高中数学《任意角的三角函数》学案 湘教版必修2

任意角的三角函数
☆复习目标：1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算;
2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,会用三角函数线表示三角函数值．
基础热身：
1. 若且是，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2. “”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 是第二象限角，P（x,）为其终边上一点，且cos=,则sin的值是 （ ）
A. B. C. D.-
4. 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2或4
知识梳理：
1.角的分类
①按角的旋转方向，角分为　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　．
②按终边所在位置分：
1.当角的顶点和　重合,角的始边与　重合,则角的终边在第几象限,就叫做第几象限角；
若终边落在　　　　　则叫做轴上角．
2.第一象限角的集合为　 　 　　；第三象限角的集合为　　 　　　　；
3.轴正半轴上角可表示为　　　 　　　　；　
轴负半轴上角可表示为　 　　　　； 轴上角可表示为　　 　　　　　.
　　轴正半轴上角可表示为　　　 　　　　；　
轴负半轴上角可表示为　　 　　　； 轴上角可表示为　　 　　　.
4.与角终边相同的角的集合: 　　 　　　　　.
2.弧度制: 一弧度角的定义: ；
1.角度制和弧度制的互化:　．
2.扇形半径为Ｒ,圆心角弧度数是,则这个扇形的弧长＝ 　,面积Ｓ＝　　＝　 ．
３.任意角三角函数
　1.定义：设是一个任意角，角的终边上任意一点，它与原点的距离为r (r>0)，
那么角的正弦、余弦、正切分别是：
　　　 它们都是以角为　　 ，以比值为　　　　的函数．
　2.三角函数线：
用单位圆中的有向线段表示三角函数.
　　 设角的顶点在原点，如图终边与单位圆
相交于点Ｐ，过Ｐ作ＰＭ垂直轴于Ｍ，
则
　 　
☆ 案例分析：
例1. 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.
例2. 若，则的取值范围是 ( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
例3. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
(1)sin≥; (2)cos≤.
例4. 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.
例5. 求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.
参考答案:
基础热身：
1. C
2. A 当时，，
反之，当时，有，
或，故应选A.
3. A 4. C
例1. 解 ∵是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈Z），∴是第一或第三象限的角.
（3）∵k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z），∴是第一或第二或第四象限的角.
例2. 【解】：∵ ∴ ，即
又∵ ∴，∴ ，即 故选C；
例3. 解 （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角
的终边的范围，故满足条件的角的集合为
|2k+≤≤2k+，k∈Z .
（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为.
例4. 解 ∵角的终边在直线3x+4y=0上，
∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 2分
则x=4t,y=-3t,
r=, 4分
当t＞0时，r=5t,sin=,cos=,tan=; 8分
当t＜0时，r=-5t,sin=,cos=,tan=. 10分
综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=;
t＜0时，sin=,cos=-,tan=.
例5. 解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).
∴x∈（k∈Z）.
（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-＜sinx＜.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),
∴x（k-,k+）（kZ).