5.5 角平分线的性质(湖南省邵阳市新邵县)

课题 5.5 角平分线的性质
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
教学目标
1 了解角平分线的性质，并运用其解决一些问题
2 经历操作、推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中，进行有条例的思考和表达。
3 在运用角平分线解决实际问题中，体会数学与实际生活的联系，发展运用数学知识的意识。
重点、难点
重点：角平分线性质的探索
难点：角平分线性质的运用。
教学过程
一创设情境，导入新课
1 按要求作图
已知：∠AOB,
（1）以O为圆心，任意长为半径作弧叫OA、OB与D、E， (2）分别以D、E为圆心,大于DE为半径作弧，两弧交于C，
（3）作射线OC.
2 这样作出来的射线有什么特殊性呢？请你以射线OC所在的直线作轴反射，看看OA、OB能完全重合吗？
3 用上面方法作出的射线OC是∠AOB的平分线，角平分线既然是一条特殊的射线，特殊在哪里呢？这节课我们来学习------5.5 角平分线的性质
二 合作交流，探究新知
1 探究活动
请你用圆规或者对折的方法画出∠AOB的平分线OC
在∠AOB的平分线上任意取点P，过P画PE⊥OA,PF⊥OB,E、F为垂足，量一量PE、PF的长度，线段PE、PF有什么关系？
在OC上再取点Q，过Q作QM⊥OA,QN⊥OB，量一量QM、QN的长度，看看QM、QN有什么关系？
通过上面操作，你有什么猜想？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
这是为什么呢？
设P点是∠AOB的平分线上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB ,D、E为垂足，那么沿着OC翻折，射线OA、OB能够重合，
由于∠3=∠4,所以，射线PD与射线PE也能重合，因此D、E能重合，所以PD=PE.
怎样用符号表达这个结论？
如果点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA,PE⊥OB,那么PD=PE
2 初步应用
考考你：
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，试问点P到三边AB，BC，CA的距离相等吗？为什么？
三 应用迁移，巩固提高
例1 如图，P为△ABC中∠A的外角平分线上任意一点，且
PE⊥BA，PD⊥AC，E、D为垂足。试探索BE+PD与PB的大小关系
探索方法：
量一量BE，PD、PB的长度，然后算一算BE+PD，看看BE+PD与PB的关系。
寻找理论依据
∵PA平分∠CAE，PE⊥BE,PD⊥AC，∴PD=PE,(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
∵PE+BE>PB,（三角形任何两边之和大于第三边）
∴PD+BE>PB（等量代换）
例2 如图，有两条河流，两个工厂A，B，现要在这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。
解：（1）画AB的垂直平分线MN，（2）画∠α的平分线交直线MN于P,则P点就是中转站的位置。
三 课堂练习，巩固提高
1已知：如图所示，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，DF ⊥ BC于F，△ABC的面积为30 ,AB=18cm,BC=12cm,则DE的长是________.
2 如图，已知AO、CO分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，它们交于点O，OD⊥BM于D，OF⊥BN于F，
试说明OD=OF.
四 反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在用符号表达的时候要注意它有三个条件。
若OP平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,那么PD=PE.
五作业
P 130 A B