(共31张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程的应用
测素质
课题
集训课堂
D
1
2
3
4
5
C
A
6
7
8
D
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
C
D
9
10
B
11
12
C
13
14
15
16
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
1
D
一、选择题(每题4分，共32分)
D
2
【2022·乐山】关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为( )
3
【点拨】
【答案】
C
4
B
若一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－1
B．3
C．3或－1
D．－3或1
【点拨】本题易忽略Δ＞0而错选C.
5
A
【2023·合肥卓越中学模拟】2020年—2022年合肥居民人均可支配收入由4.8万元增长至5.3万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是( )
A．4.8(1＋x)2＝5.3
B．4.8(1＋x2)＝5.3
C．4.8(1＋2x)＝5.3
D．4.8x2＝5.3
6
如图，有一面积为240 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长23 m)，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为44 m，设鸡场垂直于墙的边长为x m，
则下列方程正确的是( )
【点拨】
【答案】
C
由鸡场垂直于墙的边长为x m，得鸡场平行于墙的边长为(44－2x)m，根据面积的等量关系，
得x(44－2x)＝240.
7
【社会热点】为响应国家“双减”政策，丰富学生的课余生活．“青青草原”社团打算规划一块面积为300 m2的长方形土地，使它的长与宽的比为3：2，则宽约为多少米？( )
A．12 m～13 m之间 B．13 m～14 m之间C．15 m～16 m之间 D．14 m～15 m之间
【点拨】
【答案】
D
8
甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3h，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180 km”．乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80 km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为( )
A．1.2 h B．1.6 h
C．1.8 h D．2 h
【点拨】
【答案】
C
9
2
【2023·黄冈启黄中学模拟】已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，则x12＋4x1x2＋x22的值是________.
二、填空题(每题5分，共20分)
【点拨】
由题意可知x1＋x2＝4，x1x2＝－7，
∴x12＋4x1x2＋x22＝(x1＋x2)2＋2x1x2＝42＋2×(－7)＝2.
10
【点拨】
11
【新情境·体育赛事】 2023年世界乒乓球锦标赛落幕，中国队包揽5个项目的冠军．为了弘扬“乒乓精神”，某校举行了一场乒乓球友谊赛(单循环比赛)，本次比赛中(每两个队比赛一场)一共进行了10场，一共有________个队参加比赛.
5
【点拨】
12
2
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动．如果点P的速度是1 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，P，Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t s，
当t＝________时，PQ平分△ABC的面积.
【点拨】
根据题意，AP＝t cm，CQ＝2t cm，∵BC＝6 cm，AC＝8 cm，∴PC＝(8－t)cm，点Q到点B所需时间为 6÷2＝3(s)，点P到点C所需时间为8÷1＝8(s)．∵P，Q 两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另 一点停止运动，∴013
(10分)一元二次方程x2＋kx－15＝0的一个根是－3，求另一个根及k的值.
解：设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－3·x2＝－15，－3＋x2＝－k.
∴x2＝5，k＝－2.
故另一个根是5，k的值是－2.
三、解答题(共48分)
14
(12分)【2022·随州】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2＝5，求k的值．
15
(12分)“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷，某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1 800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台．已知每台学习机的进价为1 000元．如果该品牌学习机商店每天要获利
4 200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
16
(14分) 【2023·宁波期末】 【新情境·体育赛事】 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
(2)从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8 400元？
解：设该款吉祥物降价y元．
根据题意，得(58－35－y)(400＋20y)＝8 400，
解得y1＝8，y2＝－5(舍去)．∴58－8＝50(元)．
答：当该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8 400元．(共42张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程及其解法
测素质
课题
集训课堂
D
B
1
2
3
4
5
A
A
6
7
8
10
B
A
D
11
12
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
D
C
C
13
14
15
16
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
17
18
19
20
一、选择题(每题3分，共30分)
1
D
用公式法解方程x2＋3x＝1时，需先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为( )
A．1，3，1
B．1，3，－1
C．1，－3，1
D．－1，3，1
2
B
【2023·合肥寿春中学期末】如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个解是x＝－1，则代数式a－b的值为( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
3
【点拨】
【答案】
A
将x＝－1代入一元二次方程 ，可得a－b＋1＝0，由此可得答案．
4
【2023·西安交大附中模拟】一元二次方程
x2－8x－2＝0，配方后可变形为( )
A．(x－4)2＝18
B．(x－4)2＝14
C．(x－8)2＝64
D．(x－4)2＝1
【点拨】
【答案】
A
方程移项得x2－8x＝2，配方得x2－8x＋16＝2＋16，即(x－4)2＝18.
【2022·郴州】一元二次方程2x2＋x－1＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5
【点拨】
【答案】
A
b2－4ac＝12－4×2×(－1)＝9>0，故方程有两个不相等的实数根．
【2023·苏州高新区模拟】在平面直角坐标系中，若直线y＝－x＋m不经过第一象限，则关于x的方程
mx2＋x＋1＝0的实数根有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．1个或2个
6
【点拨】
∵直线y＝－x＋m不经过第一象限，∴m≤0.
当m＝0时，方程mx2＋x＋1＝0是一元一次方程，有一个实数根．
当m＜0时，关于x的方程mx2＋x＋1＝0是一元二次方程，∴Δ＝12－4m＞0，∴关于x的方程mx2＋x＋1＝0有两个不相等的实数根．
综上，关于x的方程mx2＋x＋1＝0有1个或2个实数根．
【答案】
D
【点易错】
当题中未指明方程的类型时，需要分一次和二次两种情况．本题中不要忽视m＝0的情况．
【新背景·新兴产业】据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万辆增加到54.6万辆．设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为x，则列方程为( )
A．33.2(1＋2x)＝54.6
B．33.2×2 (1＋x) ＝54.6
C．33.2[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝54.6
D．33.2(1＋x)2＝54.6
7
D
8
方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底边和腰的长，则这个三角形的周长是( )
A．12
B．15
C．12或15
D．18或9
【点拨】
【答案】
B
∵x2－9x＋18＝0，
∴(x－3)(x－6)＝0，解得x1＝6，x2＝3.
当底边长为6，腰长为3时，由于3＋3＝6，不符合三角形三边关系，
故等腰三角形的腰长为6，底边长为3.
所以周长为6＋6＋3＝15.
若实数k，b是一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx＋b的图象不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9
【点拨】
【答案】
C
解方程得x1＝1，x2＝－3.∵k＜b，∴k＝－3，b＝1.
y＝－3x＋1的图象不经过第三象限．
10
【点拨】
【答案】
C
－1
若关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的一个根是3，则a＝__________．
二、填空题(每题4分，共20分)
【点拨】
将x＝3代入方程，得32＋3a－6＝0，解得 a＝－1.
11
若关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________.
2
12
【点拨】
因为关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，所以|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.
【点易错】
本题易忽略二次项系数不为零而得m＝±2.
【2022·长春】若关于x的方程x2＋x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为________．
【点拨】
13
已知m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一个根，则代数式m2＋m的值等于________.
6
【点拨】
∵m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一个根，∴m2＋m－6＝0，∴m2＋m＝6.
14
【2023·苏州高新区实验初级中学月考】定义[x]表示不超过实数x的最大整数， 如[1.4]＝1，[－1.2]＝－2，[－3]＝－3，则方程2[x]＝x2的解为______________________.
15
【点拨】
(6分)将方程(x－1)(2x－3)＝x(3x－1)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
三、解答题(共50分)
解：一般形式为x2＋4x－3＝0，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，－3.
16
(16分) 用适当的方法解下列方程：
(1) x(x－7)＝8(7－x)；
解：x(x－7)＋8(x－7)＝0，
(x－7)(x＋8)＝0，
∴x1＝7，x2＝－8.
17
(2)4x－x2＋2＝0；
(3)4x2＋3x－2＝0；
(4)(3x＋2)2－4x2＝0.
(8分) 已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－3)x＋k2－ 9＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
解：由题可知Δ＝b2－4ac＝
[2(k－3)]2－4(k2－9)＝－24k＋72>0，
∴k<3.
18
(2)0可能是方程的一个根吗？若可能，请求出它的另一个根；若不可能，请说明理由．
解：0可能是方程的一个根．
当x＝0时，k2－9＝0，
解得k1＝3(不合题意，舍去)，k2＝－3，
故x2－12x＝0，解得x1＝12，x2＝0，
∴它的另一个根为12.
(10分) 【2023·合肥卓越中学月考】已知关于x的一元二次方程mx2－(2m－3)x－5＝0(m≠0).
(1)求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；
19
证明：mx2－(2m－3)x－5＝0(m≠0)中，
a＝m，b＝－(2m－3)，c＝－5，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(2m－3)]2－4m·(－5)＝
4(m＋1)2＋5≥5.
∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根．
(2)若m＝－2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，求等腰三角形的周长．
(10分) 【2022·郴州】 【2022·郴州】设是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a＝4时， 表示的两位数是45.
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1 225＝_______________；
……
3×4×100＋25
20
解： ＝100a(a＋1)＋25，理由如下：
＝(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25；
(2)归纳： 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
解：由题知， －100a＝2 525，
即100a2＋100a＋25－100a＝2 525，
解得a＝5或a＝－5(舍去)，∴a的值为5.
(3)运用：若与100a的差为2 525，求a的值．(共28张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
2.一元二次方程解实际问题的九种常见应用
练素养
课题
集训课堂
1
2
3
4
5
6
7
8
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
1
为学习宣传贯彻党的“二十大”精神，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，2023年1月份该基地接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到12.1万人.
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
根据题意，得10(1＋x)2＝12.1，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%.
(2)按照这个增长率，预计4月份的参观人员有多少万人？
解：12.1×(1＋10%)＝13.31(万人)．
答：预计4月份的参观人员有13.31万人．
2
王红梅同学将1 000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元．
求第一次存款时的年利率(不计利息税).
解：设第一次存款时的年利率为x.
根据题意，得[1 000(1＋x)－500](1＋0.9x)＝530.
整理，得90x2＋145x－3＝0.
解得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63(舍去)．
答：第一次存款时的年利率约是2.04%.
3
【2023 · 湖州南浔区期末】 【新背景· 经济产业】据调查，2021年“五一”假期南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首．古镇附近某宾馆有50间房供游客居住．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.
(1)求2021年“五一”假期到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9 450元？
4
在某月月历表上可以用一个方框圈出四个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65 ，求这个最小数．
解：设这个最小数为x，则最大数为x＋8，
根据题意，得x(x＋8)＝65，整理，得x2＋8x－65＝0，
解得x1＝5，x2＝－13(不合题意，舍去)．
答：这个最小数为5.
【点规律】
月历表中上下相邻两数相差7，左右相邻两数相差1；任意方框所圈四个数，最大数与最小数相差8.
5
【新趋势· 学科综合】读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，
则十位数字为x－3.
根据题意，得x2＝10(x－3)＋x.
即x2－11x＋30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜去世时的年龄为25岁，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意．
答：周瑜去世时的年龄为36岁．
6
【新视角· 项目探究题】某班共有48名同学，若每两名同学之间都通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．
用点A1、A2、A3、…、A48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学、…、第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用模型表示(如图)：
10
(1)上面第四个图中y的值为______，第五个图中y的值为________．
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为____________，当x＝48时，对应的y＝________．
15
1 128
(3)若九年级(1)班全体女生相互之间共通话190次，则该班共有多少名女生？
7
为丰富学生的学习生活，某校八年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如图所示：
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用 2 800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
解：∵25人的费用为2 500元＜2 800元，
∴参加这次春游活动的人数超过25人，
设该班参加这次春游活动的人数为x人，
根据题意，得[100－2(x－25)]x＝2 800，
整理，得x2－75x＋1 400＝0，解得x1＝40，x2＝35，
当x＝40时，100－2(x－25)＝70＜75，不合题意，舍去；
当x＝35时，100－2(x－25)＝80＞75，
答：该班共有35人参加这次春游活动．
8
【2023·白城模拟】 【新背景·惠民政策】今年某县在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善，某小区规划在长16 m，宽9 m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与AB和AD平行，其余部分种草．如果使草坪的总面积为112 m2，设小路宽为x m．
如图所示，施工人员设计了两种方案，请你通过计算帮助选择一种数据准确且更容易测量和实施的方案．
方案二：由题意得16x＋2×9x－2x2＝16×9－112，
整理得x2－17x＋16＝0，解得x＝1或x＝16(舍去)，
∴方案二的小路宽为1 m，
∴为了数据准确且更容易测量和实施，应该选择方案二．
9
【2023·六安汇文中学期末】 【新考法·图象信息法】某公司销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出
200双；经过一段时间发现，平均每天售出的运动鞋数量y(双)与降低价格x(元)之间存在如图所示的函数关系.
(1)求y与x的函数关系式．
(2)该公司希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？
解：由题意得(100－x－60)(10x＋200)＝8 910，
整理得x2－20x＋91＝0，
解得x1＝7，x2＝13.
∵优惠力度最大，∴取x＝13.
此时100－x＝87.
答：每双运动鞋的售价应该定为87元．
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，该公司每天能否获得9 000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由.
解：公司每天能获得9 000元的利润．
∵每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，
∴100－x－60≥60×50%，解得x≤10.
根据题意，得(100－x－60)(10x＋200)＝9 000，
整理得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10.
故定价为100－10＝90(元)．(共26张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
一元二次方程的八种解法
练素养
课题
集训课堂
C
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
B
9
10
11
12
13
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
1
C
用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋7＝0
D．(x＋1)2＝0
2
3
解：x2－4x＋4＝5＋4，
(x－2)2 ＝9， x－2 ＝±3，
∴x1＝5，x2＝－1.
【2023·安徽模拟】解方程：x2－4x＝5.
4
5
解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0；
解：x2－2x＝0，x(x－2)＝0，
∴x＝0或x－2＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
(2)x2－x－2＝0；
(3) 2x2－5x＋2＝0.
解：分解因式，得(x－2)(x＋1)＝0，
可得x－2＝0或x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－1.
6
一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( )
【点拨】
【答案】
B
7
【点拨】
8
用公式法解下列方程：
(1)3(x2＋1)－7x＝0；
(2)4x2－3x－5＝x－2.
9
解：原方程即为[(x－1)(x－4)]·[(x－2)(x－3)]＝48，即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，
解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
【点发放】
运用换元法解方程时，先要找出相同的整体进行换元，使方程变得更简易．
10
【点方法】
11
解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
12
【点方法】
本题利用倒数换元法将所求方程转化为一元二次方程，解方程求出根后要检验．
13
解方程：(x－2 022)(x－2 023)＝2 024×2 025.
【点方法】
解本题也可采用换元法．设x－2 023＝t，则
x－2 022＝t＋1，原方程可化为t(t＋1)＝2 024×2 025，先求出t，进而求出x.(共31张PPT)
沪科版 八年级下
第十七章 一元二次方程
全章热门考点整合应用
1
2
3
4
5
D
6
7
8
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
10
B
11
12
解：当m2＋1＝2且m－1≠0时，
方程(m－1)xm ＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．
由m2＋1＝2，得m2＝1，所以m＝±1.
由m－1≠0，得m≠1，所以m＝－1.
所以当m＝－1时，
方程(m－1)xm ＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．
1
当m取何值时，方程(m－1)xm ＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程？
【点方法】
要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑．
. . . .
2
1
【2022·连云港】若关于x的一元二次方程
mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个解是x＝1，则m＋n的值是________．
【点拨】
将x＝1代入方程，得m＋n－1＝0，故m＋n＝1.
3
解：(10＋x)(50－x)＝800，
x2－40x＋300＝ 0，
(x－10)(x－30)＝ 0，
∴x1＝10，x2＝30.
解下列方程：
(1)(10＋x)(50－x)＝800；
(2)x2－6x－6＝0；
4
【2022·梧州】一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【点拨】
【答案】
B
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
5
【2022·营口】关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为( )
A．m＜4
B．m＞－4
C．m≤4
D．m≥－4
【点拨】
【答案】
D
根据题意可知b2－4ac＝42－4×1×(－m)＝16＋4m≥0，∴m≥－4.故选D.
6
已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)若a为正整数，求a的值；
解：∵关于x的一元二次方程
x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2) ＞0，解得a＜3，
∵a为正整数，∴a＝1或2.
(2)若x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝16，求a的值.
解：∵x12＋x22－x1x2＝16，
∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16，
∵x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2，
∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，
解得a1＝－1，a2＝6，
∵a＜3，∴a＝－1.
7
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1－x2＝3，求k的值.
8
【2023·淮北八年级期末】公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从
3月份到5月份销售量的月增长率均为r(r>0).
(1)求月增长率r.
解：由题意得256(1＋r)2＝400，
解得r＝0.25＝25%或r＝－2.25(不符合题意，舍去)．
答：月增长率r为25%.
(2)经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
解：设该品牌头盔的实际售价应定为y(y≥40)元/个，
则月销售量为600－10(y－40)＝1 000－10y(个)．
由题意得(y－30)(1 000－10y)＝10 000，
解得y＝50或y＝80.
∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝50.
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
9
阅读下面材料.
我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：
x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8
＝(x＋3)2－1
＝(x＋3＋1)(x＋3－1)
＝(x＋4)(x＋2).
(1)请仿照上述过程填空：
x2＋4x－5＝[x＋(______)][x＋(______)]；
x2－5x＋6＝[x＋(______)][x＋(______)]；
x2－8x－9＝[x＋(______)][x＋(______)].
－1
5
－2
－3
1
－9
(2)请观察(1)中横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？
解：所填的两个数的和等于一次项系数，
积等于常数项．
10
已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式
2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值.
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，
∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2.
∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1＝2(2a2＋a)＋1＝2×2＋1＝5.
【点拨】
将x＝a代入2x2＋x－2＝0中，再对等式变形，利用整体代入法求代数式的值．
11
解方程：(2x＋1)2－3(2x＋1)＝－2.
【点方法】
利用转化思想将复杂的一元二次方程转化为简单的 一元二次方程来求解．
12
已知关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求a的取值范围；
解：由题意得Δ＝4(a－1)2－4(a2－7a－4)＝
20a＋20≥0，
∴a≥－1.
(2)若x12＝x1x2，求方程的两个根及a的值.
【点方法】
本题运用分类讨论思想，解题的关键是利用根与系数的关系以及根的判别式建立方程或不等式．
