2022-2023学年四川省成都市高新实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市高新实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1.实数的绝对值是，的值是( )
A. B. C. D.
2.如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约千米，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
6.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为( )
A. B. C. D.
7.中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8.如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是( )
A.
B. 当时，的值随值的增大而增大
C. 点的坐标为
D.
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.的相反数是______．
10.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．
11.如图，和是以点为位似中心的位似图形若：：，则与的面积比是______．
12.分式方程的解为______．
13.如图，，，是上的三个点，，，则的度数为______．
14.在正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则点在第______象限．
15.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
16.如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，且点在轴上，则弦的长为 ．
17.如图，研究抛物线的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于，两点如图，将三角板绕点旋转任意角度时发现，交点，所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是______．
18.如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为______．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19.计算：；
解不等式组：．
20.随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图
求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数
该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
21.交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为图中所有点都在同一平面内．
求，两点之间的距离结果精确到；
若该隧道限速，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．
参考数据：，，，，，，
22.如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
求证：是的切线；
若，，求的长；
23.如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图象交点．
求反比例函数的解析式；
在双曲线上是否存在一点，满足，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
如图，过点作交反比例函数的图象于点，点为反比例函数的图象上一点，，请直接写出点的坐标．
24.宿迁市桃树栽培历史悠久，素有“夭桃千顷、翠柳万行”的美誉小李家有一片棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低若该桃园每棵桃树产桃千克与增种桃树棵之间的函数关系如图所示．
求与之间的函数关系式；
当桃园总产量为千克时，求的值；
如果增种的桃树棵满足：，请你写出桃园的总产量千克与之间的函数关系式，并帮小李计算，桃园的总产量最多是多少千克？
25.如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为点．
求二次函数的表达式；
连接，，，，如图所示，求证：；
如图，延长交轴于点，平移二次函数的图象，使顶点沿着射线方向平移到点且，得到新抛物线，交轴于点如果在的对称轴和上分别取点，，使以为一边，点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标．
26.如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．
如图，若，则与之间的数量关系是______；
如图，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；用含的式子表示
若，连接交于点，连接，当时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据绝对值的意义直接进行解答
本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
2.【答案】
【解析】解：从左边看该几何体它是一个斜边在左侧的三角形，
故选：．
根据左视图的定义解答即可．
本题考查了简单几何体的三视图，从左面看得到的视图是左视图．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，
当原数绝对值时，是正整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可．
【解答】
解：，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、原式，不合题意；
B、原式，不合题意；
C、原式，不合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、根据积的乘方与幂的乘方运算判断即可；、根据合并同类项法则计算判断即可；、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；、根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可．
此题考查的是积的乘方与幂的乘方运算、合并同类项法则、单项式乘多项式的运算、同底数幂的除法法则，掌握其运算法则是解决此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由作图可知，平分，
，
故选项A正确，不符合题意；
B.由作图可知，是的垂直平分线，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
C.，，
，
，
，
故选项C正确，不符合题意；
D.，，
；
故选项D错误，符合题意．
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
本题考查了尺规作图作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
则，即，
，，
．
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故选：．
利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项A错误，不符合题意；
B、抛物线对称轴是直线，开口向下，
当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为的点在第一象限，
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
由抛物线开口方向可判断，根据抛物线对称轴可判断，由抛物线的轴对称性可得点的坐标，从而判断，由所在象限可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
9.【答案】
【解析】解：的相反数是：，
故答案为：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，注意的相反数是．
10.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．
11.【答案】
【解析】解：：：，
：：，
和是以点为位似中心的位似图形，
∽，，
∽，
，
与的面积比为：，
故答案为：．
根据位似图形的概念得到∽，，证明∽，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
方程两边都乘，得，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整数方程是解此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
首先根据的度数求得的度数，然后求得的度数，即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，难度不大．
14.【答案】解：原式
；
，
解不等式得：；
解不等式得：；
不等式组的解集为．
【解析】先算负整数指数幂，化为最简二次根式，把特殊角三角函数值代入，再计算即可；
解出每个不等式的解集，再求公共解集．
本题考查实数运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握实数运算相关法则和求不等式公共解集的方法．
15.【答案】解：本次调查的学生总人数为：人，
在线听课的人数为：人，
补全的条形统计图如图所示：
扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是；
人，
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有人．
【解析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；
用乘以“在线讨论”人数所占比例即可求解；
用总人数乘以在线阅读人数所占比例即可求解．
16.【答案】解：由题意得：
，，米，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
米，
，两点之间的距离约为米；
小汽车从点行驶到点没有超速，
理由：由题意得：
米秒，
米秒米秒，
小汽车从点行驶到点没有超速．
【解析】根据题意可得：，，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据进行计算即可解答；
先求出汽车的行驶速度，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17.【答案】证明：连接，如图，
为的直径，
，
．
，
．
，
，
即，
．
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，，
∽，
，
设，，
，
，
，
解得或不合题意舍去，
．
【解析】连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等和切线的判定定理解答即可；
根据已知条件得到，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结论．
本题主要考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定与性质、圆周角定理、同圆的半径相等、勾股定理是解决问题的关键．
18.【答案】解：点代入，
解得，
点代入，解得，
所以；
存在，理由如下，
如图，过作轴于点，过作轴于点，则，
，
对于，令，则，
解得，
令，则，
，，
设点坐标为，
，
，
解得或负值舍去，
点坐标为或；
解：，，，
点为线段的中点，，，
，
，
如图，延长交的延长线于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立得：，
解得：，
点的坐标为．
【解析】点代入，点代入，即可求解；
由一次函数解析式得出，，设点坐标为，根据，建立方程，解方程即可求解；
由，，，三点的坐标，可得点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，根据等角对等边得到，再由等腰三角形三线合一的性质得出，然后证明∽，可得，从而得到点的坐标，然后运用待定系数法即可求出直线的解析式，解方程组即可得到结论．
本题是反比例函数综合题，其中涉及到运用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，三角形的面积，坐标轴上点的坐标特征，有一定难度．正确作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】四
【解析】解：在正比例函数中，的值随着值的增大而减小，
，
点在第四象限．
故答案为：四．
因为在正比例函数中，的值随着值的增大而减小，所以，所以点在第四象限．
本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的实数根，
，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
21.【答案】
【解析】解：设直线交轴于，过作于，如图：
在，令得，
，，
在，令得，
解得，
，
中，，
，
中，，
，
故答案：．
22.【答案】
【解析】解：如图，作垂线轴，轴，垂足分别是、．
设，，
设直线的解析式为：，则，
．
，
同角的余角相等，
又，
∽，
，
，
，
，
由此可知不论为何值，直线恒过点．
故答案为：．
设，，易知∽，根据相似三角形的性质可知交点、的连线段总经过一个固定的点．
此题考查了二次函数综合题型，涉及的知识点较多，例如：二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二元二次方程组的解法，相似三角形的判定与性质，直线恒过定点问题，有一定的难度．
23.【答案】
【解析】解：作点关于的对称点，
由折叠的性质知是的平分线，
点在上，
过点作于，交于点，
，
的最小值为的长，
连接，，
由折叠的性质知为线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为线段的垂直平分线，
，，
≌，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，
，
，即，
∽，
，即，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
过点作于，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
24.【答案】解：设，代入，，得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
由题意得，，
解得，，
的值为或．
，
，，
当时，的最大值为．
答：桃园的总产量千克与之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是千克．
【解析】由题意可得出与之间存在一次函数关系，从而设一次函数解析式，利用待定系数法求解即可；
根据题意表示出实际桃树量，再乘以每棵桃树的产量，建立一元二次方程求解即可；
仿照的过程，用实际桃树量，乘以每棵桃树的产量，即可得到桃园的总产量千克与之间的函数关系式，然后整理为顶点式，结合二次函数的性质求解最值即可．
本题考查一次函数，二次函数以及一元二次方程的实际应用，掌握一次函数和二次函数解析式求解方法和基本性质，以及一元二次方程的解法是解题关键．
25.【答案】解：由题意得，
，
，
二次函数的表达式为：；
证明：当时，，
，
由得，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，
作轴于，作轴于，
，
∽，
，
，，
，
的关系式为：，
由得，
或，
，
当时，，
，
设，
当四边形是平行四边形时，
，，
点的横坐标为，
当时，，
，
当四边形是平行四边形时，
同理可得：点横坐标为：，
当时，，
，
综上所述：点或．
【解析】根据抛物线对称轴和点坐标分别确定和的值，进而求得结果；
根据点，，坐标可得出，，的长，从而推出三角形为直角三角形，进而得出和的正切值相等，从而得出结论；
先得出的顶点，进而得出抛物线的表达式，从而求得和的坐标，点，，，为顶点的四边形是平行四边形分为 和 ，根据，和点的横坐标可以得出点的横坐标，进而求得结果．
本题考查了求二次函数的表达式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质和分类等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
26.【答案】解：；
与之间的数量关系是．
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∽，
，
，
，
，
．
解：如图，当点在上时，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
在中，，
，
，
∽，
，
，
．
∽，
，
．
在中，，
；
如图，当点在的延长线上时，，
在中，，
．
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
在中，，
．
综上所述，的长为或．
【解析】【分析】
本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及分类讨论的思想等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明≌，由全等三角形的性质得出；
证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
如图，当点在上时，证得∽，得出，求出由∽可得出，求出则可得出答案；
如图，当点在的延长线上时，同理可求出的长．
【解答】
解：当时，，
又四边形矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
；
故答案为：．
见答案；
见答案．
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