2023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十九章 投影与视图 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2021·西陵模拟）从左面观察如图所示的几何体，看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·金牛期末）如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·福州开学考）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·深圳开学考）南朝宋 范晔在《后汉书 联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“亭”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．有 B．事 C．竞 D．成
5．（2019·防城模拟）从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
6．（2019七上·河源月考）小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024七上·花溪期末）以下由6个正方形纸片拼接成的图形中，不能折叠围成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024七上·深圳期末）小强在制作正方体模型时，准备在六个外表面上分别写上“读书成就梦想”的字样，他先裁剪出了如图所示的表面展开图后开始写字，当他写下“读书”两个字时，突然想到把“梦”字放在正方体的与“读”字相对的面上，则“梦”字应写的位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．太阳光线下形成的投影是 投影．（平行或中心）
10．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，则木杆在轴上的影长为 ．
11．（2024九上·锦江期末）某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为 ．
12．（2024七上·福田期末）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“祥”相对的面上所写的字是 ．
13．（2023七上·绿园月考）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是 ．
三、作图题
14．（2024七上·渠县期末）如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成．
（1）从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
（2）这个几何体的表面积为 cm2．
四、解答题
15．（2024九上·龙岗期末）若一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．
16．（2024七上·岳池期末）如图是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 ；
（2）将该展开图还原成几何体，若相对的两个面上的数互为相反数，求的值．
17．（2024九上·锦江期末）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试．
（1）如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
五、实践探究题
18．（2023七上·南海期中）【问题情境】小明所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的第 个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒（填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成9个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的表面积；
②要保持从上面看到的平面图形不变，最多可以拿走小正方体的个数是 ▲ ．
19．（2023七上·南明月考）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
（1）【问题解决】若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为 ；
（2）【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为 ；
（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
六、综合题
20．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。
21．（2023·崇明模拟）如图，一根灯杆上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
（1）当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离；
（2）当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得，几何体的左视图是：
故答案为：B.
【分析】左视图是视线由左向右看在侧面所得的视图，从左向右看，上面是一个正方形，且在后方，下面是两个正方形，即可解答.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，是一个正方形，正方形内部的右上角有一个小正方形，
故答案为：A.
【分析】从正面看得到的图形是主视图，看得见又存在的轮廓线画为实线，看不见，但又存在的轮廓线画为虚线，据此可得答案．
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的左视图为：，
故答案为：B.
【分析】左视图，就是从左面看得到的图形，该几何体组合的左视图有两层，底层两个小正方形，上层左侧有一个小正方形，据此判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解："志"相对面上的汉字是"竟".
故答案为：C.
【分析】正方体找相对面时，在同一行或同一列时，隔一个面可得相对面；不在同一行或同一列时，隔一个面再拐弯即得相对面.
5．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱.
故答案为：A.
【分析】由主视图和左视图都是长方形，可知此几何体为柱体，再根据俯视图是一个圆可知此几何体为圆柱.
6．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据分析，图A折叠成正方体礼盒后，心与心相对，笑脸与笑脸相对，太阳与太阳相对，即对面图案相同；图B、图C和图D中对面图案不相同；
故答案为：A．
【分析】由于正方体礼品盒，其对面图案都相同，所以可知正方体的展开图中相邻的两个图案必不相同，据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：每一个平面展开图经过折叠，A，C，D都可以围成正方体，B经过折叠后有两个面重
叠，不能围成正方体。
故答案为： B.
【分析】把每一个平面展开图经过折叠看能否围成正方体，判断即可。
本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键。
8．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体展开图的特点知：1与3对面，2与书相对，读与4对面，
∴“梦”字应写的位置是4.
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对面之间相隔一个正方形，据此解答即可.
9．【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】太阳光线下形成的投影是平行投影．
故答案为：平行．
【分析】太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．
10．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例；中心投影
【解析】【解答】解：过作轴于点E，交AB于点M，如图，
因为P（2，2），A（0，1），B（3，1），
所以PM=1，PE=2，AB=3，
因为AB//CD，
所以，
所以，
所以CD=6，
故答案为：6.
【分析】利用中心投影，作轴于点E，交AB于点M，如图，证明，再利用相似比即可求出CD的长.
11．【答案】9
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】因为主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，
所以主视图的宽为2AB=6，
因为主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，
所以主视图的面积为
故答案为：9.
【分析】根据三视图关系得出，主视图、俯视图与左视图的长相等，再根据左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，得出主视图的宽为2AB=6，再根据主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，即可得出主视图的面积.
12．【答案】康
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
所以在此正方体上与“祥”字相对的面上的汉字是“康”.
故答案为： 康.
【分析】在正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答.
13．【答案】5
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意可推出1与4相对面，2与6相对面，3与5相对面，所以1+4=5，2+6=8，3+5=8，所以5<8，所以最小值为5。
故答案为：5.
【分析】根据题意将正方体的表面展开图中的数字一一对应后进行相加，比较大小，选出最小值即可得出答案 。
14．【答案】（1）解：如图：
（2）26
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）根据从不同方向看的形状图的要求画图即可：
（1）根据题意，得每个小正方形的面积为，
所以几何体的表面积为：
故答案为：
【分析】（1）本题考查了从不用方向看，熟练掌握图的画法；
（2）对称思想是解题的关键，掌握计算表面积的方法，即可得出答案。
15．【答案】解：图形如图所示：
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】根据三视图的定义画出图形，即可求得.
16．【答案】（1）长方体
（2）解：由题意及图知，，
所以．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）根据展开图的特征可得：这个展开图是长方体的展开图，
故答案为：长方体.
【分析】（1）利用长方体展开图的特征分析求解即可；
（2）先求出a、b、c的值，再将a、b、c的值代入计算即可.
17．【答案】（1）解：，
，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
，
解得．
灯泡离地面的高度为；
（2）解：设横向影子，的长度和为，
同理可得，
解得．
即横向影子，的长度和为．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，即可得出答案；
（2）利用（1）的同样方法即可得出答案.
18．【答案】（1）②
（2）解：①正方体纸盒的棱长为，
正方体纸盒的单面面积为，
这个几何体露出的面数为，
这个几何体的表面积为；
②4
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）由正方形的展开图可知，图中的第②个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒，
故答案为：②.
（2）②由图形可知，第一层有5个正方体纸盒，第二层有3个正方体纸盒，第三层有1个正方体纸盒，
这个几何体从上面看到的平面图形有3列，数量分别为2，2，1，要保持从上面看到的平面图形不变，可把第二层和第三层的正方体纸盒取走，于是最多可以拿走小正方体的个数为：3+1=4.
故答案为：4.
【分析】（1）根据正方形的展开图逐一分析即可求解；
（2）①由题意先求出正方体纸盒的单面面积，再由图形可知这几个几何体露出的面数，于是这个几何体的表面积可求解；
②根据已知几何体和其从上面看到的平面图形分析即可求解.
19．【答案】（1）36cm2
（2）64cm3
（3）解：当a＝30cm，b＝5cm时，
按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），
按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），
2000÷1000＝2（倍），
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）根据图1，可知长方体的底面为正方形；
∵a＝12cm，b＝3cm；
∴正方形的边长为：12-3x2=6(cm)
∴长方体纸盒的底面积为 ：62=36（cm2）；
故答案为：36cm2；
（2）根据图2，可知长方体的底面为长方形；
∵a＝12cm，b＝2cm；
∴长方体的宽为：x12-2=4(cm)；
长方体的长为：12-2x2=8(cm)；
长方体的高为：2(cm)；
∴该长方体纸盒的体积为：8x4x2=64(cm3)
故答案为：64cm3；
【分析】（1）根据已知得出长方体底面的长与宽，进而求出即可；
（2）根据已知得出长方体长、宽、高，再利用底面积乘高得出有盖长方体盒子的体积即可；
（3）根据条件求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，进而得出答案.
20．【答案】（1）平行
（2）解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．
则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10﹣2=8，由平行投影可知，，即，
解得CD=7，即电线杆的高度为7米．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】（1）这是利用了平行投影的有关知识；
该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的；
故答案是：平行；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得CD即电线杆的高度即可．
【分析】此题考查了平行投影，涉及知识点有矩形的性质和相似三角形对应边成比例求值问题。
21．【答案】（1）解：如图，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴
由题意可知，，
∴，
解得，
即标尺与路灯间的距离为8米；
（2）解：如图，连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，
∵影子长为4米，
∴米，
设米，
∴米，
∵米，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵米，，
∴米，，
∴米，
∴米，米，米，，
∴，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
经检验是方程的解且正确，
∴米，
∴米，
∴此时标尺与路灯间的距离为14米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；中心投影
【解析】【分析】（1）连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得 ，可证，根据相似三角形的性质即可求解；
（2） 连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，根据题意带入方程即可求出BF。
1 / 12023-2024学年初中数学人教版九年级下学期 第二十九章 投影与视图 单元测试 A卷
一、选择题
1．（2021·西陵模拟）从左面观察如图所示的几何体，看到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得，几何体的左视图是：
故答案为：B.
【分析】左视图是视线由左向右看在侧面所得的视图，从左向右看，上面是一个正方形，且在后方，下面是两个正方形，即可解答.
2．（2023九上·金牛期末）如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，是一个正方形，正方形内部的右上角有一个小正方形，
故答案为：A.
【分析】从正面看得到的图形是主视图，看得见又存在的轮廓线画为实线，看不见，但又存在的轮廓线画为虚线，据此可得答案．
3．（2024九下·福州开学考）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的左视图为：，
故答案为：B.
【分析】左视图，就是从左面看得到的图形，该几何体组合的左视图有两层，底层两个小正方形，上层左侧有一个小正方形，据此判断得出答案.
4．（2024七下·深圳开学考）南朝宋 范晔在《后汉书 联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“亭”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．有 B．事 C．竞 D．成
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解："志"相对面上的汉字是"竟".
故答案为：C.
【分析】正方体找相对面时，在同一行或同一列时，隔一个面可得相对面；不在同一行或同一列时，隔一个面再拐弯即得相对面.
5．（2019·防城模拟）从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱.
故答案为：A.
【分析】由主视图和左视图都是长方形，可知此几何体为柱体，再根据俯视图是一个圆可知此几何体为圆柱.
6．（2019七上·河源月考）小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据分析，图A折叠成正方体礼盒后，心与心相对，笑脸与笑脸相对，太阳与太阳相对，即对面图案相同；图B、图C和图D中对面图案不相同；
故答案为：A．
【分析】由于正方体礼品盒，其对面图案都相同，所以可知正方体的展开图中相邻的两个图案必不相同，据此判断即可.
7．（2024七上·花溪期末）以下由6个正方形纸片拼接成的图形中，不能折叠围成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：每一个平面展开图经过折叠，A，C，D都可以围成正方体，B经过折叠后有两个面重
叠，不能围成正方体。
故答案为： B.
【分析】把每一个平面展开图经过折叠看能否围成正方体，判断即可。
本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键。
8．（2024七上·深圳期末）小强在制作正方体模型时，准备在六个外表面上分别写上“读书成就梦想”的字样，他先裁剪出了如图所示的表面展开图后开始写字，当他写下“读书”两个字时，突然想到把“梦”字放在正方体的与“读”字相对的面上，则“梦”字应写的位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体展开图的特点知：1与3对面，2与书相对，读与4对面，
∴“梦”字应写的位置是4.
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对面之间相隔一个正方形，据此解答即可.
二、填空题
9．太阳光线下形成的投影是 投影．（平行或中心）
【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】太阳光线下形成的投影是平行投影．
故答案为：平行．
【分析】太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．
10．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，则木杆在轴上的影长为 ．
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例；中心投影
【解析】【解答】解：过作轴于点E，交AB于点M，如图，
因为P（2，2），A（0，1），B（3，1），
所以PM=1，PE=2，AB=3，
因为AB//CD，
所以，
所以，
所以CD=6，
故答案为：6.
【分析】利用中心投影，作轴于点E，交AB于点M，如图，证明，再利用相似比即可求出CD的长.
11．（2024九上·锦江期末）某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为 ．
【答案】9
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】因为主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，
所以主视图的宽为2AB=6，
因为主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，
所以主视图的面积为
故答案为：9.
【分析】根据三视图关系得出，主视图、俯视图与左视图的长相等，再根据左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，得出主视图的宽为2AB=6，再根据主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，即可得出主视图的面积.
12．（2024七上·福田期末）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“祥”相对的面上所写的字是 ．
【答案】康
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
所以在此正方体上与“祥”字相对的面上的汉字是“康”.
故答案为： 康.
【分析】在正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答.
13．（2023七上·绿园月考）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是 ．
【答案】5
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意可推出1与4相对面，2与6相对面，3与5相对面，所以1+4=5，2+6=8，3+5=8，所以5<8，所以最小值为5。
故答案为：5.
【分析】根据题意将正方体的表面展开图中的数字一一对应后进行相加，比较大小，选出最小值即可得出答案 。
三、作图题
14．（2024七上·渠县期末）如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成．
（1）从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
（2）这个几何体的表面积为 cm2．
【答案】（1）解：如图：
（2）26
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）根据从不同方向看的形状图的要求画图即可：
（1）根据题意，得每个小正方形的面积为，
所以几何体的表面积为：
故答案为：
【分析】（1）本题考查了从不用方向看，熟练掌握图的画法；
（2）对称思想是解题的关键，掌握计算表面积的方法，即可得出答案。
四、解答题
15．（2024九上·龙岗期末）若一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．
【答案】解：图形如图所示：
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】根据三视图的定义画出图形，即可求得.
16．（2024七上·岳池期末）如图是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 ；
（2）将该展开图还原成几何体，若相对的两个面上的数互为相反数，求的值．
【答案】（1）长方体
（2）解：由题意及图知，，
所以．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】（1）根据展开图的特征可得：这个展开图是长方体的展开图，
故答案为：长方体.
【分析】（1）利用长方体展开图的特征分析求解即可；
（2）先求出a、b、c的值，再将a、b、c的值代入计算即可.
17．（2024九上·锦江期末）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试．
（1）如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
【答案】（1）解：，
，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
，
解得．
灯泡离地面的高度为；
（2）解：设横向影子，的长度和为，
同理可得，
解得．
即横向影子，的长度和为．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，即可得出答案；
（2）利用（1）的同样方法即可得出答案.
五、实践探究题
18．（2023七上·南海期中）【问题情境】小明所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的第 个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒（填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成9个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的表面积；
②要保持从上面看到的平面图形不变，最多可以拿走小正方体的个数是 ▲ ．
【答案】（1）②
（2）解：①正方体纸盒的棱长为，
正方体纸盒的单面面积为，
这个几何体露出的面数为，
这个几何体的表面积为；
②4
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）由正方形的展开图可知，图中的第②个图形经过折叠不能围成无盖正方体纸盒，
故答案为：②.
（2）②由图形可知，第一层有5个正方体纸盒，第二层有3个正方体纸盒，第三层有1个正方体纸盒，
这个几何体从上面看到的平面图形有3列，数量分别为2，2，1，要保持从上面看到的平面图形不变，可把第二层和第三层的正方体纸盒取走，于是最多可以拿走小正方体的个数为：3+1=4.
故答案为：4.
【分析】（1）根据正方形的展开图逐一分析即可求解；
（2）①由题意先求出正方体纸盒的单面面积，再由图形可知这几个几何体露出的面数，于是这个几何体的表面积可求解；
②根据已知几何体和其从上面看到的平面图形分析即可求解.
19．（2023七上·南明月考）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
（1）【问题解决】若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为 ；
（2）【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为 ；
（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
【答案】（1）36cm2
（2）64cm3
（3）解：当a＝30cm，b＝5cm时，
按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），
按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），
2000÷1000＝2（倍），
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：（1）根据图1，可知长方体的底面为正方形；
∵a＝12cm，b＝3cm；
∴正方形的边长为：12-3x2=6(cm)
∴长方体纸盒的底面积为 ：62=36（cm2）；
故答案为：36cm2；
（2）根据图2，可知长方体的底面为长方形；
∵a＝12cm，b＝2cm；
∴长方体的宽为：x12-2=4(cm)；
长方体的长为：12-2x2=8(cm)；
长方体的高为：2(cm)；
∴该长方体纸盒的体积为：8x4x2=64(cm3)
故答案为：64cm3；
【分析】（1）根据已知得出长方体底面的长与宽，进而求出即可；
（2）根据已知得出长方体长、宽、高，再利用底面积乘高得出有盖长方体盒子的体积即可；
（3）根据条件求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，进而得出答案.
六、综合题
20．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。
【答案】（1）平行
（2）解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．
则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10﹣2=8，由平行投影可知，，即，
解得CD=7，即电线杆的高度为7米．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】（1）这是利用了平行投影的有关知识；
该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的；
故答案是：平行；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得CD即电线杆的高度即可．
【分析】此题考查了平行投影，涉及知识点有矩形的性质和相似三角形对应边成比例求值问题。
21．（2023·崇明模拟）如图，一根灯杆上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
（1）当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离；
（2）当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？
【答案】（1）解：如图，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴
由题意可知，，
∴，
解得，
即标尺与路灯间的距离为8米；
（2）解：如图，连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，
∵影子长为4米，
∴米，
设米，
∴米，
∵米，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵米，，
∴米，，
∴米，
∴米，米，米，，
∴，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去），，
经检验是方程的解且正确，
∴米，
∴米，
∴此时标尺与路灯间的距离为14米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；中心投影
【解析】【分析】（1）连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得 ，可证，根据相似三角形的性质即可求解；
（2） 连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，根据题意带入方程即可求出BF。
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