2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 锐角三角函数 单元测试 A卷
一、选择题
1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
2．（2023九下·兴化月考）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则.
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数“、、”并结合题意可判断求解.
3．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°，则船离灯塔的水平距离是（ ）
A．42米 B．14米 C．21米 D．42米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故答案为：A．
【分析】仰角的定义为：水平线与向上观物的视线所形成的夹角；在直角三角形中，，通过变形可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°，代入数据可求出答案.
4．（2024九下·深圳开学考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设AB=3m，则BC=3m，
sin∠AOB＝，
OB=7m，
故答案为：B.
【分析】设AB=3m，则BC=3m，根据sin∠AOB＝，可得OB=7m，再根据，从而求解.
5．（2023九下·钦州期中）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，AC=，
则sinA=，故A错误；
tanA=，故B错误；
cosB=，故C错误；
tanB=，故D正确．
故答案为：D．
【分析】 首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．
6．（2023九下·鹿城月考）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，
∴∠OBD=∠ODB=55°，
∵OB=50cm，OA=80cm，
∴AB=OA+OB=130cm，
∵，
∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.
故答案为：B.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠OBD=55°，由线段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根据∠ABE的正弦函数可表示出AE的长.
7．（2023九下·西安月考）如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AD=2，再由勾股定理算出BD的长，进而根据正切函数的定义可求出CD的长，最后根据BC=BD+CD即可求出答案.
8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．
【解答】∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ABD=∠ABC．
根据勾股定理求得AB=10，
∴sin∠ABD=sin∠ABC=．
故选C．
【点评】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．
9．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关
10．（2023九下·孝南月考）如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，，，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长AD、BC交于点E
∵∠BCD=120°，
∴∠A=60°.
∵∠B=90°，
∴∠E=30°，∠ADC=90°，
∴AE=2AB=4.
∵∠ADC=90°，CD=1，
∴DE=CD÷tan∠E=，
∴AD=AE-DE=4-.
故答案为：B.
【分析】延长AD、BC交于点E，由圆内接四边形的性质可得∠A=60°，则∠E=30°，∠ADC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE，根据三角函数的概念可得DE，然后根据AD=AE-DE进行计算.
二、填空题
11．（2019九下·江阴期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∴sinA=．
故答案为：．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
12．（2024九下·福田开学考）如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
由题意得：∠DCB=ABE=30°，∠CAF=75°.
在△ABC中，∠ACB=∠CAF - ∠ABE=45°.
∴在Rt△ACE中，∠EAC=∠ACE=45°，AC=30×20=600（米），
∴AE=AC·sin45°=600×=300米.
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=米.
故答案为：
【分析】观察到30°和75°的角，且75°角是三角形的外角，可得△ABC的另外一个锐角是45°. 作AE⊥BC，将△ABC分成两个特殊三角形. 先根据速度和时间求出AC长，再在Rt△ACE中利用45°角求出AE长，在Rt△ABE中利用30°角求出AB长.
13．（锐角三角函数的定义+++++++++++ ）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，AB=2，AO= =2 ，BO= =2 ，
∵S△ABO= AB h= AO BO sin∠AOB，
∴ ×2×2= ×2 ×2 ×sin∠AOB，
∴sin∠AOB= ，
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO= AB h= AO BO sin∠AOB可得答案．
14．（2022九下·泉州开学考）若 为锐角，且 ，则 °.
【答案】26
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】
，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26.
【分析】根据
即可求解.
15．某水库大坝横截面示意图如下所示，其中AB，CD分别表示水库下底面、上底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h= .
【答案】25m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE中，BC=50m，
∴h=CE=BC sin60°=（m）．
故答案为：m．
【分析】先过点C作CE⊥AB于点E，可知∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，根据正弦函数的定义可得，变形可得CE=BC sin60°，又知h=CE，据此可得出答案.
三、解答题
16．（2024九下·深圳开学考）如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
【答案】（1）解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意得：四边形ABDF是矩形，
∴米，米，
在中，，
（米），
（米），
楼CD的高为110米；
（2）解：无人机能安全返航，
理由：如图：
在中，，米，
（米），
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航，
无人机返航需要的时间（秒），
秒秒，
无人机能安全返航．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABDF是矩形，由矩形的性质得AB=DF=10米，AF=BD=米，在Rt△AFC中，由∠CAF得正切函数可求出CF的长，进而根据CD=DF+CF可算出CD的长；
（2）无人机能安全返航，在Rt△AFC中，由含30°角直角三角形的性质可得AC=2CF=200米，然后根据平行线的性质角的和差可算出∠EAC=30°，由平角的定义算出∠AEC=75°，由三角形的内角和定理算出∠ACE=75°，则∠AEC=∠ACE，由等角对等边得AE=AC=200米，再根据路程除以速度等于时间算出无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航需要的时间，将所算的时间与60秒比大小即可得出答案.
17．（2024·深圳模拟）如图， 在 Rt 中， 是 A C 边上一点， 连接 B D， E 是 外一点且满足 平分 ， 连接 D E 交 A B 于点 .
（1）求证：四边形ADBE是菱形；
（2）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，，求 O C 的长
【答案】（1）证明：，
四边形 A D B E 是平行四边形
∵AB平分
AE=BE
四边形ADBE是菱形.
（2）解：∵菱形ADBE的周长为20，
：.AD=BD=5，AE∥BD，
，
， 即
∴CD=3
在 Rt 中， ，
在 Rt 中， ，
，
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ADBE是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到∠EBA=∠DAB，利用角平分线的定义可推出∠EAB=∠EBA，利用等角对等边可得到AE=BE，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用菱形的周长可求出菱形的边长，同时可证得AE∥BD，利用平行线的性质可证得∠EAD=∠BDC，然后利用解直角三角形求出CD的长；分别利用勾股定理求出BC，AB的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OC的长.
18．（2024·深圳模拟）为建设美好公园社区， 增强民众生活幸福感， 如图 1， 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷， 便于社区居民休想. 在如图 2 的侧面示意图中， 遮阳篷靠墙端离地高记为 B C， 遮阳篷 A B 长为 5 米， 与水平面的夹角为 .
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长.（结果精确到0.1米；参考数据： sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16° ≈0.29 ）
【答案】（1）解：作 于点 ，
， 即
解得：
答： 点 到墙面 B C 的距离约为 4.8 米.
（2）解：作AN⊥CE于点N，
由题意可知 ， 则
， 即
，
四边形 AMCN 为矩形， 即 米，
答： 遮阳鉒 墒端离地高 B C 的长为 4.4 米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，利用解直角三角形可求出AM的长.
（2）作AN⊥CE于点N，利用已知可求出AN，DN的长，利用解直角三角形求出BM的长，然后利用矩形的性质可求出BC的长.
四、实践探究题
19．（2024九下·定海开学考）仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2 如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
【答案】（1）解：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得；
（2）解：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由∠ACB得正切函数可得BC=2AB，由∠ADB得正切函数及特殊锐角三角函数值可得，进而根据BC-BD=CD建立方程求解可得答案；
（2）根据在同一镜头下的物高与像的比值相等建立方程可求出阁楼高度，进而根据题意写出产生误差的原因即可.
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）阅读材料，回答问题：
小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 = = 的关系．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．
【答案】（1）解： ∵ =c， =c， =c，
∴“ = = ”成立，
故答案为成立．
（2）解： 作CD⊥AB于D．
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA= ，sinB= ，
∴ = ， = ，
∴ = ，
同理，作AH⊥BC于H，可证 = ，
∴ = = ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义可得结论；
（2）作CD⊥AB于D．在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°， 在Rt△ADC和Rt△BDC中，写出sinA，sinB， 同理 作AH⊥BC于H，可得到sinB、sinC，即可解决问题.
21．（解直角三角形的应用-仰角俯角问题++++++++ ）阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
Sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，
例：tan15°=tan（45°﹣30°）
=
=
=
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面的问题
（1）计算sin15°；
（2）我县体育场有一移动公司的信号塔，小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度．（精确到0.1米，参考数据： ≈1.414）
【答案】（1）解：
（2）解：在Rt△BDE中，DE=AC=7，
∠BDE=75°，
tan∠BDE= ，
∴BE=DEtan∠BDE
=DEtan75°，
∵tan75°=tan（45°+30°）
∴BE=7（2+ ）≈26.12，
∴信号塔AB的高度≈26.12+1.62≈27.7（米），
答：该信号塔AB的高度约为27.7米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据三角函数的公式，代入计算即可；（2）根据仰角的概念、结合三角函数的公式、利用正切的定义计算．
五、综合题
22．（2023九下·宝应月考）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）.如图，在中，，顶角A的正对记作，这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1） 的值为（ ）.
A． B．1 C． D．2
（2）对于，的正对值的取值范围是 .
（3）已知，其中α为锐角，试求的值.
【答案】（1）B
（2）0＜sadA＜2
（3）解：如图，在 中， ， ，
在 上取点D，使 ，
作 ，H为垂足，令 ， ，
则 ，
又∵在 中， ， ，
∴ ， ，
则在 中， ， ，
于是在 中， ， ，
由正对的定义可得： ，即 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）解：根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60° ，
则三角形为等边三角形，
则 ，
故答案为：B；
（2）解：当∠A接近0°时， 接近0，
当∠A近 时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 接近2.
于是 的取值范围是 0＜sadA＜2.
故答案为： 0＜sadA＜2 ；
【分析】（1）根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，进而根据由等边三角形三边相等及正对的定义即可求解；
（2）当0°＜A＜180°，根据三角形三边的关系得到两腰之和大于底边即可得出0＜sadA＜2；
（3）在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC于点H，由∠A的正弦函数定义，可设BC=3k，则AB=5k，用勾股定理表示出AD=AC=4k，在Rt△ADH中，由∠A的正弦函数可得DH=k，用勾股定理表示出AH=k，在Rt△CDH中，由勾股定理表示出CD=k，进而在△ACD中根据正对定义即可求出答案.
23．（2024九下·福州开学考）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且，垂足为E，连接AD，BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为4，求BF的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵，
∴
∵，
∴，
∵CD平分∠OCB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵⊙O的半径为4，
∴AB＝8
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△OBD为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角得，根据角平分线的定义得到：进而可证明即可得到进而即可求证；
（2）根据圆周角定理得到，然后特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°，即可得到，进而证明△OBD为等边三角形，即可得到进而即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 锐角三角函数 单元测试 A卷
一、选择题
1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是
A． B． C． D．
2．（2023九下·兴化月考）如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°，则船离灯塔的水平距离是（ ）
A．42米 B．14米 C．21米 D．42米
4．（2024九下·深圳开学考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·钦州期中）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九下·鹿城月考）图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九下·西安月考）如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
10．（2023九下·孝南月考）如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，，，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．（2019九下·江阴期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=
12．（2024九下·福田开学考）如图，小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30（米/分）的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为 米（结果保留根号）．
13．（锐角三角函数的定义+++++++++++ ）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 ．
14．（2022九下·泉州开学考）若 为锐角，且 ，则 °.
15．某水库大坝横截面示意图如下所示，其中AB，CD分别表示水库下底面、上底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h= .
三、解答题
16．（2024九下·深圳开学考）如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）．
（1）求楼的高；
（2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？
17．（2024·深圳模拟）如图， 在 Rt 中， 是 A C 边上一点， 连接 B D， E 是 外一点且满足 平分 ， 连接 D E 交 A B 于点 .
（1）求证：四边形ADBE是菱形；
（2）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，，求 O C 的长
18．（2024·深圳模拟）为建设美好公园社区， 增强民众生活幸福感， 如图 1， 某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷， 便于社区居民休想. 在如图 2 的侧面示意图中， 遮阳篷靠墙端离地高记为 B C， 遮阳篷 A B 长为 5 米， 与水平面的夹角为 .
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长.（结果精确到0.1米；参考数据： sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16° ≈0.29 ）
四、实践探究题
19．（2024九下·定海开学考）仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2 如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
20．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）阅读材料，回答问题：
小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 = = 的关系．
这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：
（1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？
（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．
21．（解直角三角形的应用-仰角俯角问题++++++++ ）阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
Sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，
例：tan15°=tan（45°﹣30°）
=
=
=
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面的问题
（1）计算sin15°；
（2）我县体育场有一移动公司的信号塔，小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度．（精确到0.1米，参考数据： ≈1.414）
五、综合题
22．（2023九下·宝应月考）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）.如图，在中，，顶角A的正对记作，这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1） 的值为（ ）.
A． B．1 C． D．2
（2）对于，的正对值的取值范围是 .
（3）已知，其中α为锐角，试求的值.
23．（2024九下·福州开学考）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且，垂足为E，连接AD，BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为4，求BF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过A作AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=3，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，
∴cosB==．
故选C．
【分析】
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=
BC=3，然后利用余弦的定义即可得到cosB的值．本题考查了解直角三角形：利用勾股定理和三角函数，通过已知条件求出直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则.
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数“、、”并结合题意可判断求解.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故答案为：A．
【分析】仰角的定义为：水平线与向上观物的视线所形成的夹角；在直角三角形中，，通过变形可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°，代入数据可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设AB=3m，则BC=3m，
sin∠AOB＝，
OB=7m，
故答案为：B.
【分析】设AB=3m，则BC=3m，根据sin∠AOB＝，可得OB=7m，再根据，从而求解.
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，AC=，
则sinA=，故A错误；
tanA=，故B错误；
cosB=，故C错误；
tanB=，故D正确．
故答案为：D．
【分析】 首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵OB=OD，∠BOD=70°，
∴∠OBD=∠ODB=55°，
∵OB=50cm，OA=80cm，
∴AB=OA+OB=130cm，
∵，
∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm.
故答案为：B.
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理得∠OBD=55°，由线段和差得AB=OA+OB=130cm，然后根据∠ABE的正弦函数可表示出AE的长.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AD=2，再由勾股定理算出BD的长，进而根据正切函数的定义可求出CD的长，最后根据BC=BD+CD即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．
【解答】∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ABD=∠ABC．
根据勾股定理求得AB=10，
∴sin∠ABD=sin∠ABC=．
故选C．
【点评】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．
9．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长AD、BC交于点E
∵∠BCD=120°，
∴∠A=60°.
∵∠B=90°，
∴∠E=30°，∠ADC=90°，
∴AE=2AB=4.
∵∠ADC=90°，CD=1，
∴DE=CD÷tan∠E=，
∴AD=AE-DE=4-.
故答案为：B.
【分析】延长AD、BC交于点E，由圆内接四边形的性质可得∠A=60°，则∠E=30°，∠ADC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE，根据三角函数的概念可得DE，然后根据AD=AE-DE进行计算.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB==13，
∴sinA=．
故答案为：．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于点E.
由题意得：∠DCB=ABE=30°，∠CAF=75°.
在△ABC中，∠ACB=∠CAF - ∠ABE=45°.
∴在Rt△ACE中，∠EAC=∠ACE=45°，AC=30×20=600（米），
∴AE=AC·sin45°=600×=300米.
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=米.
故答案为：
【分析】观察到30°和75°的角，且75°角是三角形的外角，可得△ABC的另外一个锐角是45°. 作AE⊥BC，将△ABC分成两个特殊三角形. 先根据速度和时间求出AC长，再在Rt△ACE中利用45°角求出AE长，在Rt△ABE中利用30°角求出AB长.
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，AB=2，AO= =2 ，BO= =2 ，
∵S△ABO= AB h= AO BO sin∠AOB，
∴ ×2×2= ×2 ×2 ×sin∠AOB，
∴sin∠AOB= ，
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO= AB h= AO BO sin∠AOB可得答案．
14．【答案】26
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】
，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26.
【分析】根据
即可求解.
15．【答案】25m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE中，BC=50m，
∴h=CE=BC sin60°=（m）．
故答案为：m．
【分析】先过点C作CE⊥AB于点E，可知∠CBE=60°，在Rt△CBE中，BC=50m，根据正弦函数的定义可得，变形可得CE=BC sin60°，又知h=CE，据此可得出答案.
16．【答案】（1）解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意得：四边形ABDF是矩形，
∴米，米，
在中，，
（米），
（米），
楼CD的高为110米；
（2）解：无人机能安全返航，
理由：如图：
在中，，米，
（米），
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
米，
无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航，
无人机返航需要的时间（秒），
秒秒，
无人机能安全返航．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，易得四边形ABDF是矩形，由矩形的性质得AB=DF=10米，AF=BD=米，在Rt△AFC中，由∠CAF得正切函数可求出CF的长，进而根据CD=DF+CF可算出CD的长；
（2）无人机能安全返航，在Rt△AFC中，由含30°角直角三角形的性质可得AC=2CF=200米，然后根据平行线的性质角的和差可算出∠EAC=30°，由平角的定义算出∠AEC=75°，由三角形的内角和定理算出∠ACE=75°，则∠AEC=∠ACE，由等角对等边得AE=AC=200米，再根据路程除以速度等于时间算出无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航需要的时间，将所算的时间与60秒比大小即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：，
四边形 A D B E 是平行四边形
∵AB平分
AE=BE
四边形ADBE是菱形.
（2）解：∵菱形ADBE的周长为20，
：.AD=BD=5，AE∥BD，
，
， 即
∴CD=3
在 Rt 中， ，
在 Rt 中， ，
，
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ADBE是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到∠EBA=∠DAB，利用角平分线的定义可推出∠EAB=∠EBA，利用等角对等边可得到AE=BE，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）利用菱形的周长可求出菱形的边长，同时可证得AE∥BD，利用平行线的性质可证得∠EAD=∠BDC，然后利用解直角三角形求出CD的长；分别利用勾股定理求出BC，AB的长，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OC的长.
18．【答案】（1）解：作 于点 ，
， 即
解得：
答： 点 到墙面 B C 的距离约为 4.8 米.
（2）解：作AN⊥CE于点N，
由题意可知 ， 则
， 即
，
四边形 AMCN 为矩形， 即 米，
答： 遮阳鉒 墒端离地高 B C 的长为 4.4 米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，利用解直角三角形可求出AM的长.
（2）作AN⊥CE于点N，利用已知可求出AN，DN的长，利用解直角三角形求出BM的长，然后利用矩形的性质可求出BC的长.
19．【答案】（1）解：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得；
（2）解：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由∠ACB得正切函数可得BC=2AB，由∠ADB得正切函数及特殊锐角三角函数值可得，进而根据BC-BD=CD建立方程求解可得答案；
（2）根据在同一镜头下的物高与像的比值相等建立方程可求出阁楼高度，进而根据题意写出产生误差的原因即可.
20．【答案】（1）解： ∵ =c， =c， =c，
∴“ = = ”成立，
故答案为成立．
（2）解： 作CD⊥AB于D．
∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，
∴sinA= ，sinB= ，
∴ = ， = ，
∴ = ，
同理，作AH⊥BC于H，可证 = ，
∴ = = ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的定义可得结论；
（2）作CD⊥AB于D．在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°， 在Rt△ADC和Rt△BDC中，写出sinA，sinB， 同理 作AH⊥BC于H，可得到sinB、sinC，即可解决问题.
21．【答案】（1）解：
（2）解：在Rt△BDE中，DE=AC=7，
∠BDE=75°，
tan∠BDE= ，
∴BE=DEtan∠BDE
=DEtan75°，
∵tan75°=tan（45°+30°）
∴BE=7（2+ ）≈26.12，
∴信号塔AB的高度≈26.12+1.62≈27.7（米），
答：该信号塔AB的高度约为27.7米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据三角函数的公式，代入计算即可；（2）根据仰角的概念、结合三角函数的公式、利用正切的定义计算．
22．【答案】（1）B
（2）0＜sadA＜2
（3）解：如图，在 中， ， ，
在 上取点D，使 ，
作 ，H为垂足，令 ， ，
则 ，
又∵在 中， ， ，
∴ ， ，
则在 中， ， ，
于是在 中， ， ，
由正对的定义可得： ，即 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）解：根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60° ，
则三角形为等边三角形，
则 ，
故答案为：B；
（2）解：当∠A接近0°时， 接近0，
当∠A近 时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 接近2.
于是 的取值范围是 0＜sadA＜2.
故答案为： 0＜sadA＜2 ；
【分析】（1）根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，进而根据由等边三角形三边相等及正对的定义即可求解；
（2）当0°＜A＜180°，根据三角形三边的关系得到两腰之和大于底边即可得出0＜sadA＜2；
（3）在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC于点H，由∠A的正弦函数定义，可设BC=3k，则AB=5k，用勾股定理表示出AD=AC=4k，在Rt△ADH中，由∠A的正弦函数可得DH=k，用勾股定理表示出AH=k，在Rt△CDH中，由勾股定理表示出CD=k，进而在△ACD中根据正对定义即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵，
∴
∵，
∴，
∵CD平分∠OCB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∵⊙O的半径为4，
∴AB＝8
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△OBD为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角得，根据角平分线的定义得到：进而可证明即可得到进而即可求证；
（2）根据圆周角定理得到，然后特殊锐角三角函数值可求出∠A=30°，即可得到，进而证明△OBD为等边三角形，即可得到进而即可求解.
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