高中数学4.3 向量与实数相乘 精品导学案 湘教版必修2
文档属性
| 名称 | 高中数学4.3 向量与实数相乘 精品导学案 湘教版必修2 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 10.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-09-17 13:43:36 | ||
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向量与实数相乘
学习目标 重点难点
1．能记住向量与实数乘法的运算律，能根据运算律进行向量的线性运算；2．能够利用向量的线性运算解决一些简单的平面几何问题；3．知道什么是单位向量；4．记住两向量共线的条件，能解决向量共线、点共线问题. 重点：向量的线性运算及其应用，向量共线的条件及应用；难点：向量线性运算的应用以及三点共线问题；疑点：向量共线的条件.
1．向量数乘的运算律
(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.
(2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则
λ(a＋b)＝λa＋λb.
预习交流1
下列两式：①(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；②λ(a－b)＝λa－λb成立吗？
提示：成立，可由向量数乘的运算律推得．
2．向量共线的条件
预习交流2
若向量a是一个非零向量，那么向量b与a共线的条件是什么？
提示：当b＝λa时，由数乘向量的几何意义知b与a共线，b与a共线，必存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
3．单位向量
长度为1的向量称为单位向量．我们知道，向量有两个要素：大小和方向．向量a的大小由|a|表示，而它的方向就由该方向上的单位向量a代表．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、向量的数乘运算
计算下列各式：
(1)4(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
思路分析：利用向量的线性运算律计算．
解：(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)
＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)
＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0·a＋0·b＝0＋0＝0.
计算：(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并．
二、向量共线条件的应用
已知向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等)；(2)当ke1＋e2与e1＋ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，从而求得k的值．
(1)证明：∵＝e1＋e2，
＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5(e1＋e2)＝5，
∴∥.又∵AB∩BD＝B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
由于e1与e2不共线，
只能有
则k＝±1.
已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解：∵d＝λa＋μb
＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
∴∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
1．若b＝λa(λ∈R)，则b与a共线．由此可以判断向量共线问题．若b与a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题．
2．用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a＝λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线．
三、向量线性运算的应用
如图所示，OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形．又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，.
思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示．
解：===(－)=(a－b)，
∴=+=b+a－b=a+b，
==.
∴=+=+=
=(+)=(a+b)=a+b.
=－=(a+b)－a－b=a－b.
1．已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为________．
答案：＋
解析：∵＝，
∴－＝－，2＝＋.
∴＝＋.
2．如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE＝3EB，设＝a，＝b，用a，b表示.
解：∵CE＝3EB，
∴＝.
又∵＝－，
∴＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.
在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用．
1．下列计算正确的数目是( )
①(－3)·2a＝－6a ②2(a＋b)－(2b－a)＝3a ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：①②正确，③错误，应有(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
2．化简为( )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b
答案：C
解析：原式＝a＋b＋a－a＋b＝a＋b.
3．下面向量a，b共线的有( )
①a＝2e1，b＝－2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(e1，e2不共线)
A．②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
答案：A
解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线；
②中b＝－2a，故a与b共线；
③中b＝a，故a与b共线；
④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，使e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，于是λ无解．故a与b不可能共线．
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( )
A．a＋b B．a＋b C．(a＋b) D．a＋b
答案：C
解析：＋＝＋＝＝2，所以＝(a＋b)，故选C．
5．已知向量a与b不共线，m＝a－b，n＝xa＋3b，若m与n共线，则x的值等于__________．
答案：－6
解析：依题意存在实数λ，使m＝λn，
即＝λ(xa＋3b)，
即于是λ＝－，x＝－6.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领
学习目标 重点难点
1．能记住向量与实数乘法的运算律，能根据运算律进行向量的线性运算；2．能够利用向量的线性运算解决一些简单的平面几何问题；3．知道什么是单位向量；4．记住两向量共线的条件，能解决向量共线、点共线问题. 重点：向量的线性运算及其应用，向量共线的条件及应用；难点：向量线性运算的应用以及三点共线问题；疑点：向量共线的条件.
1．向量数乘的运算律
(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.
(2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则
λ(a＋b)＝λa＋λb.
预习交流1
下列两式：①(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；②λ(a－b)＝λa－λb成立吗？
提示：成立，可由向量数乘的运算律推得．
2．向量共线的条件
预习交流2
若向量a是一个非零向量，那么向量b与a共线的条件是什么？
提示：当b＝λa时，由数乘向量的几何意义知b与a共线，b与a共线，必存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
3．单位向量
长度为1的向量称为单位向量．我们知道，向量有两个要素：大小和方向．向量a的大小由|a|表示，而它的方向就由该方向上的单位向量a代表．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点 我的学疑点
一、向量的数乘运算
计算下列各式：
(1)4(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
思路分析：利用向量的线性运算律计算．
解：(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)
＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)
＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0·a＋0·b＝0＋0＝0.
计算：(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并．
二、向量共线条件的应用
已知向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等)；(2)当ke1＋e2与e1＋ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，从而求得k的值．
(1)证明：∵＝e1＋e2，
＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5(e1＋e2)＝5，
∴∥.又∵AB∩BD＝B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
由于e1与e2不共线，
只能有
则k＝±1.
已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
解：∵d＝λa＋μb
＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
∴∴λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
1．若b＝λa(λ∈R)，则b与a共线．由此可以判断向量共线问题．若b与a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题．
2．用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a＝λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线．
三、向量线性运算的应用
如图所示，OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形．又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，.
思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示．
解：===(－)=(a－b)，
∴=+=b+a－b=a+b，
==.
∴=+=+=
=(+)=(a+b)=a+b.
=－=(a+b)－a－b=a－b.
1．已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为________．
答案：＋
解析：∵＝，
∴－＝－，2＝＋.
∴＝＋.
2．如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE＝3EB，设＝a，＝b，用a，b表示.
解：∵CE＝3EB，
∴＝.
又∵＝－，
∴＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.
在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用．
1．下列计算正确的数目是( )
①(－3)·2a＝－6a ②2(a＋b)－(2b－a)＝3a ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
解析：①②正确，③错误，应有(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
2．化简为( )
A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b
答案：C
解析：原式＝a＋b＋a－a＋b＝a＋b.
3．下面向量a，b共线的有( )
①a＝2e1，b＝－2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(e1，e2不共线)
A．②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
答案：A
解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线；
②中b＝－2a，故a与b共线；
③中b＝a，故a与b共线；
④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，使e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，于是λ无解．故a与b不可能共线．
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( )
A．a＋b B．a＋b C．(a＋b) D．a＋b
答案：C
解析：＋＝＋＝＝2，所以＝(a＋b)，故选C．
5．已知向量a与b不共线，m＝a－b，n＝xa＋3b，若m与n共线，则x的值等于__________．
答案：－6
解析：依题意存在实数λ，使m＝λn，
即＝λ(xa＋3b)，
即于是λ＝－，x＝－6.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领