重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题
【题型归纳目录】
题型一：问题（系数为1）
题型二：问题（系数不为1）
题型三：问题
题型四：问题
题型五：问题
题型六：问题
【知识点梳理】
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
【典型例题】
题型一：问题（系数为1）
【例1】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
【变式1-1】（2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】设，将用、表示出来，即可找到和的关系，从而求出的值．设，，
所以
，
又，
所以．
故选：．
【变式1-2】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，且，
而，
所以，
即，
由已知，则，选项D正确.
故选：D
题型二：问题（系数不为1）
【例2】（2024·山东潍坊·高一统考期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为是内一点，且
所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时
所以，即
因为在内且不含边界
所以取开区间，即
所以选B
【变式2-1】（2024·山东烟台·统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
【变式2-2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：B.
题型三：问题
【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，，
点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且.，
由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，
，
的取值范围为.
故选：B
【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）
①存在点P，使得；
②存在点P，使得；
③存在点P，使得；
④存在点P，使得．
【答案】①④
【解析】设，由图可知：
且，
∴①④正确，
故答案为：①④
【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得，
设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；
过点G作GH∥DE，分别交DF AE于K H，
连接FH，则点K H为临界点；
GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，
，
所以FH∥BC；
所以FHBC，
所以，
所以KGHK，
KGHGDE.
所以实数x的取值范围是().
故答案为：().
题型四：问题
【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为
【答案】
【解析】
因为点是的三等分点，则
，
又由点三点共线，所以，
所以 ，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，则有，
即，所以，因为，
所以，
故答案为：.
【变式4-1】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意，作出图形如下，
因为，，，则，
所以 ，
因为三点共线，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式4-2】（2024·广东惠州·高一校联考阶段练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】，
∵E、O、F三点共线，∴，
∵m>0，n>0，t>0，
∴，
当且仅当时取等号，
∴．
故选：B．
题型五：问题
【例5】（2024·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 .
【答案】3
【解析】如图，由题意得存在实数，使得.
又，
所以，
又∵，且不共线，
故由平面向量的分解的唯一性得
所以.
故答案为：3.
【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
△ABC中，，
∴（），
又点E在线段AD（不含端点）上移动，
设k，0＜k＜1，
∴，
又，
∴，
∴．
∵在（0，1）上单调递减，
∴λ的取值范围为（，+∞），
故选C．
【变式5-2】（2024·天津·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 .
【答案】 2
【解析】因为在中，，
所以,
即.
因为点在线段上移动（不含端点），所以设.
所以，对比可得.
代入，得；
代入可得，根据二次函数性质知当时，.
故答案为：
题型六：问题
【例6】（2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，
所以，
所以 ，，故的取值范围.
【变式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
存在实数使得 ，，
所以，
所以 ，
原式 ，
当时，函数取得最小值，
故选：C
【变式6-2】（2024·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，
于是得，而，且与不共线，
则，即有，因此，，
当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，
所以的最小值为.
故选：C
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三课时练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题可设，
则，
N为AM中点，,
又，，.
故选：A.
2．（2024·四川成都·高三阶段练习）在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
考点：平面向量.
3．（2024·河南南阳·高三统考期末）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，不共线，点D在BC上，则，
存在唯一实数t使，
因为为的中点，，而，
所以，所以.
故选：B
4．（2024·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据向量加法的几何意义可知，
当时，由可知，点应落在区域1，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域2，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域3，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域4，符合题意.
又当时，根据向量加法的几何意义可知，此时点应落在阴影区域之外，所以.
故选：D.
二、填空题
5．（2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则根据题意可知，，，设，．
由，得，，
，
点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大，
当时取得最大值4，当时取得最小值．
的取值范围是，．
故答案为：．
6．（2024·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.
不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，，,，
又，
则，则，
则，
又，
则，
则，
即，
故答案为：.
7．（2024·江西南昌·统考二模）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如图，过C分别作OB,OA的平行线，交OA,OB与M,N，不妨设圆半径为1.
则，∵，
，由图可知.
将两边平方得
1
所以,显然
得:,（负值舍去),
故.
不妨令
显然在上单调递减,,得.
故答案为：[1,3].
8．（2024·四川绵阳·高一统考期中）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.
则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.
故答案为：.
9．（2024·吉林·高一阶段练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：
则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）
当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.
10．（2024·全国·高三专题练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ．
【答案】3
【解析】设，由题意知，
，
由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，
即，
从而消去，得．
故答案为：3
11．（2024·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由，得，即，
因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以，
又因为，所以，
则（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故答案为：．
12．（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题可知，，设，
则，
所以，
而，
可得：，
所以，
设，
由双钩函数性质可知，在上单调递减，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
13．（2024·浙江宁波·高一统考期末）半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则 .
【答案】
【解析】建立直角坐标系，如图所示，
，，
，即
，
，即
，
，解得．
．
故答案为：
14．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为，点C在AB上，且，若，则 ．
【答案】
【解析】建立直角坐标系，如图所示，
，，，即
，，即
，
，解得．．
故答案为：
三、解答题
15．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.
（1）当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由
（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围.
（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明）
【解析】（1）若，则O、P异侧，若，则O、P同侧；理由如下：
设，则由得，
，
当时，与同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O、P异侧；
当时，与反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O、P同侧；
（2）由图及平面向量基本定理可知，，即实数的取值范围是，
当时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，；
（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．
16．（2024·高一课时练习）已知，，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA、OB分别交于P、Q两点．
（1）用、表示；
（2）若m，n，试问是否为定值，证明你的结论．
【解析】（1）点G是△OAB的重心，
延长OG交AB于D，即有D为AB的中点，
可得（）（）；
（2）为定值3．
理由：由m，n，
可得，，
即有，
由三点P，G，Q共线，可得1，
即为3．
则为定值3．
17．（2024·高一课时练习）如图，是的重心，的延长线交于点，，分别是边，上异于端点的动点，且.
（1）试用，，表示；
（2）设，，证明：是定值.
【解析】（1）.
（2）由（1）及，，得.①
∵是的重心，
∴.②
又，不共线，
由①②，得，解得，
∴，即是定值.重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题
【题型归纳目录】
题型一：问题（系数为1）
题型二：问题（系数不为1）
题型三：问题
题型四：问题
题型五：问题
题型六：问题
【知识点梳理】
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
【典型例题】
题型一：问题（系数为1）
【例1】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为
A． B． C．1 D．4
【变式1-2】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：问题（系数不为1）
【例2】（2024·山东潍坊·高一统考期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·山东烟台·统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式2-2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三：问题
【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）
①存在点P，使得；
②存在点P，使得；
③存在点P，使得；
④存在点P，使得．
【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .
题型四：问题
【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为
【变式4-1】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .
【变式4-2】（2024·广东惠州·高一校联考阶段练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为( )
A．2 B．3 C． D．
题型五：问题
【例5】（2024·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 .
【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·天津·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 .
题型六：问题
【例6】（2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为 ．
【变式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三课时练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·四川成都·高三阶段练习）在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为
A． B． C． D．
3．（2024·河南南阳·高三统考期末）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A． B． C． D．
4．（2024·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .
6．（2024·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .
7．（2024·江西南昌·统考二模）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．
8．（2024·四川绵阳·高一统考期中）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．
9．（2024·吉林·高一阶段练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为
10．（2024·全国·高三专题练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ．
11．（2024·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ．
12．（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
13．（2024·浙江宁波·高一统考期末）半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则 .
14．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为，点C在AB上，且，若，则 ．
三、解答题
15．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.
（1）当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由
（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围.
（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明）
16．（2024·高一课时练习）已知，，点G是△OAB的重心，过点G的直线PQ与OA、OB分别交于P、Q两点．
（1）用、表示；
（2）若m，n，试问是否为定值，证明你的结论．
17．（2024·高一课时练习）如图，是的重心，的延长线交于点，，分别是边，上异于端点的动点，且.
（1）试用，，表示；
（2）设，，证明：是定值.
