(共29张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程
17.1
A
1
2
3
4
5
B
D
6
7
8
答 案 呈 现
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A
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B
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【2023 ·天津四十三中月考】 【母题·教材P21练习T1】下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
1
【点拨】
【答案】
A
判断一个方程是一元二次方程首先要保证是整式方程，其次是只含一个未知数且化简后未知数的最高次数是2.
2
已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0.
(1)当m为何值时，原方程是一元一次方程？
解：由题意得，当m＝0时，原方程为2x＋1＝0，
是一元一次方程；
当m＋2＝0，即m＝－2时，原方程为2x－1＝0，
是一元一次方程；
当m＝1时，原方程为5x－1＝0，是一元一次方程；
当m＝－1时，原方程为3x－1＝0，是一元一次方程．
综上，当m＝－2，－1，0，1时，原方程是一元一次方程．
解：由题意得，|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.
故当m＝2时，原方程是一元二次方程．
(2)当m为何值时，原方程是一元二次方程？
3
把一元二次方程 (1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a，b，c分别为( )
A．2，3，－1
B．2，－3，－1
C．2，－3，1
D．2，3，1
【点拨】
【答案】
B
把方程(1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式为
2x2－3x－1＝0，所以a＝2，b＝－3，c＝－1.
4
【2023·常州实验中学模拟】关于x的一元二次方程
(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( )
A．0
B．±3
C．3
D．－3
【点拨】
【答案】
D
若方程中不含一次项，则移项、合并同类项后一次项系数为0，本题易忽略m－3≠0而出错．
5
D
【2022·天津】方程x2＋4x＋3＝0的两个根为( )
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝－1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝－3
D．x1＝－1，x2＝－3
【点拨】
将各选项代入验证即可．
6
2 019
【2023 ·枣庄】 【新考法·整体求值法】若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 023－6a＋2b的值为________.
【点拨】
把x＝3代入方程得9a－3b＝6，即3a－b＝2，
则原式＝2 023－2(3a－b)＝2 023－4＝2 019.
7
【2022 ·泰安】 【新考法·传承数学文化】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少” 问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．” 其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？
设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A．3(x－1)x＝6 210
B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210
D．3x＝6 210
【点拨】
【答案】
A
∵这批椽的数量为x株，∴一株椽的价钱为3(x－1)文.依题意可列方程为3(x－1)x＝6 210.
8
【2023 ·重庆B卷】 【情境题·生活应用】为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程____________________.
301(1＋x)2＝500
9
【母题：教材P22习题T3】已知x＝1是一元二次方程
(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值为( )
A．－1或2
B．－1
C．2
D．0
【点拨】
【答案】
B
把x＝1代入(m－2)x2＋4x－m2＝0，得m－2＋4－m2＝0，即m2－m－2＝0.把m＝0，m＝－1，m＝2分别代入m2－m－2＝0，当m＝－1，m＝2时，m2－m－2＝0成立．又因为m－2≠0，所以m≠2，所以m＝－1.故选B.
10
解：设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
则3k＋4k＋5k＝12k＝36，解得k＝3.
故a＝9，b＝12，c＝15.
则方程为9x2＋12x＋15＝0.
设a，b，c分别是关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，且a∶b∶c＝3∶4∶5，a＋b＋c＝36，写出该一元二次方程．
11
6
【点拨】
12
(1)【2022·青海】 【新考法·建立方程模型法】如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的长方形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计)．设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为___________________．
(11－2x)(7－2x)＝21
解：将(11－2x)(7－2x)＝21整理得x2－9x＋14＝0.它的二次项系数为1，一次项为－9x，常数项为14.
(2)【母题：教材P22习题T2】将(1)中所列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项、常数项．
13
【新考法·材料阅读法】阅读下列材料：
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用材料中提供的“换根法”求方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程x2＋2x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为________________．
y2－2y－1＝0
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．(共28张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程的解法
17.2
1. 配方法
C
1
2
3
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5
D
C
6
7
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D
答 案 呈 现
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C
D
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10
B
11
12
B
1
C
【2023·南宁第二中学模拟】若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．以上都不对
D
2
将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( )
A．(a＋2)2－1
B．(a＋2)2－5
C．(a＋2)2＋4
D．(a＋2)2－9
3
D
【2023·新疆】【母题·教材P25练习T2】用配方法解
一元二次方程x2－6x＋8＝0配方后得到的方程是( ) A．(x＋6)2＝28
B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1
D．(x－3)2＝1
4
【2022·聊城】用配方法解一元二次方程
3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则
a＋b的值为( )
【点拨】
【答案】
B
5
【2023·武汉江夏区校级模拟】若关于x的一元二次方程x2－8x＋c＝0配方后得到方程(x－4)2＝3c，则c的值为( )
A．－4
B．0
C．4
D．6
【点拨】
【答案】
C
∵x2－8x＋c＝0配方可得到(x－4)2－16＋c＝0，
∴(x－4)2－16＋c＝0变形可得(x－4)2＝－c＋16.
∴－c＋16＝3c，解得c＝4.故选C.
6
C
【2023·运城模拟】配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，然后利用开方求一元二次方程的解的过程，这个过程体现的数学思想是( )
A．数形结合思想 B．函数思想
C．转化思想 D．公理化思想
7
【2023·衡水二模】某数学兴趣小组四人以接力的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【点拨】
【答案】
D
x2－2x－8＝0.
x2－2x＝8，x2－2x＋1＝8＋1，
(x－1)2＝9，∴x－1＝±3，解得x1＝4，x2＝－2.
由上可得，丁同学是错的．
故选D.
8
【2023·石家庄模拟】在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，图①中是嘉嘉做的，图②中是琪琪做的，对于两人的做法，下列说法正确的是( )
A．两人都正确
B．嘉嘉正确，琪琪不正确
C．嘉嘉不正确，琪琪正确
D．两人都不正确
【答案】
B
9
【点思路】
先把等号右边的各项都移到等号左边，利用配方法写成几个非负数的和为零的形式，然后建立方程求字母的值来判断三角形的形状．
10
先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题．
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.
∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4.
∴y2＋4y＋8的最小值是4.
(1)求代数式m2＋m＋4的最小值．
解：4－x2＋2x＝－(x－1)2＋5.
∵－(x－1)2≤0，∴－(x－1)2＋5≤5.
∴4－x2＋2x的最大值是5.
(2)求代数式4－x2＋2x的最大值．
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成，如图所示．设AB＝x m，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
解：由题意，得花园的面积是x(20－2x)＝(－2x2＋20x)(m2)．
∵－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，且－2(x－5)2≤0，
∴－2(x－5)2＋50≤50.
∴－2x2＋20x的最大值是50，
此时x＝5，20－2x＝10<15，符合题意．
∴当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50 m2.
11
根据上述材料，解答下列问题：
(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方；
解：答案不唯一，
如：x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x－8x＝(x－2)2－4x.
12
2
－2
【点拨】(共26张PPT)
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第十七章 一元二次方程
一元二次方程的解法
17.2
2. 公式法
D
1
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5
A
D
6
7
8
A
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9
10
11
1
A．3，－1，－2
B．－2，－1，3
C．－2，3，1
D．－2，3，－1
【点拨】
【答案】
D
方程的二次项系数为－2，一次项系数为3，常数项为－1，∴a＝－2，b＝3，c＝－1.
2
【点拨】
【答案】
A
3
A
4
一般形式
利用求根公式解一元二次方程的一般步骤：先将方程化为____________，确定a，b，c的值，同时注意它们的__________；再讨论b2－4ac的值是否为______________；最后利用__________求方程的解．
符号
非负数
求根公式
【点拨】
公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法．
5
【2022·东营】一元二次方程x2＋4x－8＝0的解是( )
【点拨】
【答案】
D
6
【母题：教材P27例2】用公式法解下列方程：
(1)【2022·无锡】x2－2x－5＝0；
(2)【2023·无锡】2x2＋x－2＝0；
(3)4y2－3＝(y＋2)2.
7
【点方法】
用公式法解一元二次方程的前提是一元二次方程是一般形式，不要忽略这一点．
8
【新考法·阅读类比法】阅读下面例题的解答过程．
解方程：3(x－2)2＋7(x－2)＋4＝0.
解：设x－2＝y，则原方程化为3y2＋7y＋4＝0.
∴a＝3，b＝7，c＝4，
∴b2－4ac＝72－4×3×4＝1＞0.
9
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出方程的根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
10
11
解：△ABC是等腰三角形．理由：
把x＝－1代入原方程，得2a＋c－4b＋2a－c＝0，
∴4a－4b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形．
【新考法·数形结合法】已知关于x的一元二次方程 (2a＋c)x2＋ 4bx ＋2a－c＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)如果△ABC是等边三角形，试用公式法求这个一元二次方程的根．(共34张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程的解法
17.2
3. 因式分解法
A
1
2
3
4
5
B
B
6
7
8
A
答 案 呈 现
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B
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12
C
D
B
D
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1
我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
【点拨】
【答案】
A
将一元二次方程3x2－6x＝0转化为一元一次方程3x＝0或x－2＝0，体现的是转化思想．
2
用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
【点拨】
【答案】
A
A.(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0；B.(x＋3)(x－1)＝1经过整理得x2＋2x－4＝0，方程左边不能进行因式分解；C.(x－2)(x－3)＝2×3经过整理得x2－5x＝0，即x(x－5)＝0，∴x＝0或x－5＝0；D.x(x＋2)＝0化为x＝0或x＋2＝0.故选A.
3
【2022·临沂】方程x2－2x－24＝0的根是( )
A．x1＝6，x2＝4
B．x1＝6，x2＝－4
C．x1＝－6，x2＝4
D．x1＝－6，x2＝－4
【点拨】
【答案】
B
因式分解得(x－6)(x＋4)＝0.∴x－6＝0或x＋4＝0，∴x1＝6，x2＝－4.
4
一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．8
B．10
C．12
D．8或10
【点拨】
【答案】
B
x2－6x＋8＝0，(x－2)(x－4)＝0，
解得x1＝2，x2＝4.
∵2＋2＝4，
∴等腰三角形的腰长只能为4，底边长为2，
则其周长为4＋4＋2＝10，故选B.
5
【2023·苏州期末】在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b＝a＋b2，则方程x※(x＋1)＝5的解是( )
A．x＝5
B．x＝1
C．x1＝1，x2＝－4
D．x1＝－1，x2＝4
【点拨】
【答案】
B
x※(x＋1)＝5，
即x＋(x＋1)2＝5，x2＋3x－4＝0，
(x－1)(x＋4)＝0，x－1＝0或x＋4＝0.
∴x1＝1，x2＝－4.
∵在正数范围内定义运算“※”，∴x＝1.故选B.
6
【2022·云南】方程2x2＋1＝3x的解为____________．
【点拨】
7
解：原方程可以变形为(x－1)(x－2)＝0，
即x－1＝0或x－2＝0，∴x1＝1，x2＝2.
【2023·齐齐哈尔】 【母题·教材P29例4】解方程：
x2－3x＋2＝0.
8
解方程2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( )
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
【点拨】
【答案】
D
选择解一元二次方程的方法的顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．如无特殊要求一般不用配方法．
9
【2023·徐州云龙区校级模拟】方程9(x＋1)2－
4(x－1)2＝0的正确解法是( )
A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1)
B．化成一般形式为13x2＋5＝0
C．因式分解得
[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0
D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
【点拨】
【答案】
C
根据方程的特点，用平方差公式求解．
10
已知等腰△ABC的边长是方程x2－7x＋10＝0的根，则△ABC的周长为( )
A．9
B．9或12
C．6或15
D．6或12或15
【点拨】
x2－7x＋10＝0， (x－5)(x－2)＝0，
x－5＝0或x－2＝0.所以x1＝5，x2＝2.
当等腰△ABC的边长分别为5，5，2时，△ABC的周长为5＋5＋2＝12；
当等腰△ABC的边长分别为5，5，5时，△ABC的周长为5＋5＋5＝15；
【答案】
D
当等腰△ABC的边长分别为2，2，2时，△ABC的周长为2＋2＋2＝6.
综上所述，△ABC的周长为6或12或15.
故选D.
11
【2022·贵阳】在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法．请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；
④x2－4＝0.
12
【2023·盐城滨海县期中】如果实数a，b同时满足
(a2＋b2＋3)(a2＋b2－3)＝16，那么a2＋b2的值为( )
A．±5
B．5
C．－5
D．以上都不对
【点拨】
【答案】
B
(a2＋b2＋3)(a2＋b2－3)＝16.
设a2＋b2＝x，则方程化为(x＋3)(x－3)＝16，
x2－25＝0，(x＋5)(x－5)＝0，x1＝5，x2＝－5.
当x＝5时，a2＋b2＝5；当x＝－5时，a2＋b2＝－5.
∵不论a，b为何值，a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝5，故选B.
13
【新考法·过程性学习】小敏与小霞两名同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下：
小敏： 两边同除以(x－3)，得3＝x－3， 则x＝6. 小霞：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.
则x－3＝0或3－x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝0.
×
×
解：正确的解答过程如下：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0.
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
则x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6.
你认为她们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
14
【新考法·类比阅读法】 【阅读材料】
解方程x4－x2－6＝0，
可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，
然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，
原方程化为y2－y－6＝0.①
解得y1＝－2，y2＝3.
当y＝－2时，x2＝－2，无实数根；
换元
【解决问题】
(1)在由方程x4－x2－6＝0得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想．
转化
解：令x2－x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，
即(y＋2)(y－6)＝0，解得y1＝－2，y2＝6.
当y＝－2时，x2－x＝－2，即x2－x＋2＝0，此方程无实数解；当y＝6时，x2－x＝6，即(x＋2)(x－3)＝0，
解得x1＝－2，x2＝3.所以原方程的解为x1＝－2，x2＝3.
【延伸拓展】
(2)利用上面的解题方法，①解方程 (x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.
解：(m－3n)(m－3n－2)＝2(m－3n)－4.
设m－3n＝t，则t(t－2)＝2t－4，
整理得t2－4t＋4＝(t－2)2＝0.
解得t1＝t2＝2.∴m－3n＝2.
∴4m－12n－3＝4(m－3n)－3＝4×2－3＝5.
②已知实数m，n满足(m－3n)(m－3n－2)＝2m－6n－4，求4m－12n－3的值.
【点易错】
利用换元法解方程时，注意首次得出的是换元后所得方程的解，还需进一步求出原方程的解．(共30张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程的解法
17.2
直接开平方法
1
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答 案 呈 现
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1
方程x2＝p能直接开平方的条件是__________，结果为x＝__________，即x1＝__________，x2＝________.
p≥0
【点拨】
直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：1.不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；2.只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是在方程 x2＝p中p≥0.
2
D
方程x2＝4的根为( )
A．x＝2
B．x＝－2
C．x＝0
D．x＝±2
3
方程3x2＋27＝0的根是( )
A．x1＝3，x2＝－3
B．x＝3
C．无实数根
D．以上均不正确
【点拨】
【答案】
C
∵3x2＋27＝0，∴x2＝－9＜0，
∴方程3x2＋27＝0无实数根．
4
【2023·泰州二中月考】若代数式3x2－6的值为21，则x的值为( )
【点拨】
【答案】
B
由题意知3x2－6＝21，移项、合并同类项得3x2＝27，即x2＝9，∴x＝±3.
5
【点拨】
【答案】
B
6
一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝4
B．x－6＝－4
C．x＋6＝0
D．x＋6＝－4
【点拨】
【答案】
D
方程两边开平方得x＋6＝±4，
∴x＋6＝4或x＋6＝－4，故选D.
7
D
【2023·天津西青区二模】方程(x＋6)2－9＝0的两个根是( )
A．x1＝3，x2＝9
B．x1＝－3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝－9
D．x1＝－3，x2＝－9
8
【2022·太原五中期末】如果关于x的方程(x－9)2＝
m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是( )
A．m＞3
B．m≥3
C．m＞－4
D．m≥－4
【点拨】
【答案】
D
∵方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，
∴m＋4≥0.∴m≥－4.
9
阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．
解方程：(x－1)2＝4.
解：∵(x－1)2＝4，①
∴x－1＝2，②
∴x＝3.③
②
上述过程中有没有错误？若有，错在步骤________(填序号)，原因是___________________________________，请写出正确的解答过程．
正数的平方根有两个，它们互为相反数
解： 正确的解答过程如下：
∵(x－1)2＝4，
∴x－1＝2或x－1＝－2，
∴x＝3或x＝－1.
【点易错】
直接开平方法利用的是平方根的意义，注意不要只取正的平方根而遗漏负的平方根.
10
解：开平方，
得2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－3x－2.
解得x1＝1，x2＝－1.
【母题：教材P23练习】用直接开平方法解方程．
(1)【2022·齐齐哈尔】(2x＋3)2＝(3x＋2)2；
解：由(x＋1)2－4＝0，得(x＋1)2＝4，
即x＋1＝±2.
解得x1＝1，x2＝－3.
(2)(x＋1)2－4＝0.
11
【2022·武汉江夏区校级期末】已知x＝3是一元二次方程x2－p＝0的一个根，求p的值和方程的另一根.
解：把x＝3代入x2－p＝0得9－p＝0，解得p＝9，
所以x2＝9，解得x1＝3，x2＝－3，
即方程的另一根为x＝－3.
12
解：两边开平方得x2＋y2－3＝±4，
即x2＋y2＝7或x2＋y2＝－1.
因为x2＋y2≥0，所以x2＋y2＝7.
(1)若(x2＋y2－3)2＝16，求x2＋y2的值；
解：设a2＋b2＝m(m≥0)，
则(m＋1)(m－1)＝63，m2－1＝63，m2＝64.
所以m＝8或m＝－8(舍去)，
所以a2＋b2＝8.
(2)如果(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝63，求a2＋b2的值．
13
14
【新考法·数形结合法】已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0的一个根，试求三角形的周长．
解：解方程(x－5)2－4＝0，得x＝3或x＝7.
根据三角形的三边关系可知，
三角形的三边长为3，6，7.
故三角形的周长为3＋6＋7＝16.
15
【新考法·新定义计算法】对任意实数a，b，规定一种新运算“△” ：a△b＝a2－b2.
(1)求4△3；
解：由题意，得4△3＝42－32＝7.
解：由题意，得(x＋2)△5＝(x＋2)2－52＝0，
即(x＋2)2＝25.
两边开平方，得x＋2＝±5，
解得x1＝3，x2＝－7.故x的值为3或－7.
(2)求(x＋2)△5＝0中x的值.(共28张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程根的判别式
17.3
C
1
2
3
4
5
A
C
6
7
8
C
答 案 呈 现
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A
A
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10
A
11
12
D
A
13
14
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一元二次方程x2＋5x＋2＝0的根的判别式的值是( )
1
C
2
C
【2023·常州实验中学模拟】已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为( )
【点拨】
3
A
【2023·滨州】 【母题·教材P35练习T1】一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
4
【2023·河南】关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【点拨】
【答案】
A
∵Δ＝m2－4×1×(－8)＝m2＋32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选A.
5
C
【2023·北京】若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
6
【2023·兰州】 【新考法·整体代入法】关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则
b2－2(1＋2c)＝( )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
【点拨】
【答案】
A
∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4c＝0.
∴b2－2(1＋2c)＝b2－4c－2＝0－2＝－2.故选A.
7
【2023·内江】对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝
b2－ab．例如：3 2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3) x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【点拨】
【答案】
A
∵(k－3) x＝k－1，
∴x2－(k－3)x＝k－1.
∴x2－(k－3)x－k＋1＝0.
∴Δ＝[－(k－3)]2－4×1×(－k＋1)＝(k－1)2＋4＞0.
∴关于x的方程(k－3) x＝k－1有两个不相等的实数根．
8
【2023·广安】已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【点拨】
【答案】
A
∵点P(a，c)在第四象限，
∴a＞0，c＜0，∴ac＜0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac＞0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
故选A.
9
【2023·聊城】若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的取值范围是( )
A．m≥1
B．m≤1
C．m≥－1且m≠0
D．m≤1且m≠0
【点拨】
【答案】
D
∵一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，
∴Δ＝22－4m≥0，且m≠0，
解得m≤1且m≠0.故选D.
10
【2023·荆州】已知关于x的一元二次方程kx2－
(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)当k＝1时，用配方法解方程．
11
【2023·杭州】设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有
两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；
④b＝2，c＝2.
12
解：T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)(2a－3b)＋a2
＝a2＋6ab＋9b2＋4a2－9b2＋a2
＝6a2＋6ab.
【2022·广州】已知T＝(a＋3b)2＋(2a＋3b)·(2a－3b)＋a2.
(1)化简T；
解：∵关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2a)2－4(－ab＋1)＝0.∴a2＋ab＝1.
∴T＝6a2＋6ab＝6(a2＋ab)＝6×1＝6.
(2)若关于x的方程x2＋2ax－ab＋1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
13
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
14
【2023·遂宁】 【新考法·新定义计算法】我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[ a，b ] × [ c，d 】 ＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算.
(1) [ －4，3 ] × [ 2，－6 ]的值为________；
10
【点拨】
[－4，3]×[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝10.
(2)已知关于x的方程[ x，2x－1 ] × [ mx＋1，m ] ＝0有两个实数根，求m的取值范围.(共31张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
*17.4
A
1
2
3
4
5
C
A
6
7
8
B
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A
9
10
C
11
12
D
13
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【2023·天津】 【母题·教材P39练习T4】若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则( )
1
A
2
B
【2022·益阳】若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【点拨】
由题可知两根之和为－1，故另一个根为0.
3
【2023·乐山】若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为( )
A．4
B．8
C．12
D．16
【点拨】
【答案】
C
∵一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝8.
又x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2.
∴m＝x1x2＝6×2＝12.故选C.
4
C
5
【2022·宜宾】已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为( )
A．0
B．－10
C．3
D．10
【点拨】
【答案】
A
∵m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，
∴mn＝－5.
∵m是x2＋2x－5＝0的一个根，∴m2＋2m－5＝0.
∴m2＋2m＝5.
∴m2＋mn＋2m＝m2＋2m＋mn＝5－5＝0.
6
【2022·呼和浩特】已知x1，x2是方程x2－x－2 022＝0的两个实数根，则代数式x13－2 022x1＋x22的值是( )
A．4 045
B．4 044
C．2 022
D．1
【点拨】
把x＝x1代入方程，得x12－x1－2022＝0，
即x12－2 022＝x1，
∵x1，x2是方程x2－x－2 022＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－2 022，则原式＝x1(x12－2 022)＋x22＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋4 044＝4 045.
【答案】
C
7
【点拨】
8
【2023·贵港模拟】已知关于x的一元二次方程
x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且
x12＋x22＝5，则k的值是( )
A．－2
B．2
C．－1
D．1
【点拨】
【答案】
D
∵关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝k，x1x2＝k－3.
∵x12＋x22＝5，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∴k2－2(k－3)＝5，
整理得k2－2k＋1＝0，解得k1＝k2＝1.
9
【2023·岳阳】已知关于x的一元二次方程
x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＋x1·x2＝2，则实数m＝________.
3
【点拨】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m)2－4×1×(m2－m＋2)>0.∴m>2.
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝－2m，x1·x2＝m2－m＋2.
∵x1＋x2＋x1·x2＝2，∴－2m＋m2－m＋2＝2.
解得m1＝0(不符合题意，舍去)，m2＝3. ∴m＝3.
10
2
【点拨】
11
【2023·仙桃】已知关于x的一元二次方程
x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)
＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1>0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)·(a＋2b)＝20，求m的值.
解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m.
∵(2a＋b)(a＋2b)
＝2a2＋4ab＋ab＋2b2
＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab
＝2(a＋b)2＋ab，
∴2(a＋b)2＋ab＝20，
即2(2m＋1)2＋m2＋m＝20 ，解得m1＝－2，m2＝1.
∴m的值为－2或1.
12
【新考法·整体代入法】已知关于x的一元二次方程
x2－2(1－m)x＋m2＝0.
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围；
13
解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，mn＝－1.
则 m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________；
(2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为m，n，求m2＋n2的值；
解：∵实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，
2t2＋3t－1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根．(共21张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程的应用
17.5
1. 百分率的应用
B
1
2
3
4
5
C
6
答 案 呈 现
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【2023·福建】根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元，2022年的地区生产总值为53 109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程( )
A．43 903.89(1＋x)＝53 109.85
B．43 903.89(1＋x)2＝53 109.85
C．43 903.89x2＝53 109.85
D．43 903.89(1＋x2)＝53 109.85
1
B
2
【2023·郴州】随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率．
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至 5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
解：设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．
由题意得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
3
C
【2022·哈尔滨】 【母题·教材P41例2】某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A．150(1－x2)＝96 B．150(1－x)＝96
C．150(1－x)2＝96 D．150(1－2x)＝96
4
解：设该商品每次降价的百分率为x.
根据题意，得60(1－x)2＝48.6，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)．
答：该商品每次降价的百分率是10%.
【2023·西安交大附中模拟】某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该商品每次降价的百分率；
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
5
【2022·毕节】2022年北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润＝销售价－进货价)
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价/(元/件) 30 25
销售价/(元/件) 45 37
(1)网店第一次用850元购进A，B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A，B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
解：设再次购进m件A款钥匙扣，
则再次购进(80－m)件B款钥匙扣.
根据题意，得30m＋25(80－m)≤2 200，解得m≤40.
设再次购进的A，B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝(45－30)m＋(37－25)(80－m)＝3m＋960.
∵3＞0，∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，
最大值为3×40＋960＝1080，
此时80－m＝80－40＝40.
答：当再次购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1 080元．
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
解：设B款钥匙扣的销售价定为a元，则每件的销售利润为(a－25)元，
平均每天可售出4＋2(37－a)＝(78－2a)件.
根据题意，得(a－25)(78－2a)＝90，
整理，得a2－64a＋1020＝0，
解得a1＝30，a2＝34.
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
6
某连锁超市以每支3元的价格购进某品牌牙膏，规定牙膏销售单价不低于进价又不高于5.5元．经市场调研发现，牙膏的日均销售量y(万支)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的关系.
(1)求牙膏的日均销售量y(万支)关于销售单价x(元)的函数表达式(写出x的取值范围).
(2)若该连锁超市想要获得9万元的日均销售利润，牙膏的销售单价应定为多少元？
解：设牙膏的销售单价应定为x元．
根据题意，得(x－3) (－3x＋21)＝9，
即x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.
∵3≤x≤5.5，∴x＝4.
答：牙膏的销售单价应定为4元．
(3)该超市日均销售利润能否达到13万元？请说明理由.
解：不能．理由：设牙膏的销售单价定为t元时，
该超市日均销售利润能达到13万元．
根据题意，得(t－3) (－3t＋21)＝13，
即3t2－30t＋76＝0.
∵Δ＝900－4×3×76＝－12<0，
∴该超市日均销售利润不可能达到13万元．
