2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 锐角三角函数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024·深圳模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（ ）
A．﹣48 B．48 C．﹣36 D．﹣18
3．（2020九上·青县期末）如图，正六边形的边长是1cm，则线段AB和CD之间的距离为（ ）
A．2 cm B． cm C． cm D．1cm
4．（2024九上·双阳期末）如图，某学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，∠A＝α，AC＝4km．据此（ ）
A．4sinαkm B． C． D．4tanαkm
5．（2023九上·朝阳月考）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D． 米
6．（2024九上·衡阳期末）等腰三角形的底边长为，周长为，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．（2024九下·福田开学考）由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·合肥期中）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．2或 C．或 D．或3
9．（2022九下·长沙开学考）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
10．（2023·松阳模拟）如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022九上·虹口期中）已知中，，，，那么的长是 ．
12．（2024·广西模拟）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为 ．（结果保留小数点后1位）（参考数据：）
13．（2022九上·海阳期中）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为 米．（，结果精确到0.1）
14．（2023九上·洪山月考）如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是 ．
15．（2023九上·青岛月考）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为，正确的有 ．(填序号)
三、解答题
16．（2023九上·石家庄月考）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂与桌面平行时，＝ °
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少 （参考数据：）
17．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
18．（2024九上·昌平期末）如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）作射线交的延长线于点F，若，，求的长．
四、实践探究题
19．（2023·扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时， ；当时， ；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
20．问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固.图2是长为，宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.
探究1：
（1）图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，是横梁侧面两边的交点，测得，点到AB的距离为12cm，试判断四边形的形状，并求的值.
（2）若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；
②若有根横梁绕成的环（为偶数，且，试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长.
21．（2023九上·瑞安月考）阅读素材，完成任务．
测试机器人行走路径
素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S．
素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
解决问题
任务 固定变量 探索变量 探索内容
任务一 直行路程 旋转角度与路程
任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值．
任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值．
五、综合题
22．（2024九下·定海开学考）在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化．
（1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）若，当点在线段的延长线上时，
①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由；
②如图，连接，若，，求线段的长．
23．（2023九上·南开月考）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为．
（1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
（2）当旋转角为时，连接，求的值．
（3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A、∵ △ABC中，∠C=90°，∴，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义，对各选项逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；菱形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE//AO，过点C作CF⊥AO，设CF=4x
∵四边形OABC为菱形，
∴AB//CO， AO//BC，
∵DE//AO
所以
同理
∵
∴，
∵ tan∠AOC＝
∴OF=3x
∴OC=5x，
∴OA=OC=5x，
，
∴OF=，CF=，
∴点C坐标为(，)，
反比例函数y=的图象经过点C，代入点C得：k=-36
故答案为：C.
【分析】易证，再根据tan∠ AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过E作EF⊥AC于F，
∵AE=EC，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AF=CF，
∵此多边形为正六边形，
∴∠AEC= =120°，
∴∠AEF= =60°，
∴∠EAF=30°，
∴AF=AE×cos30°=1× = ，
∴AC= ，
故答案为：B．
【分析】连接AC，过E作EF⊥AC于F，根据正六边形的特点求出∠AEC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠EAF的度数，由特殊角的三角函数值求出AF的长，进而可求出AC的长．
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
解得：，
即学校与凉亭之间的距离等于，
故答案为：C．
【分析】利用余弦三角函数的定义式可得，变形后求解即可．
5．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：C
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，作于点D，
在中，，cm，周长为36cm，
∴（cm），
∵，
∴cm.
由勾股定理得：cm，
∴底角的正切值：．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义求解。正切=对边除以邻边．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D.
观察易发现，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，D点在格点上，
∴CD=，BD==.
∴tan∠ABC===.
故答案为：C.
【分析】连接AC，观察发现AC=BC得△ACB是等腰三角形，作垂线CD，可知D为AB中点，也为格点. 从而可利用勾股定理求出CD和BD的长，进而可求得答案. 注意网格中线段长要构造直角三角形并利用勾股定理来求.
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，即，
，
；
综上，的值是或．
故答案为：A
【分析】根据题意分类讨论：①，延长交于，过点作，交的延长线于，进而根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数的定义即可设，，进而根据平移的性质得到，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；②，延长交于，则，根据平移的性质得到，同理设，，则，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝
AD＝
BC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH//BM交AC于G，
∵DH//BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH//BM，AD//BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝
AD＝
BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，
∵DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，
∵∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2＝
BC2，
∴AB＝
BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝
，
∴tan∠DAC＝
，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由平行线可证△AMN∽△CBN，结合M是AD边的中点，可得
=
，可得CN=2AN据此判断①正确；如图，过D作DH//BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH＝MD＝
AD＝
BC，即得BH＝CH，可求出DH是NC的垂直平分线，可得DN＝CD，故②正确；证明△ABM∽△BCA，可得
，据此可求出AB＝
BC，从而求出tan∠DAC＝tan∠ACB＝
=
，据此判断③错误；由矩形的性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB，据此判断④正确.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，连接OG，
∵BG=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴OG为△BDF的中位线，
∴OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，
∴∠ACD=∠COG.
∵∠FGD+∠OHG=90°，∠ACD+∠FDG=90°，
∴∠OHG=∠ACD.
∵∠OHG=∠CHF，
∴∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，
∴OG=GM，MF=FC.
设OG=GH=x，则DF=GF=2x，
∴HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，
∴sin∠FBC=.
故答案为：A.
【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，由已知条件可知BG=GF=DF，根据等腰三角形的性质可得
∠FGD=∠FDG，由矩形的性质可得OG为△BDF的中位线，则OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，根据平行线的性质可得∠ACD=∠COG，由同角的余角相等结合对顶角的性质可得∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，则OG=GH，HF=FC，设OG=GH=x，则DF=GF=2x，HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，然后利用三角函数的概念进行计算.
11．【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据，，再直接求出AB的长即可。
12．【答案】1.2
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵在中，根据正弦函数的定义有：
即
故答案为：.
【分析】本题主要考查正弦三角函数的实际运用，在中，运用正弦三角函数即可求解.
13．【答案】4.4
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF＝，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cos∠ADE＝，
∴DE＝，
∴EF＝ED+DF＝2.7+1.732≈4.4（米）．
故答案为： 4.4．
【分析】分别在直角三角形DCF和直角三角形ADE中求得DF和DE的长，再相加即可得出EF的长。
14．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作交AD延长线于H，将绕点A顺时针旋转，得到，过点D作于点N，
设AD=2x，则CD=3x，
已知 ∠ADC＝120° ，得 ∠CDH ＝60°，∴∠DCH ＝30°，
，，
∴，
在等边△ABC中，AB=AC，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：x=1，
即AD=2，CD=3，
由旋转性质得：AD=AG，，
∴是等边三角形，
∴，
已知 ∠ADC＝120° ，
∴，
，
∴，
∴，
由旋转性质得：BG=CD=3，
∴BN=BG-GN=3-1=2，
在△BND中，由勾股定理得：.
故答案为： .
【分析】过点C作交AD延长线于H，将绕点A顺时针旋转，得到，过点D作于点N，设AD=2x，则CD=3x，在中，由勾股定理得：，可求得AD=2，CD=3，由旋转性质得：AD=AG，，得是等边三角形，在△GND中，解三角形可得，进而在△BND中，由勾股定理可求得线段BD的长度.
15．【答案】①②③④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
又，
，
又，
为的中位线，
，：：，
；故③④正确；
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，故⑤错误，
故答案为：①②③④．
【分析】根据“”证明，由锐角三角函数求出，进一步求的长，再证明为的中位线，得出，：：，可求；求出的面积，利用，可求的面积，综合判定即可．
16．【答案】（1）58
（2）解：过作与交于，过作与交于
∴四边形为矩形
∴90°，
∵148°
∴58°
在中90°
∵∴
∴
（3）解：过作，，
∴
在中＝90°
∴60°
∵58°∴32°
∴60°－32°＝28°
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】过点B作直线MN∥l，如图，
CD//l，
MN//l，
MN//CD，
故答案为：
【分析】（1）过点B作直线MN//l，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）过作与交于，过作与交于，可得四边形ABEF为矩形，根据已知条件可求得∠1=58°，利用 ，求得CF的值，再根据线段的和差关系即可求得CE的值；
（3）过作， ，由 可求得 ，再求出∠DCN的余弦，进一步得 60°，进一步求得∠DCB的值.
17．【答案】解：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
则CD＝AC＝×80＝40（海里），
在Rt△BDC中，∠BCD＝37°，
∵tan∠BCD＝，
∴BD＝CD tan∠BCD≈40×0.75＝30（海里），
答：还需航行的距离BD的长约为30海里．
【知识点】含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】由题意得∠ACD=60°，∠ BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD的长，再在直角三角形BCD中，由三角函数值得出BD的长即可。
18．【答案】（1）证明：连接OC
∵AB为直径，C为上一点，
∴，∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DP是的切线，D为切点，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：如图补全图形，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵矩形DECP对边平行，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角可得，由点D为的中点，可得，则，再根据切线性质，矩形判定定理即可求出答案；
（2）在中，根据锐角三角函数定义可得，，则，在中，再根据勾股定理可得OE=3，，根据直线平行性质即可求出答案.
19．【答案】（1）2；30或210
（2）解：当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵∠ADB=∠A′D′C=90°，∠ABD=30°，
∴∠BAD=∠D′AC=90°-30°=60°，
当α=60°时，点A，D′，B共线，点A，D，C共线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2；
∵AB=AC=2，
当AD，AD′在∠BAC的内部时，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHC=90°，
∵AC=AB，
∴，
∴，
∴∠ACH=45°，
∴∠HAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=45°+45°=90°，
图1中，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∴α=120°-90°=30°；
当AD，AD′在∠BAC的外部时，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
同理可证∠BAC=90°，
∵∠CAD′=∠ABD=60°，
∴α=90°+60°+60°=210°；
∴当时α=30°或210°.
故答案为：2，30或210
（3）连接AF，
∵点F为BC的中点，AB=AC，
∴∠AFB=90°，
∴AB是直径，
∴点F的运动轨迹是以AB为直径的圆，
∴点F的运动路径长为.
故答案为：
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三角形的内角和定理求出∠BAD=∠D′AC=60°，当α=60°时，点A，D′，B共线，点A，D，C共线，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得到△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出BC的长；分情况讨论：当AD，AD′在∠BAC的内部时，过点A作AH⊥BC于点H，利用等腰三角形的性质可求出HC的长，利用解直角三角形求出∠HAC的度数，可得到∠BAC的度数；由此可求出α的值；当AD，AD′在∠BAC的外部时，过点A作AH⊥BC于点H，同理求出∠BAC的度数，然后求出α的值；综上所述可得到符合题意的α的值.
（2）当α为90°时，根据题意画出图形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，苛求远程AD，AD′的长，利用勾股定理求出BD，CD′的长；再证明四边形ADED′是正方形，可得到DE的长，由此可求出BE的长，利用解直角三角形求出EF，DG的长；然后根据、S四边形AGEF=S△ABD-S△BEF-S△ADG，利用三角形的面积公式可求出四边形AGEF的面积.
（3）连接AF，利用等腰三角形的性质可知∠AFB=90°，利用圆周角定理可知AB是直径，可得到点F的运动轨迹是以AB为直径的圆，利用圆的周长公式可求出点F的运动路径长.
20．【答案】（1）解：①四边形 是菱形；
②如图 1， 过点 作 于点 .
由题意， 得
∴在Rt△CAM中，
（2）解：① 如图 2， 过点 作 于点 ，
由题意， 得 ， . 又 四边形 是菱形，
② 如图 3， 过点 作 于点 . 由题意， 形成的多边形为正 边形，
∴外角
在Rt△CNH1中，
又
∴形成的多边形的周长为 .
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）①①四边形CDEH1是菱形，理由如下：
由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，
∴四边形CDEH1为平行四边形，
∵桥梁的规格是相同的，
∴桥梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，
∵平行四边形CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，
∴平行四边形CDEH1每条边相等，
∴四边形CDEH1为菱形．
【分析】探究1：根据图形即可判断出四边形CDEH1形状是菱形；根据等腰三角形性质可求出AM长度，然后根据勾股定理即可求出CA长度，从而求出l值．
探究2：①根据十二边形的特性可知∠CH1N＝30°，利用∠CH1N的正切可求出CH1长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
②根据正多边形的外角的性质可得∠CH1N的度数，利用∠CH1N的正切可求出CH1和H1N长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
21．【答案】解：任务一：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：12，8，5．
任务二：构造如图所示的三角形，△ABC，△AHH，△DBE，△GFC，
∵α=60°，
∴△ABC，△AHH，△DBE，△GFC为等边三角形，
∴CG=b2=4，AH=b4=3，
∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，
则 AB=AC=BC=8.5，
∵b1=2，b2=4，
∴EF=2，CF=4，
∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，
∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3.
任务三：如图，构造等边△GHI，
∴GI=b3+b4+4，b6=GI-4-2=b3+b4-2，b5=GI-b6-b4=6-b4，
∵l=20，
∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，
∴2b3+b4=10；
如图：令等边三角形边长为a，高为h，
则，
∴等边三角形面积，
∴，
∴，
∴当S最大时，.
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】任务一：每次逆时针旋转α ，则旋转次，即可回到起点，代入计算即可；
任务二：首先构造四个等边三角形，根据等边三角形的三条边相等，即可求出等边三角形的边长，即可求解；
任务三：构造等边△GHI，根据等边三角形的三条边相等表示出b6、b5的长度，结合题意求得2b3+b4=10，令等边三角形边长为a，高为h，根据特殊角的三角形函数值可得，根据三角形的面积公式可求出S的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
22．【答案】（1）；
（2）解：①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．
理由如下：
如图，连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，
∵菱形ABCD中，，，
∴，，，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
，
∵平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，，，，
∴，BD平分，AC平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，
∴，，
∵AC平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于点F，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠EAC，即∠BAP=∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
∵AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD；
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
【分析】（1），连接AC，延长CE交AD于点F，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，由有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC与△ACD都是等边三角形，得AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，AP=AE，∠PAE=60°，推出∠BAP=∠CAE，从而用SAS判断出△BAP≌△CAE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得BP=CE，∠ABP=∠ACE，再根据菱形的对角线平分一组对角及等腰三角形的三线合一可得CE⊥AD；
（2）①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．理由如下：连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，判断出△BAP∽△CAE，由相似三角形性质得，∠ABP=∠ACE，即可解决此题；
②连接AC，CE，由①知△BAP∽△CAE，得出，∠ABP=∠ACE=60°，再由勾股定理求出CE，从而即可解决此题.
23．【答案】（1）过点作于，
由题意，
，
，
；
（2）过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．
过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥OA于点F，解直角三角形求出EF和OF，得到答案即可；
（2）过点E作EF⊥OA于点F，根据勾股定理求出答案；
（3）当OE⊥AE时，∠OAE的值最大，根据勾股定理求出AE=3，继而由全等三角形的判定和性质求出答案。
1 / 12023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十八章 锐角三角函数 单元测试 B卷
一、选择题
1．（2024·深圳模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：A、∵ △ABC中，∠C=90°，∴，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义，对各选项逐一判断即可.
2．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（ ）
A．﹣48 B．48 C．﹣36 D．﹣18
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；菱形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE//AO，过点C作CF⊥AO，设CF=4x
∵四边形OABC为菱形，
∴AB//CO， AO//BC，
∵DE//AO
所以
同理
∵
∴，
∵ tan∠AOC＝
∴OF=3x
∴OC=5x，
∴OA=OC=5x，
，
∴OF=，CF=，
∴点C坐标为(，)，
反比例函数y=的图象经过点C，代入点C得：k=-36
故答案为：C.
【分析】易证，再根据tan∠ AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题。
3．（2020九上·青县期末）如图，正六边形的边长是1cm，则线段AB和CD之间的距离为（ ）
A．2 cm B． cm C． cm D．1cm
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过E作EF⊥AC于F，
∵AE=EC，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AF=CF，
∵此多边形为正六边形，
∴∠AEC= =120°，
∴∠AEF= =60°，
∴∠EAF=30°，
∴AF=AE×cos30°=1× = ，
∴AC= ，
故答案为：B．
【分析】连接AC，过E作EF⊥AC于F，根据正六边形的特点求出∠AEC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠EAF的度数，由特殊角的三角函数值求出AF的长，进而可求出AC的长．
4．（2024九上·双阳期末）如图，某学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，∠A＝α，AC＝4km．据此（ ）
A．4sinαkm B． C． D．4tanαkm
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
解得：，
即学校与凉亭之间的距离等于，
故答案为：C．
【分析】利用余弦三角函数的定义式可得，变形后求解即可．
5．（2023九上·朝阳月考）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D． 米
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：C
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
6．（2024九上·衡阳期末）等腰三角形的底边长为，周长为，则底角的正切值是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，作于点D，
在中，，cm，周长为36cm，
∴（cm），
∵，
∴cm.
由勾股定理得：cm，
∴底角的正切值：．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义求解。正切=对边除以邻边．
7．（2024九下·福田开学考）由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D.
观察易发现，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，D点在格点上，
∴CD=，BD==.
∴tan∠ABC===.
故答案为：C.
【分析】连接AC，观察发现AC=BC得△ACB是等腰三角形，作垂线CD，可知D为AB中点，也为格点. 从而可利用勾股定理求出CD和BD的长，进而可求得答案. 注意网格中线段长要构造直角三角形并利用勾股定理来求.
8．（2024九上·合肥期中）如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．2或 C．或 D．或3
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，即，
，
；
综上，的值是或．
故答案为：A
【分析】根据题意分类讨论：①，延长交于，过点作，交的延长线于，进而根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数的定义即可设，，进而根据平移的性质得到，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；②，延长交于，则，根据平移的性质得到，同理设，，则，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。
9．（2022九下·长沙开学考）如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB.正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝
AD＝
BC，
∴，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH//BM交AC于G，
∵DH//BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
∵DH//BM，AD//BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝
AD＝
BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，
∵DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，
∵∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴，
∴AB2＝
BC2，
∴AB＝
BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝
，
∴tan∠DAC＝
，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
故答案为：C.
【分析】由平行线可证△AMN∽△CBN，结合M是AD边的中点，可得
=
，可得CN=2AN据此判断①正确；如图，过D作DH//BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH＝MD＝
AD＝
BC，即得BH＝CH，可求出DH是NC的垂直平分线，可得DN＝CD，故②正确；证明△ABM∽△BCA，可得
，据此可求出AB＝
BC，从而求出tan∠DAC＝tan∠ACB＝
=
，据此判断③错误；由矩形的性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB，据此判断④正确.
10．（2023·松阳模拟）如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，连接OG，
∵BG=GF=DF，
∴∠FGD=∠FDG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∴OG为△BDF的中位线，
∴OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，
∴∠ACD=∠COG.
∵∠FGD+∠OHG=90°，∠ACD+∠FDG=90°，
∴∠OHG=∠ACD.
∵∠OHG=∠CHF，
∴∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，
∴OG=GM，MF=FC.
设OG=GH=x，则DF=GF=2x，
∴HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，
∴sin∠FBC=.
故答案为：A.
【分析】连接BD交AC于点O，连接OG，由已知条件可知BG=GF=DF，根据等腰三角形的性质可得
∠FGD=∠FDG，由矩形的性质可得OG为△BDF的中位线，则OG∥DC，DF=BG=GF=2OG，根据平行线的性质可得∠ACD=∠COG，由同角的余角相等结合对顶角的性质可得∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG，则OG=GH，HF=FC，设OG=GH=x，则DF=GF=2x，HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x，然后利用三角函数的概念进行计算.
二、填空题
11．（2022九上·虹口期中）已知中，，，，那么的长是 ．
【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据，，再直接求出AB的长即可。
12．（2024·广西模拟）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为 ．（结果保留小数点后1位）（参考数据：）
【答案】1.2
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵在中，根据正弦函数的定义有：
即
故答案为：.
【分析】本题主要考查正弦三角函数的实际运用，在中，运用正弦三角函数即可求解.
13．（2022九上·海阳期中）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为 米．（，结果精确到0.1）
【答案】4.4
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF＝，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cos∠ADE＝，
∴DE＝，
∴EF＝ED+DF＝2.7+1.732≈4.4（米）．
故答案为： 4.4．
【分析】分别在直角三角形DCF和直角三角形ADE中求得DF和DE的长，再相加即可得出EF的长。
14．（2023九上·洪山月考）如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作交AD延长线于H，将绕点A顺时针旋转，得到，过点D作于点N，
设AD=2x，则CD=3x，
已知 ∠ADC＝120° ，得 ∠CDH ＝60°，∴∠DCH ＝30°，
，，
∴，
在等边△ABC中，AB=AC，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：x=1，
即AD=2，CD=3，
由旋转性质得：AD=AG，，
∴是等边三角形，
∴，
已知 ∠ADC＝120° ，
∴，
，
∴，
∴，
由旋转性质得：BG=CD=3，
∴BN=BG-GN=3-1=2，
在△BND中，由勾股定理得：.
故答案为： .
【分析】过点C作交AD延长线于H，将绕点A顺时针旋转，得到，过点D作于点N，设AD=2x，则CD=3x，在中，由勾股定理得：，可求得AD=2，CD=3，由旋转性质得：AD=AG，，得是等边三角形，在△GND中，解三角形可得，进而在△BND中，由勾股定理可求得线段BD的长度.
15．（2023九上·青岛月考）如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为，正确的有 ．(填序号)
【答案】①②③④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
又，
，
又，
为的中位线，
，：：，
；故③④正确；
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，故⑤错误，
故答案为：①②③④．
【分析】根据“”证明，由锐角三角函数求出，进一步求的长，再证明为的中位线，得出，：：，可求；求出的面积，利用，可求的面积，综合判定即可．
三、解答题
16．（2023九上·石家庄月考）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）当悬臂与桌面平行时，＝ °
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少 （参考数据：）
【答案】（1）58
（2）解：过作与交于，过作与交于
∴四边形为矩形
∴90°，
∵148°
∴58°
在中90°
∵∴
∴
（3）解：过作，，
∴
在中＝90°
∴60°
∵58°∴32°
∴60°－32°＝28°
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】过点B作直线MN∥l，如图，
CD//l，
MN//l，
MN//CD，
故答案为：
【分析】（1）过点B作直线MN//l，利用平行四边形的性质即可解答；
（2）过作与交于，过作与交于，可得四边形ABEF为矩形，根据已知条件可求得∠1=58°，利用 ，求得CF的值，再根据线段的和差关系即可求得CE的值；
（3）过作， ，由 可求得 ，再求出∠DCN的余弦，进一步得 60°，进一步求得∠DCB的值.
17．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75
【答案】解：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
则CD＝AC＝×80＝40（海里），
在Rt△BDC中，∠BCD＝37°，
∵tan∠BCD＝，
∴BD＝CD tan∠BCD≈40×0.75＝30（海里），
答：还需航行的距离BD的长约为30海里．
【知识点】含30°角的直角三角形；特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】由题意得∠ACD=60°，∠ BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD的长，再在直角三角形BCD中，由三角函数值得出BD的长即可。
18．（2024九上·昌平期末）如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）作射线交的延长线于点F，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OC
∵AB为直径，C为上一点，
∴，∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DP是的切线，D为切点，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：如图补全图形，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵矩形DECP对边平行，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角可得，由点D为的中点，可得，则，再根据切线性质，矩形判定定理即可求出答案；
（2）在中，根据锐角三角函数定义可得，，则，在中，再根据勾股定理可得OE=3，，根据直线平行性质即可求出答案.
四、实践探究题
19．（2023·扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时， ；当时， ；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
【答案】（1）2；30或210
（2）解：当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵∠ADB=∠A′D′C=90°，∠ABD=30°，
∴∠BAD=∠D′AC=90°-30°=60°，
当α=60°时，点A，D′，B共线，点A，D，C共线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2；
∵AB=AC=2，
当AD，AD′在∠BAC的内部时，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHC=90°，
∵AC=AB，
∴，
∴，
∴∠ACH=45°，
∴∠HAC=90°-45°=45°，
∴∠BAC=45°+45°=90°，
图1中，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∴α=120°-90°=30°；
当AD，AD′在∠BAC的外部时，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
同理可证∠BAC=90°，
∵∠CAD′=∠ABD=60°，
∴α=90°+60°+60°=210°；
∴当时α=30°或210°.
故答案为：2，30或210
（3）连接AF，
∵点F为BC的中点，AB=AC，
∴∠AFB=90°，
∴AB是直径，
∴点F的运动轨迹是以AB为直径的圆，
∴点F的运动路径长为.
故答案为：
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三角形的内角和定理求出∠BAD=∠D′AC=60°，当α=60°时，点A，D′，B共线，点A，D，C共线，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得到△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出BC的长；分情况讨论：当AD，AD′在∠BAC的内部时，过点A作AH⊥BC于点H，利用等腰三角形的性质可求出HC的长，利用解直角三角形求出∠HAC的度数，可得到∠BAC的度数；由此可求出α的值；当AD，AD′在∠BAC的外部时，过点A作AH⊥BC于点H，同理求出∠BAC的度数，然后求出α的值；综上所述可得到符合题意的α的值.
（2）当α为90°时，根据题意画出图形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，苛求远程AD，AD′的长，利用勾股定理求出BD，CD′的长；再证明四边形ADED′是正方形，可得到DE的长，由此可求出BE的长，利用解直角三角形求出EF，DG的长；然后根据、S四边形AGEF=S△ABD-S△BEF-S△ADG，利用三角形的面积公式可求出四边形AGEF的面积.
（3）连接AF，利用等腰三角形的性质可知∠AFB=90°，利用圆周角定理可知AB是直径，可得到点F的运动轨迹是以AB为直径的圆，利用圆的周长公式可求出点F的运动路径长.
20．问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固.图2是长为，宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.
探究1：
（1）图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，是横梁侧面两边的交点，测得，点到AB的距离为12cm，试判断四边形的形状，并求的值.
（2）若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；
②若有根横梁绕成的环（为偶数，且，试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长.
【答案】（1）解：①四边形 是菱形；
②如图 1， 过点 作 于点 .
由题意， 得
∴在Rt△CAM中，
（2）解：① 如图 2， 过点 作 于点 ，
由题意， 得 ， . 又 四边形 是菱形，
② 如图 3， 过点 作 于点 . 由题意， 形成的多边形为正 边形，
∴外角
在Rt△CNH1中，
又
∴形成的多边形的周长为 .
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）①①四边形CDEH1是菱形，理由如下：
由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，
∴四边形CDEH1为平行四边形，
∵桥梁的规格是相同的，
∴桥梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，
∵平行四边形CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，
∴平行四边形CDEH1每条边相等，
∴四边形CDEH1为菱形．
【分析】探究1：根据图形即可判断出四边形CDEH1形状是菱形；根据等腰三角形性质可求出AM长度，然后根据勾股定理即可求出CA长度，从而求出l值．
探究2：①根据十二边形的特性可知∠CH1N＝30°，利用∠CH1N的正切可求出CH1长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
②根据正多边形的外角的性质可得∠CH1N的度数，利用∠CH1N的正切可求出CH1和H1N长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
21．（2023九上·瑞安月考）阅读素材，完成任务．
测试机器人行走路径
素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S．
素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
解决问题
任务 固定变量 探索变量 探索内容
任务一 直行路程 旋转角度与路程
任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值．
任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值．
【答案】解：任务一：当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：12，8，5．
任务二：构造如图所示的三角形，△ABC，△AHH，△DBE，△GFC，
∵α=60°，
∴△ABC，△AHH，△DBE，△GFC为等边三角形，
∴CG=b2=4，AH=b4=3，
∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，
则 AB=AC=BC=8.5，
∵b1=2，b2=4，
∴EF=2，CF=4，
∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，
∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3.
任务三：如图，构造等边△GHI，
∴GI=b3+b4+4，b6=GI-4-2=b3+b4-2，b5=GI-b6-b4=6-b4，
∵l=20，
∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，
∴2b3+b4=10；
如图：令等边三角形边长为a，高为h，
则，
∴等边三角形面积，
∴，
∴，
∴当S最大时，.
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】任务一：每次逆时针旋转α ，则旋转次，即可回到起点，代入计算即可；
任务二：首先构造四个等边三角形，根据等边三角形的三条边相等，即可求出等边三角形的边长，即可求解；
任务三：构造等边△GHI，根据等边三角形的三条边相等表示出b6、b5的长度，结合题意求得2b3+b4=10，令等边三角形边长为a，高为h，根据特殊角的三角形函数值可得，根据三角形的面积公式可求出S的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
五、综合题
22．（2024九下·定海开学考）在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化．
（1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）若，当点在线段的延长线上时，
①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由；
②如图，连接，若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）解：①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．
理由如下：
如图，连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，
∵菱形ABCD中，，，
∴，，，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
，
∵平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，，，，
∴，BD平分，AC平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，
∴，，
∵AC平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于点F，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠EAC，即∠BAP=∠CAE，
在△BAP与△CAE中，
∵AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°，
∴CE平分∠ACD，
∴CE⊥AD；
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
【分析】（1），连接AC，延长CE交AD于点F，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，由有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC与△ACD都是等边三角形，得AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°，AP=AE，∠PAE=60°，推出∠BAP=∠CAE，从而用SAS判断出△BAP≌△CAE，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得BP=CE，∠ABP=∠ACE，再根据菱形的对角线平分一组对角及等腰三角形的三线合一可得CE⊥AD；
（2）①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：．理由如下：连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G，判断出△BAP∽△CAE，由相似三角形性质得，∠ABP=∠ACE，即可解决此题；
②连接AC，CE，由①知△BAP∽△CAE，得出，∠ABP=∠ACE=60°，再由勾股定理求出CE，从而即可解决此题.
23．（2023九上·南开月考）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为．
（1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
（2）当旋转角为时，连接，求的值．
（3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
【答案】（1）过点作于，
由题意，
，
，
；
（2）过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．
过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）过点E作EF⊥OA于点F，解直角三角形求出EF和OF，得到答案即可；
（2）过点E作EF⊥OA于点F，根据勾股定理求出答案；
（3）当OE⊥AE时，∠OAE的值最大，根据勾股定理求出AE=3，继而由全等三角形的判定和性质求出答案。
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