第9章 平面向量 章末题型归纳总结
目录
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用
经典题型三：向量的数乘运算
经典题型四：向量的数量积运算
经典题型五：向量的模、向量的夹角
经典题型六：向量的投影、投影向量
经典题型七：平面向量的实际应用
经典题型八：平面向量范围与最值问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
例1．（2024·山东青岛·高一校联考期末）在中，为线段上一点，且，点是的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
在中，为线段上一点，且，则，
即，所以，，
因为为的中点，所以，，
因此，.
故选：D.
例2．（2024·高一课时练习）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）
A．＋ B．＋
C． D．＋
【答案】B
【解析】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选：B
例3．（2024·福建福州·高一校联考期末）平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点为线段的中点，
，
即①，
，
，
即②，
由①②得，，
故选：A．
例4．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
例5．（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】,
故选：B.
经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用
例6．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．
【答案】3
【解析】设
根据题意，；
，，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案为：3
例7．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为 BD上一点，且满足（为正实数），则的最小值为 .
【答案】4
【解析】
∵B、P、D三点共线，∴设
∵，∴，
∴，
由和平面向量基本定理得：，∴，
∵为正实数，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为4．
故答案为：4．
例8．（2024·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
【解析】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
例9．（2024·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）①因为，所以，
故在中，
；
②因为三点共线，设，
所以，
因为，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因为，又三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
所以，，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.
例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.
【解析】∵点与点关于点对称，
∴是的中点，，
，
，
，
且，
.
综上：， .
经典题型三：向量的数乘运算
例11．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期末）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为四边形为矩形，为中点，
所以，
所以.
故选：B
例12．（2024·全国·高一假期作业）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设，则，，
设，，
则，，
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
例13．（2024·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】,
,
即,
.
故选：D.
例14．（2024·全国·高一随堂练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】不妨设，如图所示，
根据题意则，即点O是的重心，
取的中点，连接，则三点共线，且，
所以边上的高是边上的高的倍，
，即，
同理可得：，，
所以有，
又因为，
那么，
故的面积与的面积的比值为.
故选：A.
例15．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）已知是的重心，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接并延长交于，如图，
因为是的重心，则是的中点，
所以
，
又，所以，，
所以.
故选：B.
例16．（2024·河北石家庄·高一校考期末）已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】在中，，即是的中点，则，
又，即，
因此，
而，不共线，
所以，.
故选：D
经典题型四：向量的数量积运算
例17．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】∵，向量与的夹角为120°，
∴.
故选：D
例18．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）在中，满足，，，则（ ）
A． B．0 C．25 D．65
【答案】C
【解析】如图所示，
因为在中，满足，，，
所以，即，
所以.
故选：C
例19．（2024·全国·高一假期作业）在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】A
【解析】记，则，，
，
．
故选：A.
例20．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【解析】依题意，，
所以.
故选：A
例21．（2024·山西·高一校联考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
因为C，P，D三点共线，所以，即，
所以，又，
所以
.
故选：C
例22．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）设平面向量，，且，则=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以又，
则
所以，
则
，
故选：
例23．（2024·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知为的外接圆圆心，且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由可知为中点，则为直径，
所以；
在等腰中，由，得，
所以，
所以是为直角的等腰三角形，
所以
故选：A.
经典题型五：向量的模、向量的夹角
例24．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考期末）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
由余弦定理得，，
得到，又，所以为直角三角形，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则有，又分别为中点，
所以，故，
所以，
故选：D.
例25．（2024·全国·高一假期作业）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（ ）
A． B．3 C．9 D．13
【答案】C
【解析】
由题意易知，则，
过作于，
所以，
，
所以，不妨设，则
，故.
故选：C
例26．（2024·福建莆田·高一统考期末）在中，为上一点，且满足．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意可得：，
因为三点共线，则，且，
又因为，
则，可得，解得，
可得，
所以，即.
故选：C.
例27．（2024·全国·高一专题练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【解析】由平方可得，
因为，平面向量与的夹角为，
所以即，
解得或（舍去），
故选：D
例28．（2024·广东揭阳·高一校联考期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】与的夹角为钝角，
，
又与的夹角为，
所以，即，解得，
又与不共线，所以，
所以取值范围为.
故选：D
例29．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，而，所以，
所以.
故选：B
例30．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
例31．（2024·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设向量的夹角为，因为，可得，
又因为，，
可得
，解得，
因为，可得.
故选：B.
例32．（2024·全国·高一假期作业）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意，得，
所以，
．
而，
所以．
整理，得，解得或（舍去）．
故选：C．
经典题型六：向量的投影、投影向量
例33．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，则向量在上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【解析】因为，，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：.
例34．（2024·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【解析】向量，则，
所以向量在方向上的投影向量为
故答案为：
例35．（2024·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为 ．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量为，为与同向的单位向量，
在方向上的投影向量的模长为；
，，，
，即所求模长为.
故答案为：.
例36．（2024·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ．
【答案】
【解析】在上投影向量为，即，
故.
故答案为: .
例37．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 .
【答案】
【解析】因为，，与的夹角为，
所以在方向上的投影向量是.
故答案为：.
例38．（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，，所以，
所以向量在向量上的投影数量为，
故答案为：.
经典题型七：平面向量的实际应用
例39．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 .
【答案】3
【解析】设船在静水中的速度为，船的实际速度为，水流速度为，如图所示，
∵，
∴，即水流的速度大小为.
故答案为：3.
例40．（2024·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）
【答案】N
【解析】
如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，
因为，所以在上的投影向量为，
所以8根绳子拉力的合力为，
又因为降落伞匀速下落，所以，必有，
所以，，所以
故答案为：N
例41．（2024·全国·高一随堂练习）一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．
【答案】300
【解析】J.
故答案为：300
例42．（2024·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .
【答案】/
【解析】由题意知，
则
，因为，，
即，所以.
故答案为：
例43．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为 .（）
【答案】，
【解析】由题可知，以木块运动的方向为正方向，
则力在水平方向的分量为：，
在竖直方向的分量为：，
则摩擦力为：，
则力做功为,摩擦力做功.
故答案为：，
经典题型八：平面向量范围与最值问题
例44．（2024·云南昆明·高一校考期末）已知AD是的中线，若，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】，
，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：
例45．（2024·江西萍乡·高一统考期末）如图，在中，，，，动点在线段上移动，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】在中，，，，
所以，又，
所以，
以所在直线为轴，以为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则，，设，，
所以，
所以，
所以当时，有最小值.
故答案为：.
例46．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .
【答案】
【解析】令，则，，
所以，
所以时，的最大值为.
故答案为：
例47．（2024·福建漳州·高一校联考期末）已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为 .
【答案】5
【解析】设的中点为，连接，
则=
．
∵点点M是矩形内（包括边界）一动点，且,
∴，则，
当点与点或点重合时，取得最大值5.
故答案为：5．
例48．（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的范围是 .
【答案】,
【解析】根据条件，建立直角坐标系如图所示，则，.
设，.
,,，
，的范围是，.
故答案为：,.
例49．（2024·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期末）已知，在直角三角形中，，，则实数的值是 .
【答案】或
【解析】由已知可得，.
若为直角，则有，解得，舍去；
若为直角，则有，解得；
若为直角，则有，解得（舍去负值），所以.
综上所述，或.
故答案为：或.
模块三：数学思想方法
① 分类讨论思想
例50．（2024·河北廊坊·高一统考期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
【答案】，且.
【解析】由得，又当时，，同向，
故的取值范围是，且.
故答案为：，且.
例51．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量满足，若对任意共面的单位向量，记的最大值为，则的最小值等于 ．
【答案】
【解析】记，不难发现：如图1，当为锐角时，；如图2，当为钝角时，；如图3，当为直角时，，由上述三种情形可知，，由平行四边形法则可知，当时，．
例52．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为 N．
【答案】
【解析】由题意得：，
所以
，
故答案为：.
例53．（2024·广东广州·高二校联考期末）设点是圆：上的动点，定点，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意原点为线段的中点，
因为，
所以点在圆外，
圆的圆心，半径，
，
的人，即，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
②转化与化归思想
例54．（2024·河北·统考模拟预测）已知平面向量的夹角为，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值为 .
【答案】/0.25
【解析】因为平面向量的夹角为，，
所以，
又，所以，
即，
即，
所以或（舍去），
所以，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
又向量在向量上的投影向量为，
所以，
故答案为：.
例55．（2024·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，因为动点满足，
，
则点是的重心，故①正确；
对于②，因为动点满足，
，
又在的平分线上，
与的平分线所在向量共线，
所以的内心在满足条件的点集合中，②正确；
对于③，动点满足，
，，
过点作，垂足为，则，
，向量与边的中线共线，
因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；
对于④，动点满足，
，
，
，
所以的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；
对于⑤，动点满足，
设，
则，
由④知，
，
，
点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；
所以的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
例56．（2024·江西南昌·高三江西师大附中校考期末）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由题意可得，，
要使取得最小值，则要最小，
根据圆的性质，只需，此时为中点，
又，则，
所以，
则的最小值为.
故答案为：.
例57．（2024·云南保山·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， .
【答案】
【解析】因为为中点，所以，
因为和分别共线，
所以存在使得，，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以，，，
故答案为：
③数形结合思想
例58．（2024·广东佛山·高二校考阶段练习）已知力，，满足，且，则 .
【答案】
【解析】由题意，如图，
在等边三角形中，可令，，,
所以.
故答案为：.
例59．（2024·江苏南京·高一校考期末）如图在直角梯形中，已知，，，，，则 .
【答案】22
【解析】因为，
所以
，
因为，，，
所以，
因为直角梯形，
所以，故，
所以原等式
.
故答案为：22.
例60．（2024·全国·高一随堂练习）已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 .
【答案】8
【解析】如图，
因为，为的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为8.
故答案为：8第9章 平面向量 章末题型归纳总结
目录
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用
经典题型三：向量的数乘运算
经典题型四：向量的数量积运算
经典题型五：向量的模、向量的夹角
经典题型六：向量的投影、投影向量
经典题型七：平面向量的实际应用
经典题型八：平面向量范围与最值问题
模块三：数学思想方法
①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想
模块一：本章知识思维导图
模块二：典型例题
经典题型一：向量的线性运算
例1．（2024·山东青岛·高一校联考期末）在中，为线段上一点，且，点是的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·高一课时练习）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）
A．＋ B．＋
C． D．＋
例3．（2024·福建福州·高一校联考期末）平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ）
A． B．
C． D．
经典题型二：三点共线定理（鸡爪定理）的应用
例6．（2024·全国·高一假期作业）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．
例7．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为 BD上一点，且满足（为正实数），则的最小值为 .
例8．（2024·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
例9．（2024·辽宁大连·高一期末）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.
经典题型三：向量的数乘运算
例11．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期末）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·全国·高一假期作业）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
例13．（2024·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
例14．（2024·全国·高一随堂练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．2 B． C． D．3
例15．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）已知是的重心，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
例16．（2024·河北石家庄·高一校考期末）已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
经典题型四：向量的数量积运算
例17．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
例18．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）在中，满足，，，则（ ）
A． B．0 C．25 D．65
例19．（2024·全国·高一假期作业）在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
例20．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．12
例21．（2024·山西·高一校联考阶段练习）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
例22．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）设平面向量，，且，则=（ ）
A．1 B．14 C． D．
例23．（2024·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知为的外接圆圆心，且，则（ ）
A． B． C． D．2
经典题型五：向量的模、向量的夹角
例24．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考期末）如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
例25．（2024·全国·高一假期作业）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（ ）
A． B．3 C．9 D．13
例26．（2024·福建莆田·高一统考期末）在中，为上一点，且满足．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
例27．（2024·全国·高一专题练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
例28．（2024·广东揭阳·高一校联考期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·全国·高一假期作业）已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
例31．（2024·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·全国·高一假期作业）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
经典题型六：向量的投影、投影向量
例33．（2024·全国·高一随堂练习）已知，，则向量在上的投影向量的坐标为 ．
例34．（2024·天津和平·高一统考期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
例35．（2024·云南昆明·高一昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为 ．
例36．（2024·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ．
例37．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 .
例38．（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为 .
经典题型七：平面向量的实际应用
例39．（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 .
例40．（2024·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）
例41．（2024·全国·高一随堂练习）一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．
例42．（2024·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .
例43．（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为 .（）
经典题型八：平面向量范围与最值问题
例44．（2024·云南昆明·高一校考期末）已知AD是的中线，若，，则的最小值是 ．
例45．（2024·江西萍乡·高一统考期末）如图，在中，，，，动点在线段上移动，则的最小值为 ．
例46．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .
例47．（2024·福建漳州·高一校联考期末）已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为 .
例48．（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的范围是 .
例49．（2024·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期末）已知，在直角三角形中，，，则实数的值是 .
模块三：数学思想方法
① 分类讨论思想
例50．（2024·河北廊坊·高一统考期末）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
例51．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知平面向量满足，若对任意共面的单位向量，记的最大值为，则的最小值等于 ．
例52．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）平面上三个力作用于同一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小为 N．
例53．（2024·广东广州·高二校联考期末）设点是圆：上的动点，定点，，则的取值范围为 ．
②转化与化归思想
例54．（2024·河北·统考模拟预测）已知平面向量的夹角为，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值为 .
例55．（2024·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
例56．（2024·江西南昌·高三江西师大附中校考期末）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ．
例57．（2024·云南保山·高一统考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， .
③数形结合思想
例58．（2024·广东佛山·高二校考阶段练习）已知力，，满足，且，则 .
例59．（2024·江苏南京·高一校考期末）如图在直角梯形中，已知，，，，，则 .
例60．（2024·全国·高一随堂练习）已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 .
