第10章 三角恒等变换单元综合能力测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由任意角的三角函数公式可知，解得，
所以，所以，
故选：C
3．计算的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C．
4．锐角中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，而，所以，
所以.
故选：B.
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得，，
所以.
故选：A.
6．已知，，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，得，
，，，
，，，
.
故选：A
7．如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以,
不妨设小正方形的边长为，则，所以，
由于,所以，
所以,
故选：A
8．已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，
时，则，
函数在内有且仅有三条对称轴，
则，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对A，由诱导公式可知，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD.
10．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题可知，每一个直角三角形的面积为，故A正确；
如图，设直角三角形的两直角边分别为:则，，显然，
因为，，所以，故B错误；
因为，，由，有：
，，
所以，故C正确；
因为，，，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数f(x)的最小正周期为
C．函数f(x)的对称轴方程为 D．函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】ABC
【解析】由
对于选项A,由上分析可知，A项正确；
对于选项B，因最小正周期,故B项正确；
对于选项C，由，可知其对称轴可由求得，
故函数的对称轴方程为，故C项正确；
对于选项D，由的图象向左平移个单位长度得到而不是，故D项错误.
故选：ABC.
12．已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为，其中且，
所以，
所以或，即或.
因为且，所以，所以，B正确，A错误；
因为，所以，所以，C错误；
因为，所以，D正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则＝ .
【答案】
【解析】由，解得：.
故答案为：.
14．设，化简 的结果是
【答案】
【解析】，
因为，所以，
所以，因此原式，
即，
故答案为：
15． ．
【答案】/
【解析】
.
故答案为：.
16．= .
【答案】
【解析】因为
，
故原式
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知角，且.
(1)求sin()的值;
(2)求的值.
【解析】（1）由题意知，，
所以；
（2）由（1）知，，
所以.
18．（12分）
已知为锐角，．
(1)求和的值；
(2)求的值．
【解析】（1）因为为锐角，，所以，
所以，
又因为，所以，
（2）因为为锐角，，所以，解得，
所以，
，
所以，
又因为为锐角，所以，
所以.
19．（12分）
已知函数.
(1)把化为的形式，并求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间.
【解析】（1）（1），
所以最小正周期为．
（2）由，，解得，，
所以的增区间为．
20．（12分）
已知函数．
(1)求函数的最小正周期以及单调递减区间；
(2)设函数，求函数在上的最大值、最小值．
【解析】（1）因为函数
，
所以，最小正周期为,
当时，即时，为减函数，
则的单调递减区间为
（2）因为函数
，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，，
所以在上的最大值为5，最小值为.
21．（12分）
如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
(1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式；
(2)求的最大值，及此时的角.
【解析】（1）在中，，，
，，
，
，
（）；
（2），
，
，
因为，
，
当，即时，
取得最大值.
22．（12分）
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
【解析】（1）由已知可得，，，
所以，，
所以，.
（2）.
证明如下：
左边，
右边.
所以，左边=右边，
所以，.
（3）原题可转化为方程有解，即有解.
令，，，
因为在上单调递增，，，
所以，.
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即有最大值.
则要使有解，应有，
即，所以.第10章 三角恒等变换单元综合能力测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．计算的值（ ）
A． B． C． D．
4．锐角中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为
B．
C．
D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数f(x)的最小正周期为
C．函数f(x)的对称轴方程为 D．函数f(x)的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
12．已知，其中且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则＝ .
14．设，化简 的结果是
15． ．
16．= .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知角，且.
(1)求sin()的值;
(2)求的值.
18．（12分）
已知为锐角，．
(1)求和的值；
(2)求的值．
19．（12分）
已知函数.
(1)把化为的形式，并求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间.
20．（12分）
已知函数．
(1)求函数的最小正周期以及单调递减区间；
(2)设函数，求函数在上的最大值、最小值．
21．（12分）
如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.
(1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式；
(2)求的最大值，及此时的角.
22．（12分）
在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
