(共36张PPT)
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
勾股定理
18.1.1
认识勾股定理
A
1
2
3
4
5
C
6
7
8
A
答 案 呈 现
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C
9
10
A
11
12
D
D
1
在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列式子成立的是( )
A．a2＋b2＝c2
B．a2＋c2＝b2
C．a2－b2＝c2
D．a＋b＝c
【点拨】
【答案】
A
∵∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∴a2＋b2＝c2.故选A.
2
【母题：教材P57习题T2】如图，在△ABC中，
∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝3，BC＝4，则CD的长为( )
A．2.4
B．2.5
C．4.8
D．5
【点拨】
【答案】
A
3
5
【2023 · 随州】 【新考法 · 设元法】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝________.
【点拨】
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分线，
CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝ED.
设CD＝DE＝x，则AD＝AC－CD＝8－x.
在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，
∴42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴AD＝8－x＝5.
4
如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 A，C，D 的面积依次为 4，6，18，则正方形B的面积为( )
A．8
B．9
C．10
D．12
【点拨】
【答案】
A
如图：
由题意得S正方形A＋S正方形B＝S正方形E，S正方形D－S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A＋S正方形B＝S正方形D－S正方形C.
∵正方形A，C，D的面积依次为4，6，18，∴S正方形B＋4＝18－6，即S正方形B＝8.
5
如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48
B．60
C．76
D．80
【点拨】
【答案】
C
6
【2023·日照】已知直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则( )
A．S1>S2 B．S1C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定
【点拨】
【答案】
C
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，
∴该直角三角形的斜边为c.∴c2＝a2＋b2.
∴c2－a2－b2＝0.
∴S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc.
∵S2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，∴S1＝S2.
故选C.
7
96
【2023 · 扬州】 【新考向 · 传承数学文化】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，
c＝20，则每个直角三角形的面积
为________.
【点拨】
8
△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为( )
A．66
B．126
C．55或44
D．126或66
【点拨】
【答案】
D
9
【点拨】
由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，AD＝CD.∴∠DAC＝∠C.
∵BD＝CD，∴BD＝AD.
∴∠B＝∠BAD.
∵∠B＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴2∠BAD＋2∠DAC＝180°.
【答案】
D
10
【新考向·建立模型法】如图，在△ABC中，AB＝30，BC＝28，AC＝26，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：过点A作AD⊥BC于点D.
设BD＝x，则CD＝28－x.
在Rt△ABD中，AB＝30，BD＝x，
由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝302－x2，
在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28－x，
由勾股定理得AD2＝AC2－CD2＝262－(28－x)2，
所以302－x2＝262－(28－x)2，解得x＝18.
11
【新趋势·文化传承】 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记……翻译成的现代文如下：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺)，此时踏板升高离地五尺
(BD＝5尺)，求秋千绳索OB的长度．
解：设OA＝OB＝x尺．∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，
∴OE＝OA－AE＝(x－4)尺．
在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺．
根据勾股定理，得x2＝(x－4)2＋102，
解得x＝14.5.
答：秋千绳索OB的长度为14.5尺．
12
【新考法·猜想验证法】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若∠C＝90°，如图①，根据勾股定理，有a2＋b2＝c2；若△ABC不是直角三角形，而是图②③所示的锐角三角形和钝角三角形．
(1)请你类比勾股定理，猜想a2＋b2与c2的关系：图②中，a2＋b2________c2；图③中，a2＋b2________c2.(填 “＞”“＜” 或“＝”)
＞
＜
(2)说明你在(1)中猜想结论的正确性．
解：如图①，作BC边上的高AD，
则∠ADC＝∠ADB＝90°. 设CD＝m.
在Rt△ACD和Rt△ABD中，
有b2－m2＝AD2＝c2－(a－m)2，
整理得a2＋b2－c2＝2am.
∵2am＞0，∴a2＋b2＞c2.
如图②，作AC边上的高BD，则∠D＝90°.设CD＝n.
在Rt△ABD和Rt△BDC中，有c2－(b＋n)2＝BD2＝a2－n2，
整理得a2＋b2－c2＝－2bn.
∵2bn＞0，∴－2bn＜0，
∴a2＋b2＜c2.
(3)图②中，若AB的长为140 m，AC的长为130 m，BC的长为150 m，请你求出△ABC的面积．(共30张PPT)
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
勾股定理
18.1.2
勾股定理在实际中的应用
D
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
10
C
1
设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A．x2－3＝(10－x)2
B．x2－32＝(10－x)2
C．x2＋3＝(10－x)2
D．x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
【答案】
D
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺．
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2
【2023·岳阳】 【新考向·传承数学文化】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是( )
【点拨】
【答案】
C
3
两艘海警船在某岛进行巡航．一艘以12 n mile/h的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以
16 n mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航行，经过1.5 h后两船相距( )
A．25 n mile
B．30 n mile
C．32 n mile
D．40 n mile
【点拨】
【答案】
B
4
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( ) A．0.7 m
B．1.5 m
C．2.2 m
D．2.4 m
【点拨】
【答案】
C
5
【新考法·展开平移法】如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬( )
A．13 cm B．40 cm
C．130 cm D．169 cm
【点拨】
【答案】
C
将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50 cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB＝130 cm.所以壁虎至少需爬130 cm.
6
20
如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从杯外壁点A处到杯内壁点B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计).
【点拨】
本题考查最短路径问题．沿圆柱过点A的高将圆柱的侧面展开，得到长方形EFGH，过点B作BQ⊥EF于点Q，作点A关于EH的对称点A′，
连接A′B交EH于点P，连接AP，如图所示，则AP＋PB就是蚂蚁爬行的最短距离，即A′B的长度．
7
2a＋3
【2022·金华】如图①，将长为2a＋3，宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图②)，得到两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图②中小正方形的边长为________.
【点拨】
(2)当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
解：小正方形的面积＝(a＋3)2.
当a＝3时，小正方形的面积＝(3＋3)2＝36.
8
【情境题· 生活应用】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°.
(1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？
解：∵△CEO≌△ODB，∴CE＝OD，OE＝BD.
∵BD，CE分别为1.8 m和2.4 m，
∴DE＝OD－OE＝CE－BD＝2.4－1.8＝0.6(m)．
由题意知，点B距地面的高度是1.2 m，
∴点D距地面的高度也是1.2 m.
∴点E距地面的高度是1.2＋0.6＝1.8(m)．
∴点C距地面的高度是1.8 m.
答：爸爸是在距离地面1.8 m的地方接住小丽的．
(3)秋千的起始位置A处距地面的高度是________m.
0.6
【点拨】
9
求：
(1)A，D两点之间的距离为________．
【点拨】
(2)隧道AB的长度．
10
【新考法· 对称转换法】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400 m，BD＝200 m，CD＝800 m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少？
解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，连接AM，则AM＝A′M，
所以在点M处饮水能使所走的总路程最短，最短路程为A′B的长．
过点A′作A′H⊥BD，
交BD的延长线于点H.(共34张PPT)
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
勾股定理
18.1.3
勾股定理在数学中的应用
B
1
2
3
4
5
D
6
7
8
答 案 呈 现
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C
9
10
D
11
【2023·宁夏】 【新考法·操作实践题】将一副直角三角尺和一把宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是( )
1
【点拨】
【答案】
B
2
【2022·金华】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm，把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为________cm.
【点拨】
3
D
如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为( ) A．(0，5)
B．(5，0)
C．(6，0)
D．(0，6)
4
【2022·天津】如图，△OAB的一个顶点为O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是( )
A．(5，4)
B．(3，4)
C．(5，3)
D．(4，3)
【点拨】
【答案】
D
5
解：如图所示．
【点拨】
6
C
如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边上的点P处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为( )
A．20
B．22
C．24
D．30
7
【新考法 ·翻折对称法 】如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求BF，CE及折痕AE的长．
8
【2022 ·通辽 】 【新考法 ·分类讨论法 】在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，
AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为__________.
【点拨】
题中60°的锐角，可能是∠A，也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在线段AB上和点P在线段AB的延长线上两种情况．
9
【2023 ·丽水 】 【新考向 ·条件变式法 】如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am－bn＝2，an＋bm＝4.
(1)若a＝3，b＝4，则图①阴影部分的面积是________；
(2)若图①阴影部分的面积为3，图②四边形ABCD的面积为5，则图②阴影
部分的面积是________.
25
【点拨】
10
【新考法 ·类比法 】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长.
(2)点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
解：当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．
解：如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.
【点方法】
11
(1)请你将△ABC的面积直接填写在
横线上：__________.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出△ABC的面积.(共28张PPT)
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
勾股定理的逆定理
18.2
A
1
2
3
4
5
C
6
7
8
A
答 案 呈 现
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C
C
9
10
11
12
D
1
A
【母题：教材P58例1】如图，每个小正方形的边长为1，则网格中的△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上都不对
A
2
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角
B．∠B为直角
C．∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形
3
【2023·济宁】 【新考法·构直角三角形模型法】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )
A．180°－α B．180°－2α
C．90°＋α D．90°＋2α
【点拨】
【答案】
C
如图，过点B作BG∥CD，连接EG.
∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α.
∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，
EG2＝32＋52＝34，∴BG2＋BE2＝EG2.
∴△BEG是直角三角形，且∠GBE＝90°.
∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α. 故选C.
4
北偏东50°
(或东偏北40°)
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20 n mile，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，
则乙船沿__________方向航行.
【点拨】
由题意得AP＝1×12＝12(n mile)，BP＝1×16＝ 16(n mile)，∠APN＝40°，AB＝20 n mile，
∴AP2＋BP2＝400＝AB2.∴∠APB＝90°.
∴∠BPN＝50°.
∴乙船沿北偏东50°(或东偏北40°)方向航行．
5
阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝
a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC为直角三角形．④
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：________．
(2)错误的原因是_____________________________________．
(3)本题正确的结论是_____________________________________．
③
不能确定a2－b2是否为0
△ABC为等腰三角形或直角三角形
6
C
【母题：教材P59练习T2】下列各组数中，是勾股数的是( )
A．14，36，39
B．8，24，25
C．8，15，17
D．10，20，26
7
A．3，4，5 B．5，12，13
C．6，8，10 D．7，24，25
【点拨】
【答案】
C
8
下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是( )
【点拨】
【答案】
D
在判断勾股数时，不仅要符合勾股定理，还要注意勾股数是正整数这一条件；而判断以某三个数为边长能否构成直角三角形时，只需将所给数据分别平方，再看结果是否满足勾股定理的形式即可．
9
【2023·广东】 【新考向·操作法】 【综合与实践】
主题：制作无盖正方体纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出
九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
【猜想与证明】
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论.
解：∠ABC＝∠A1B1C1.
10
已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝
n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2.
∵A＝B2，B>0，A＝(n2＋1)2，∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
17
直角三角形三边长 n2－1 2n B
勾股数组Ⅰ — 8
勾股数组Ⅱ 35 —
37
11
如图，在△ABC中，AB：CB：CA＝3：4：5，且周长为72 cm.点M以每秒2 cm的速度从A向B运动，点N以每秒3 cm的速度从B向C运动．如果两点同时出发，经过4s时，△BMN的面积为多少？
12
【新考法 · 类比迁移法】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；
解：如图①，连接DP.由题意可知CD＝CP＝8，∠PCD＝60°.∴△CDP是等边三角形．
∴∠CDP＝60°，DP＝PC＝8.易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝6.
∴AD2＋DP2＝AP2.
∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝150°.
∴∠BPC＝150°.
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．
解：如图②，连接DP，易得CD＝CP＝2，
△DCP为等腰直角三角形，∴∠CDP＝45°.
易得△CPB≌△CDA，
∴∠BPC＝∠ADC，AD＝BP＝1.
∴AD2＋DP2＝AD2＋(CD2＋CP2)＝9.
∵AP2＝9，∴AD2＋DP2＝AP2.
∴∠ADP＝90°.∴∠ADC＝135°.∴∠BPC＝135°.(共39张PPT)
沪科版 八年级下
第十八章 勾股定理
测素质
勾股定理及其应用
集训课堂
C
1
2
3
4
5
A
D
6
7
8
D
答 案 呈 现
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A
B
9
10
C
11
12
D
13
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15
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17
【2023·北京四中期中】以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
1
C
一、选择题(每题4分，共32分)
2
【母题：教材P59练习T3】若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【点拨】
【答案】
D
∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
3
【2023·人大附中月考】如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A．－4和－3之间
B．3和4之间
C．－5和－4之间
D．4和5之间
【点拨】
【答案】
A
4
如图，将一根长13 cm的木棍置于底面直径为6 cm，高为8 cm的圆柱形杯子中，则木棍露在杯子外面的长度至少为( )
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
【点拨】
【答案】
C
由勾股定理可求出木棍伸进杯子里的部分最长为10 cm，故露在外面的长度至少为3 cm.
5
【2023·淮南期末】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为( )
【点拨】
【答案】
D
6
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为( )
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
【点拨】
【答案】
A
由折叠的性质知CD＝DE，AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠ACD＝90°.
设CD＝x cm，则DE＝x cm，BD＝(8－x)cm.
已知AC＝6 cm，BC＝8 cm，则AB＝10 cm，
∴BE＝AB－AE＝4 cm.
根据勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，
解得x＝3，即CD＝3 cm.
7
【2023·合肥45中期中】如图，在正方形网格内，A，B，C，D四点都在小正方形的格点上，则∠BAC＋∠DAC的和为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【点拨】
【答案】
B
8
【母题：教材P66复习题T7】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左、右肩上各生出一个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．请你算出“生长”了2 024次后
形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
【点拨】
【答案】
D
“生长”1次后，所有正方形的面积和是1＋1＝2；“生长”2次后，所有正方形的面积和是1＋1＋1＝3；…；“生长”n次后，所有正方形的面积和是n＋1 .
9
二、填空题(每题4分，共20分)
【新视角·结论开放题】请你任意写出两组勾股数：_____________________．
3，4，5；6，8，10
(答案不唯一)
10
5
【点拨】
11
18
【点拨】
由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，∴CD＝BD.
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝5.
∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝5＋13＝18.
12
【2023·东营】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行
30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至
C港，则A，C两港之间的距离为________km.
50
【点拨】
13
如图，圆柱底面的周长为6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为__________．
10 dm
【点拨】
14
三、解答题(共48分)
(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求∠DAB的度数．
解：如图，连接AC. ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC2＝AB2＋BC2＝8，∠BAC＝45°.
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2＋DA2＝8＋1＝9，CD2＝9.
∴AC2＋DA2＝CD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.
∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.
15
(10分)如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：
(1)AC的长度；
解：∵AD是BC边上的中线，BC＝10，
∴BD＝CD＝5.
∵52＋122＝132，∴BD2＋AD2＝AB2.
∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.
∴AC2＝AD2＋CD2＝169.∴AC＝13.
(2)△ABC的面积．
16
(1)用含a，b的代数式表示AD的长．
(2)图中哪条线段的长是一元二次方程x2＋ax＝b2的一个正根？请说明理由．
17
(16分) 【新考法·条件变式法】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
解：由题意知BP＝2t cm.
如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，
BP＝BC＝8 cm，即t＝4.
(3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
解：a.如图③，当AB＝BP时，t＝5；
b．如图④，当AB＝AP时，BP＝2BC＝16 cm，t＝8；
c．如图⑤，当BP＝AP时，
AP＝BP＝2t cm，CP＝|2t－8|cm，AC＝6 cm，(共16张PPT)
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第十八章 勾股定理
练素养
2.勾股定理的实际应用
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【情境题·方案策略型】如图，A，B两块试验田相距
200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m．为了方便灌溉，现有以下两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的点H处，
再从H分别向试验田A，B修筑水渠．
1
(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)；
解：∵AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000，
AB2＝2002＝40 000，∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形．
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
∵AC＋BC＝160＋120＝280(m)，
CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，
∴AC＋BC∴甲方案所修的水渠较短．
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如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，在公路PQ上的点A处有一所学校，点A到公路MN的距离AB＝
80 m．现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪声的影响，则该学校受噪声影响的时间为多少秒？
解：如图，假设拖拉机行驶到C处，学校开始受到噪声的影响，连接AC，则AC＝100 m．
在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC2＝AC2－AB2＝1002－802＝602，
∴BC＝60 m.
假设拖拉机行驶到D处，学校开始脱离噪声的影响，连接AD，则AD＝100 m.
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【2023·广安】【新考向·展开对称法】如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为________cm.(杯壁厚度不计)
【点拨】
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【情境题·游戏活动型】如图，在超级马里奥游戏中，马里奥到达一个高为10米的高台AC，利用旗杆顶部的绳索，荡过90°到达与高台AC水平距离为17米(即∠AOB＝90°，CD＝17米)，高为3米的矮台BD的顶端B．
(1)求旗杆的高度OM；
解：如图，过点A作AE⊥OM于点E，
过点B作BF⊥OM于点F，设OF＝x米．
由题易知，四边形ACME、四边形FMDB均为长方形，
∴AE＝CM，EM＝AC＝10米，
FM＝BD＝3米，FB＝MD.
∴AE＝OF＝x米，FB＝OE＝(17－x)米．
∴EM＝OF－OE＋FM＝x－(17－x)＋3＝2x－14(米)．
∴2x－14＝10，解得x＝12.
∴OM＝OF＋FM＝12＋3＝15(米)．
答：旗杆的高度OM为15米．
(2)求马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN.
解：由题意知ON＝OB＝OA，
由(1)知OF＝12米，FB＝5米．
在Rt△FOB中，OB2＝OF2＋FB2＝122＋52＝132，
∴OB＝13米．
∴ON＝13米，∴MN＝OM－ON＝15－13＝2(米)．
答：马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的
高度MN为2米．(共21张PPT)
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第十八章 勾股定理
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3．利用勾股定理解题的六种常见题型
集训课堂
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【2023·厦门一中期中】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，则DB的长为______．
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【点拨】
利用勾股定理求出AB＝10，根据角平分线的性质得到DE＝CD，利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△ACD，得到AE＝AC＝6.设DB＝x，则CD＝DE＝8－x，在Rt△BDE中利用勾股定理建立方程即可求解．
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【新考法·构造直角三角形法】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32. 求BC和CD的长度．
解：如图，连接BD.
∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形．
∴∠1＝60°，BD＝AD＝8.
又∵∠ADC＝150°，∴∠2＝90°.
设BC＝x，则CD＝32－8－8－x＝16－x.
由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10.
∴BC＝10，CD＝6.
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【2023·人大附中期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若B恰好落在AC中点M上，则CE长为________．
【点拨】
在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝6，结合点M是AC中点可得CM＝3.由翻折可知ME＝BE＝BC－CE，在Rt△CME中利用勾股定理求解即可．
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如图，∠AOB＝90°，OA＝40 m，OB＝15 m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B 点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球．若球滚动的速度与机器人行走的速度相同，则机器人行走的路程BC为多少？
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如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC．
证明：∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．
由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∴AB2＋BC2＝2AB2.
∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
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如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.
求证：BP2＝BC2＋AP2.
证明：如图，连接BM.
∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2，
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
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【新考向·传承数学文化】 《九章算术》是我国古代数学代表作之一，书中记载：今有开门去阃(门槛)一尺，不合四寸，问门广几何？其大意如下：如图，推开双门(大小相同)，双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺(1尺＝10寸)，求门槛AB的长．
8
如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．
解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，连接SF，
过点S作SP⊥MN于点P.
由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，SP＝15(cm)．
在Rt△SPF中，SF2＝SP2＋FP2＝152＋82＝289，
∴SF＝17 cm.
答：蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度为17 cm.
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【新考法·化动为定法】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD的中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，求AM＋MN＋EN的最小值．
解：如图，作点A关于BC的对称点A1，
连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，A1E1，
易知A，B，A1在一条直线上，A，D，E1在一条直线上．
∵点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，∴AB＝A1B，AM＝A1M，
DE＝DE1，EN＝E1N.(共36张PPT)
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第十八章 勾股定理
全章热门考点整合应用
D
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答 案 呈 现
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下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．5，6，7
B．3，－4，5
C．0.5，1.2，1.3
D．20，48，52
1
D
2
数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……都是勾股数．若奇数n为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边，并写出接下来的两组勾股数．
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【2023·恩施州】 【新考向·传承数学文化】 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．
8尺、6尺、10尺
问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？
答：门高、宽和对角线的长分别是______________．
【点拨】
设门对角线的长为x尺，则门高为(x－2)尺，门宽为(x－4)尺．
根据勾股定理，得x2＝(x－4)2＋(x－2)2，
解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝10.
10－2＝8(尺)，10－4＝6(尺)，
故门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．
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如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积．
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如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和 3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度是多少？
解：将长方体的侧面展开，如图，连接AB′.
∵AA′＝3＋1＋3＋1＝8(cm)，A′B′＝6 cm，
∴AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.
∴AB′＝10 cm.
∴用一根细线从点A开始经过4个侧面
缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10 cm.
【点技巧】
解答此类问题时一般先画出侧面展开图，将立体图形转化为平面图形，再构造直角三角形求解．
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【情境题·生活应用】如图，A，B两个村子在河边CD的同侧，A，B两村到河边的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现在河边CD处建一水厂，分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的费用为
20 000元/km.请你在河边CD上选择水厂位置O，使铺设水管(OA＋OB)的费用最少，
并求所铺设水管的最少费用．
解：如图，作点A关于河边CD的对称点A′，连接A′B交河边CD于点O，连接AO，点O即为水厂位置，AO＋BO即为所铺设的最短水管长，则AO＝A′O，A′C＝AC＝1 km.
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证明：∵122＋162＝202，
∴CD2＋BD2＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.
∴BD⊥AC.
如图，已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20 cm，D是AC上的一点，且BD＝16 cm，CD＝12 cm.
(1)求证：BD⊥AC；
(2)求△ABC的面积．
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【2023·盐城期中】某地交通管理条例规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50 m的点B处，6 s后测得这辆小汽车行驶到与车速检测仪距离为130 m的点C处．这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
解：这辆小汽车超速了．理由如下：
由题意得∠ABC＝90°，AB＝50 m，AC＝130 m.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2＋AB2＝AC2，
所以BC＝120 m.
所以这辆小汽车的行驶速度为120÷6＝20(m/s)．
又因为20 m/s＝72 km/h，72>70，
所以这辆小汽车超速了．
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如图，有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军派甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇的速度为 40 n mile/h，乙巡逻艇的速度为30 n mile/h，且乙巡逻艇的航向约为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
解：由题意得AB＝5 n mile，AC＝40×(6÷60)＝4(n mile)，
BC＝30×(6÷60)＝3(n mile)．
在△ACB中，AC2＋BC2＝42＋32＝25＝52＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，且∠ACB＝90°.
∵∠CBA＝90°－37°＝53°，
∴∠CAB＝180°－∠ACB－∠CBA＝
180°－90°－53°＝37°. ∴90°－∠CAB＝53°.
∴甲巡逻艇的航向约为北偏东53°.
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为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．如图，D到道路m的距离DA＝2 km，C到道路m的距离CB＝1 km，A，B两地距离AB＝5 km.气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置(在图中用尺规作图作出符合条件的点E，不写作法，保留作图痕迹)．
解：如图，连接CD，作线段CD的垂直平分线交AB于点E，则点E即为所求．
(2)计算出气站E到A处的距离．
解：如图，连接DE，CE，设AE＝x km，
则BE＝(5－x)km，
∴DE2＝22＋x2，CE2＝(5－x)2＋12.
又∵DE2＝CE2，∴22＋x2＝(5－x)2＋12，
解得x＝2.2.
答：气站E到A处的距离为2.2 km.
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【新视角·项目探究题】阅读下列材料：
如图①，一个圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬到点C．为探索蚂蚁爬行的最短路线，小明设计了以下两条路线．
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示．
设路线1的长度为l1，则l12＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.
路线2：图①中的高线AB＋底面直径BC．
设路线2的长度为l2，则l22＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
因为l12－l22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)＞0，
所以l12＞l22.
所以l1＞l2，即路线2较短．
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成圆柱的底面半径为1，高AB为5，继续按前面的路线计算．请你帮小明完成下面的计算．
路线1：l12＝AC2＝__________；
路线2：l22＝(AB＋BC)2＝__________．
因为l12______(填“>”或“<”)l22，
所以l1______(填“＞”或“＜”)l2.
所以路线______(填“1”或“2”)较短．
25＋π2
49
＜
＜
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(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线，才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短？
解：设路线1的长度为l1，则l12＝AC2＝AB2＋BC2＝
h2＋(πr)2＝h2＋π2r2.
设路线2的长度为l2，则l22＝(AB＋BC)2＝(h＋2r)2＝
h2＋4rh＋4r2.
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在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，BC边上的高为12.求△ABC的周长．
解：设BC边上的高为AD，则△ABD，
△ACD是直角三角形．
由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝256，
CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴BD＝16，CD＝9.
若高AD在△ABC的内部，如图①，
则BC＝BD＋CD＝16＋9＝25，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋25＝60；
若高AD在△ABC的外部，如图②，
则BC＝BD－CD＝16－9＝7，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋7＝42.
综上所述，△ABC的周长为60或42.
【点易错】
已知AB，AC的长，求三角形的周长，只需求出BC的长．分析三角形的形状时，需要分高在三角形内部与外部两种情况来解答．
