·北京）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
9．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·深圳期中）如图所示，直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（ ）
A．y=x+3 B．y=x+3 C．y=x+3 D．y=x+3
二、填空题
11．（2023八上·历下期中）直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为 ．
12．（2024八上·拱墅期末）如图，函数的图象经过点B（3，0），与函数的图象交于点A，则不等式0＜的解集为 ．
13．（2024八上·朝阳期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣1与y＝ax（a≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ．
14．（2023八上·龙岗期中）在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，当取最小值时， ．
15．（2023九上·自流井开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形AnBn nCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…， n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 ．
三、解答题
16．（2024八上·桐乡市期末）如图，已知直线的图象经过点，，且与x轴交于点C．
（1）求直线的解析式；
（2）求的面积．
17．（2024七上·岳池期末）现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重（）与人体身高（m）平方的商．对于成年人来说，身体质量指数低于18.5，体重过轻；身体质量指数在18.5~25范围内，体重适中；身体质量指数高于25，体重超重或肥胖．
（1）设一个人的体重为w（），身高为h（m），则他的身体质量指数p为 ．（用含w，h的式子表示）
（2）李老师的身高是，体重是，他的体重是否适中？
18．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为.在轴的负半轴上有一点，直线AB上有一点，且OD
（1）求b的值及点的坐标.
（2）在线段AB上有一个动点，点的横坐标为，作点关于轴的对称点，当点落在内（不包括边界）时，求的取值范围.
四、实践探究题
19．（2024八上·南山期末）先阅读下列材料，然后解决问题：
【阅读感悟】
在平面直角坐标系中，已知点，当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组消去t，得，即，可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是．
（1）【尝试应用】
观察下列四个点的坐标，不在函数图象上的是____.
A． B．
C． D．
（2）求点随t的变化而运动所形成的图象的解析式；
（3）【综合运用】
如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点为定点，连接，过点A作直线，且，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式．
20．（2023八上·盐湖月考）【模型介绍】
如图，，，过点作于点，过点作于点．则．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，再过点作轴的垂线，垂足为，可求出点的坐标为 ，从而求得直线的表达式为 ．
（2）若将直线绕点顺时针旋转，所得直线的表达式为 ．
（3）点是线段上的一个动点，点是线段上一动点，若是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ．
五、综合题
21．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
22．（2020八上·济阳期末）如图，直线l1：y＝x＋3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
（3）在x轴上是否存在点P，使以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2023八上·青羊月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，连接，满足．
（1）求直线的解析式；
（2）已知直线经过点B．
①若点D为直线上一点，若，求点D的坐标；
②过点O作直线，若点M、N分别是直线和上的点，且满足．请问是否存在这样的点，使得为直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵点B和C的纵坐标相等，横坐标互为相反数
∴函数关于y轴对称，B、C不符合题意；
∵由点A和B的坐标可知，随着x的值增大，-2＜-1，y的值也在增大，a-1＜a；
A中当x由-2到-1时，y的值在减小；
∴D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数上点的特征，判断函数的对称轴；根据点的坐标的变化趋势，判断函数在一定区间的增长趋势，即可解题.
2．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），
由图可得不等式ax+b＞0的解集是x＜4 ，
故答案为：B.
【分析】直接观察图象得到图象在x轴上方的部分对应的x的取值，从而求解.
3．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】由图表可知甲无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式为正比例函数即：，
其图象过点(5，40)，
即40 = 5k，
解得k = 8，
所以
由图表可知乙无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式可设为
因为图象过点(0，20)，(5，40)，
所以有
解得b=20 m=4
所以
当x = 10s时，
故选：D.
【分析】根据图表信息先分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位：m)与无人机上升的时间x(单位：s)之间的函数关系式，再分别求出当x=10时，甲、乙两架无人机对应的高度求差即可.
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据一次函数图象的性质：a>0时，直线y= -ax +a过一、二、四象限，直线y = ax过一、三象限，没有选项符合；
a<0时，直线y=-ax +a过一、三、四象限，直线y = ax过二、四象限
故选D.
【分析】根据一次函数图象的性质分a＞0和a＜0两种情况讨论即可.
5．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为，
∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，
∵-3>-5，
∴，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的性质与系数的关系可得一次函数的函数值y随x的增大而增大，再结合-3>-5，可得，从而得解.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设水面高度为 注水时间为t分钟，
则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故答案为：B．
【分析】设水面高度为 注水时间为 分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作交直线于点，过点作轴于点，则，
，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
，
，
，，
直线，令，得，即，
∴B（0，3），
令，得，，
即，
，，
设直线BC的解析式为，
把代入解析式，
得，
解得 ，
∴过B、C两点的直线解析式是，
故答案为：A.
【分析】过点A作AN⊥AB交BC于点N，过点N作MN⊥x轴于点M，用AAS证得△NAM≌△ABO，从而得到AM=OB，CM=OA， 由y=x+3 可得，，即可得到，结合待定系数法，把和代入，计算求解即可．
11．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 把点代入直线中，得b=2，即M（1，2），
∴ 关于的方程组的解为.
故答案为： .
【分析】 关于的方程组的解为直线与直线的交点坐标.
12．【答案】1＜x＜3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得：不等式的解集为函数在x轴上方且在函数下方的部分，
点A的坐标为：
∴该不等式解集为：，
故答案为：.
【分析】根据题中给的函数图象可知：不等式的解集为函数在x轴上方且在函数下方的部分，进而即可求解.
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴方程组的解为，
即的解为：，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的交点坐标就是以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．据此求解即可。
14．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 如图，作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，
∵A（1，0），
∴A′（0，1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线A′B的解析式为y=x+1，
联立方程组，
解得，
∴P（，），
∴S△PAB=.
故答案为：.
【分析】作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，求出点P的坐标，再利用三角形面积公式进行计算，即可得出答案.
15．【答案】（2n-1-2，2n-1）
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O的边长为1， 正方形A2B2C2C1的边长为2，
∴A1（0，1）A2（1，2）
将其代入 y＝kx+b中得，解得，
∴y=x+1，
∴直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴A1（0，1），即为（20-1，20）
A2（1，2），即为（21-1，21），
A3（22-1，22），A4（23-1，23），······，
∴ 点An的坐标为 （2n-1-1，2n-1） ，
故答案为：（2n-1-1，2n-1） .
【分析】先确定A1，A2的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，然后分别求出A3、A4······的坐标，从而得出规律，继而得解.
16．【答案】（1）解：把点，分别代入直线的解析式，
得，，
解得，.
∴直线的解析式是.
（2）解：在直线中，令，得.
∴点C的坐标为.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点，分别代入直线的解析式，即可求解；
（2）结合（1）求出点C的坐标，然后根据三角形面积计算公式计算即可.
17．【答案】（1）
（2）解：当时，
李老师的身体质量指数为．
因为，
所以他的体重适中．
【知识点】函数解析式；函数值
【解析】【解答】（1）根据题意可得：他的身体质量指数P=，
故答案为：.
【分析】（1）根据“身体质量指数等于人体体重与人体身高平方的商”列出函数解析式即可；
（2）将h=1.70和w=60代入P=求出p的值，再比较判断即可.
18．【答案】（1）解：将点 的坐标 代人 ， 求得 . . 点 坐标为 点 横坐标为 -2 ， 当 时， ， 点 坐标为
（2）解： 点 所在直线的函数表达式为 点 Q 所在直线的函数表达式为 ).设CD 所在直线的函数表达式为y=kx+b，将C(-4，0)，D( -2，4)代入表达式，得k= 2，b=， 即y=2x+8.设 所在直线函数表达式为 ，将 代人表达式， 得 ， 即 ， 联立方程 解得 联立方程 解
∵点Q横坐标为-a，∴解得 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线AB解析式，把代入，即可得解；
（2）由题意得点 Q 所在直线的函数表达式为，利用待定系数法求得CD 所在直线的函数解析式y=2x+8，同理 所在直线函数解析式为 ，分别CD直线解析式， 直线函数表达式与联立求解，即可得到的取值范围.
19．【答案】（1）B
（2）解：令，
消去得：，
故解析式为：；
（3）解：（3）设，
①当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，
，
消去得；
②当点B第三象限时，过点A作直线轴于点A，过点P作于点G，过点B作于点H，设与y轴交于点M，
同理可得，，
，
设，
，
消去得；
综上所述，点B随点P变化而运动所形成的图象的解析式为或．
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 将点代入函数解析式，逐项判断即可得到答案；
（2）令，消去可得，即可得解；
（3）分类讨论：①当点B在第一象限时，过点P作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，设
，，设，得到，消去得；当点B在第三象限时，同理可求得点B的坐标满足，消去得，即可得解.
20．【答案】（1）；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，得；
当y=0时，则，
解得，
∴，，
∴，，
∵将直线绕点逆时针旋转，得到直线，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，轴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
故答案为：；；
（2）过点作交直线于点，过点作轴于点，
∵将直线绕点顺时针旋转得到直线，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，轴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
故答案为：；
（3）如图所示，过点作轴于点，
设，则，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，，
∴，
∵点是线段上一动点，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标是，
故答案为：．
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点求出点A和点B的坐标，再求出，，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据旋转的性质求出，，再求出，最后利用全等三角形的性质和待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出，再利用全等三角形的性质求出，，最后求点Q的坐标即可。
21．【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
22．【答案】（1）解：把（1，m）代入y＝x＋3得m＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx＋b，
代入（1，4），（3，0）得
∴ ，
解得 ，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x＋6
（2）解：在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a＋3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a＋6），
MN＝|a＋3﹣（﹣2a＋6）|＝|3a﹣3|，
∵MN＝AB，
∴|3a﹣3|＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
（3）解：如图2，
∵B（-3，0），C（1，4）．
∴BC= ．
设P（x，0），
当PC=BC时，此时点P与点B关于直线x=1对称，则P1（5，0）；
当PC=PB时， ．
解得 x=1．
此时P2（1，0）；
当BP=BC时， ，
解得 或 ．
此时P3（ ，0），P4（ ，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P1 （5，0），P2 （1，0），P3（ ，0），P4（ ，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出AB=6，再求出 |3a﹣3|＝6， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用勾股定理计算求解即可。
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点C在y轴的负半轴，
∴，
设直线的解析式为，
将点B、点C的坐标代入可得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线经过点B，
∴，解得，
∴直线，
设直线与y轴交于一点E，
则当时，，
此时点，
①当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，如图所示：
，
由（1）可得，
∵，
∴，
即，
解得：，
代入的直线方程可得：，
∴；
当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，如图所示：
，
此时设点，
，
即，
解得：，
∴，
综上，点D的坐标为：或；
②当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，如图所示：
则，
故；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，如图所示：
根据题意，得，
解得，
∴；
过点F作交直线于点G，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
根据题意，得，
解得，
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
∴直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
∴；
综上所述，存在这样的点N，且或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而运用待定系数法即可得到直线BC的解析式；
（2）①先根据点B的坐标得到直线的解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点问题得到点E的坐标，进而分类讨论：当点D在第四象限时，设点，在直线上找到任意一点D，连接，当点D在第一象限时，连接，过点D作y轴的垂线于一点G，连接，根据题意运用三角形的面积即可求解；
②根据题意分类讨论：当时，此时有两个点都符合题意，但点N只有一个，设直线与y轴的交点为点D，过点D作交直线于点E，当时，此时有1个点都符合题意，设直线与直线：的交点为点F，进而根据三角形全等的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析数，结合两个一次函数的交点问题，进而运用勾股定理即可求解。
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