重难点专题05 三角形中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：周长问题
题型二：面积问题
题型三：长度问题
题型四：转化为角范围问题
题型五： 倍角问题
题型六：与正切有关的最值问题
题型七：最大角问题
题型八：三角形中的平方问题
题型九：等面积法、张角定理
【方法技巧与总结】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
(1)求角的最值；
(2)求边和周长的最值及范围；
(3)求面积的最值和范围.
【典例例题】
题型一：周长问题
【例1】（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，求的周长最小值.
【解析】（1）由题意可得，即，得，
由正弦定理得，因为，所以.
（2）由（1）知，
由余弦定理得,
当且仅当时取等号，所以，又因为，所以.
所以，所以的周长最小值为.
故的周长最小值为.
【变式1-1】（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）在锐角中，， ，
（1）求角；
（2）求的周长l的范围.
注：在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.
【解析】（1）若选①，因为，且，
所以，即，
因为，所以.
若选②，因为，，
所以，
因为，所以.
又因为，所以.
若选③，
.
因为，所以.
又因为，，
所以，.
（2）因为，所以，.
因为，所以，.
.
.
因为锐角且，所以
所以，，
故.
【变式1-2】（2024·山西运城·高二校考阶段练习）在锐角中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的范围.
【解析】（1）由，可得，
即，
，
解得或，
，则，
故，
.
（2）由正弦定理可得，
则，，
，
因为为锐角三角形，则，可得，
所以，，则，
故，
周长的范围为.
【变式1-3】（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围.
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，则，，
，，
周长为
，
又锐角，，结合
，，，，即周长的范围是.
题型二：面积问题
【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；
(2)若为锐角三角形，求面积的范围.
【解析】（1）由题设，则，故，
又，则，又，则为等边三角形，故，
由，则，
所以（负值舍），故.
（2）由题意，则，又，则，
所以，
由，而，
所以.
【变式2-1】（2024·河南开封·高二校联考期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：．
(1)求角的大小；
(2)若时，求面积的范围．
【解析】（1），即，
整理得到：，故，，故.
（2）根据正弦定理：，故，，
，，故，，
故面积范围为：.
【变式2-2】（2024·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【解析】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
【变式2-3】（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【解析】（1）∵，
∴由正弦定理得，
∴．∵，
∴，
又∵，∴，∴．
（2）由余弦定理得，则
由基本不等式可得，所以，故当时等号成立，∴，
∴的面积，
∴面积的最大值为．
题型三：长度问题
【例3】（2024·江西宜春·高二校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以；
（2）将代入正弦定理，得，
所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范围为.
【变式3-1】（2024·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【解析】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因为为锐角三角形，所以且，
则，,则，．
【变式3-2】（2024·河南濮阳·高二校联考期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围．
【解析】(1)∵＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0．即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－．∵0＜B＜π，∴B＝．
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2-＝ (a＋c)2，
当且仅当a＝c时取等号．∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2．
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范围是(，2]．
【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别是，且满足，则的最大值为 .
【答案】2
【解析】因为，
由正弦定理可得：，
注意到，
即，
整理得，
且，则，
可得，即，
又因为，则，可得，所以，
由余弦定理可得，
即，当且仅当时，等号成立，
且，可得，所以的最大值为2.
故答案为：2.
【变式3-4】（2024·贵州黔东南·高二统考期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为，，即，
所以，
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理，所以（负值舍去），
根据正弦定理，
可得，，
所以
，其中，
因为，当时，的最大值为.
故答案为：
题型四：转化为角范围问题
【例4】（2024·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）在，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列.
(1)证明：成等差数列；
(2)求角B的范围.
【解析】（1）证明：已知a，b，c成等差数列，则，
由正弦定理得：，
则成等差数列；
（2）由（1）得：，由余弦定理得：
因为，所以，当且仅当时等号成立，则
又，所以角B的范围.
【变式4-1】（2024·浙江嘉兴·高二校考期中）在中，内角、、所对的边分别为、、.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求角的大小；
（3）求的范围.
【解析】（1） 因为，，所以；
（2）由正弦定理有：，即, 所以，
又因为，所以，所以；
（3）由题意得
因为，所以，则，
所以，故的取值范围是.
【变式4-2】（2024·浙江台州·高一校联考期中）已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．
(1)判断角B与角C的关系，并说明理由；
(2)若，求的范围．
【解析】（1）∵，，∴或，
∴，
∴，
∴.
∵，
，
∴.
∵，
∴或，
∵，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
【变式4-3】（2024·山东临沂·高一校考期末）记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的范围.
【解析】（1）由得：，
，
即，
，，
，，，解得：.
（2）由（1）知：，
，，，
或，即或；
，当时，，不合题意，，
，
，，.
题型五： 倍角问题
【例5】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
【解析】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理边化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因为为锐角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，则.
因为为锐角三角形，
所以，，解得.
根据正弦定理可得，
，.
因为
，
所以，，
，
所以，.
因为，
所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周长的取值范围为.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由，结合正弦定理得，
即，
所以，
所以或（舍去），所以.
（2）在锐角中，，，，
即，所以.
.
令，，，
因为在上单调递增，
所以，，
所以.
【变式5-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
【解析】（1）由题，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
（2）为锐角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）问，，
令，
则，
所以
因为,
当时，所求的最大值为.
题型六：与正切有关的最值问题
【例6】（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）在中，为边上的高，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值及取最小值时k的值.
【解析】（1）设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，则.
在中，由余弦定理得.
由，得，所以.
因为，所以，于是，
而.
（2）法一：由（1）知，.
如图，在中，过B作的垂线，且使，
则，则，
即，所以.
于是，即
令函数，，则在上单调递增，
所以，此时.
故所求的最小值为，此时k的值为.
法二：由，
得，即，
化简得，即，
因为，，所以，
于是，即
令函数，，则在上单调递增，
所以，此时.
故所求的最小值为，此时k的值为.
【变式6-1】锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，
所以，所以.
又，
所以，所以.
又，且，故，
所以.
又，所以，得，
所以，
故选：C.
题型七：最大角问题
【例7】（2024·山东滨州·统考二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大.
【答案】
【解析】过C作，交AB于D，如图所示：
则，
设，
在中，，
在中，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以取最大值时，最大，
所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.
故答案为：
【变式7-1】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面12米，树上另一点离地面8米，若在离地面2米的处看此树，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点作，交于点，则．
设，在中，．
在中，，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故选：C.
【变式7-2】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（ ）
A．2ab B． C． D．ab
【答案】B
【解析】有题意可知，是锐角且，
因为，
所以，
且，当且仅当，即时，等号成立，
故当，，此时最大.
故选:B
【变式7-3】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为处观察，
设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，
则，则，
故.
故选：B
题型八：三角形中的平方问题
【例8】（2024·浙江湖州·高三统考期末）已知实数，，满足，则的最小值是
A． B． C．-1 D．
【答案】B
【解析】根据题意利用与的基本不等式,再转换为含的二次不等式求解即可.若取最小值,显然异号且.故,
即,故,
当且仅当分别取时等号成立.
故选：B
【变式8-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）在中，，，所对的边长为，，，的面积为，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，，
，
，
因为，
所以当时，取得最大值，
故选：C
【变式8-2】（2024·全国·高三专题练习）设为的三边，为的面积，若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】解法一：直接套用（12）式：，有
，，
当且仅当，
即时，取最大值．
解法二：
解法三：消元：
基本不等式放缩：，
移项配凑目标：，
万能代换：令，则
，
当且仅当，即，时，取最大值．
【变式8-3】（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）在中，a，b，c为三边，若，则面积的最大值为 .
【答案】
【解析】由三角形面积公式可得，
可得，
∵，∴，
∴
，
当且仅当时等号成立，
结合二次函数的性质可知：当时，
取得最大值，所以S的最大值为.
故答案为：
【变式8-4】（2024·河南郑州·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题知，
则
，当且仅当时取等号.
，
而，
.
故答案为：
【变式8-5】（2024·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得： ，
故 ，
当且仅当 时取等号，
由于 ,故 ，
则 ，则 ，
故答案为：
题型九：等面积法、张角定理
【例9】（2024·湖北·高一校联考阶段练习）在中，角 所对的边分别为 ，，的平分线交于点，且，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，
化简得，即，
因此
当且仅当，即时取等号，即的最小值为.
故答案为：9
【变式9-1】（2024·新疆伊犁·高一奎屯市第一高级中学统考期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．7
【答案】B
【解析】由题意得 ，
即 ，得，
得 ，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B．
【变式9-2】（2024·云南大理·统考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．14
【答案】B
【解析】由题意得：
，即，得
所以
当且仅当，即时，取等号.
故选：B．
【变式9-3】（2024·重庆云阳·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，．，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，可得，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：A.重难点专题05 三角形中的范围与最值问题
【题型归纳目录】
题型一：周长问题
题型二：面积问题
题型三：长度问题
题型四：转化为角范围问题
题型五： 倍角问题
题型六：与正切有关的最值问题
题型七：最大角问题
题型八：三角形中的平方问题
题型九：等面积法、张角定理
【方法技巧与总结】
1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:
(1)利用基本不等式求范围或最值；
(2)利用三角函数求范围或最值；
(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；
(4)根据三角形解的个数求范围或最值；
(5)利用二次函数求范围或最值.
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
(1)求角的最值；
(2)求边和周长的最值及范围；
(3)求面积的最值和范围.
【典例例题】
题型一：周长问题
【例1】（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，求的周长最小值.
【变式1-1】（2024·江苏南京·高二校考阶段练习）在锐角中，， ，
（1）求角；
（2）求的周长l的范围.
注：在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.
【变式1-2】（2024·山西运城·高二校考阶段练习）在锐角中，内角A、B、C，的对边分别是a、b、c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的范围.
【变式1-3】（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围.
题型二：面积问题
【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；
(2)若为锐角三角形，求面积的范围.
【变式2-1】（2024·河南开封·高二校联考期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：．
(1)求角的大小；
(2)若时，求面积的范围．
【变式2-2】（2024·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
【变式2-3】（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
题型三：长度问题
【例3】（2024·江西宜春·高二校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【变式3-1】（2024·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【变式3-2】（2024·河南濮阳·高二校联考期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝(cos B，cos C)，＝(2a＋c，b)，且⊥．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围．
【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）在中，角所对的边分别是，且满足，则的最大值为 .
【变式3-4】（2024·贵州黔东南·高二统考期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为 .
题型四：转化为角范围问题
【例4】（2024·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）在，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列.
(1)证明：成等差数列；
(2)求角B的范围.
【变式4-1】（2024·浙江嘉兴·高二校考期中）在中，内角、、所对的边分别为、、.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求角的大小；
（3）求的范围.
【变式4-2】（2024·浙江台州·高一校联考期中）已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．
(1)判断角B与角C的关系，并说明理由；
(2)若，求的范围．
【变式4-3】（2024·山东临沂·高一校考期末）记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若，求的范围.
题型五： 倍角问题
【例5】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的周长的取值范围.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【变式5-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
题型六：与正切有关的最值问题
【例6】（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）在中，为边上的高，已知.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值及取最小值时k的值.
【变式6-1】锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：最大角问题
【例7】（2024·山东滨州·统考二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大.
【变式7-1】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶离地面12米，树上另一点离地面8米，若在离地面2米的处看此树，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（ ）
A．2ab B． C． D．ab
【变式7-3】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
题型八：三角形中的平方问题
【例8】（2024·浙江湖州·高三统考期末）已知实数，，满足，则的最小值是
A． B． C．-1 D．
【变式8-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）在中，，，所对的边长为，，，的面积为，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·全国·高三专题练习）设为的三边，为的面积，若，则的最大值为 ．
【变式8-3】（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）在中，a，b，c为三边，若，则面积的最大值为 .
【变式8-4】（2024·河南郑州·校联考模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为 ．
【变式8-5】（2024·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是 .
题型九：等面积法、张角定理
【例9】（2024·湖北·高一校联考阶段练习）在中，角 所对的边分别为 ，，的平分线交于点，且，则的最小值为 .
【变式9-1】（2024·新疆伊犁·高一奎屯市第一高级中学统考期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．7
【变式9-2】（2024·云南大理·统考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．14
【变式9-3】（2024·重庆云阳·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，．，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
