(共32张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
多边形内角和
19.1.1
多边形及其内角和
C
1
2
3
4
5
C
6
7
8
C
答 案 呈 现
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B
A
9
10
11
12
D
D
D
13
14
15
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下列图形中不是凸多边形的是( )
1
C
C
2
在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，凸十边形的对角线有( )
A．29条
B．32条
C．35条
D．38条
3
C
从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4，3
B．3，3
C．3，4
D．4，4
4
36°
【2023·重庆】如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为________．
5
4(答案不唯一)
【2022·资阳】 【新视角·结论开放题】小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面，现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是_______________．
(填一种即可)
【点拨】
分别求出各个正多边形的内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
6
B
【2023·永州】下列多边形中，内角和等于360°的是( )
7
【2022·怀化】一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A．七边形
B．八边形
C．九边形
D．十边形
【点拨】
【答案】
A
根据多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)·180°列出方程，解方程即可得出答案．
8
【2022·通辽】正多边形的每个内角为108°，则它的边数是( )
A．4
B．6
C．7
D．5
【点拨】
【答案】
D
设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．
9
【2023·长春】如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为________度．
45
【点拨】
10
将一个正方形桌面砍下一个角后，桌面剩下的角的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．3或4或5
【点拨】
【答案】
D
如图所示．
由图可知，桌面剩下的角的个数是3或4或5.
11
一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为( )
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
D
12
(1)一个n边形，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2 770°，求这个内角的度数．
解：设这个内角的度数为x，
则(n－2)×180°－x＝2 770°，
即180°·n＝3 130°＋x.
∵n为正整数，0°＜x＜180°，∴n＝18.
∴这个内角的度数为180°×(18－2)－2 770°＝110°.
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了 一个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？
解：设多加的这个内角度数为α，
则(n－2)·180°＝1 380°－α.
∵1 380°＝7×180°＋120°，
多边形的内角和应是180°的倍数，∴n＝9，α＝120°.
答：这个多边形的边数n的值是9，
多加的这个内角度数是120°.
13
在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
解：∵BE∥AD，∠D＝80°，∠A＝140°，
∴∠BEC＝∠D＝80°，
∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝60°.
14
【 2022· 常德】 【新考法 ·求和建方程法】剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选 一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了 2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片……如此下去，若最后得到10张纸片，
其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为_______．
6
【点拨】
由题意可知，每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，最后得到10张纸片，故剪了9次，即增加的度数为360°×9，设还有一张多边形纸片的边数为n，可得(5－2)×180°＋3×180°＋(4－2)×180°×5＋(n－2)×180°＝360°＋360°×9，解得n＝6.
15
【新考法 ·转换三角形内角和法】(1)如图①，五边形ABCDE的内角和为________．
(2)图①中含有五角星图案，求∠CAD＋∠EBD＋∠ACE＋∠ADB＋∠BEC的度数；
540°
解：如图①，设BD，AD与CE的交点分别为M，N，
则∠DMN＝∠EBD＋∠BEC，
∠DNM＝∠CAD＋∠ACE.
又∵∠DMN＋∠DNM＋∠ADB＝180°，
∴∠CAD＋∠EBD＋∠ACE＋∠ADB＋∠BEC＝180°.
(3)如图②，若五角星的五个顶角(即∠A，∠B，∠C，∠D，∠E)的度数相等，求∠1的度数．(共25张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
多边形内角和
19.1.2
多边形的外角和
C
1
2
3
4
5
A
C
6
7
8
答 案 呈 现
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C
C
9
10
11
12
B
【2023·北京】正十二边形的外角和为( )
A．30°
B．150°
C．360°
D．1 800°
1
C
5
2
【2023·黄冈】若正n边形的一个外角为72°，则n＝________．
【点拨】
∵正n边形的一个外角为72°，
∴n＝360÷72＝5.
3
【2022·河北】如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是( )
A．α－β＝0°
B．α－β＜0°
C．α－β＞0°
D．无法比较α与β的大小
【点拨】
【答案】
A
∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°.∴α－β＝0°.
4
48
【2022·株洲】如图，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝________度．
5
C
【母题：教材P74习题T4】若一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )
A．八边形
B．九边形
C．十边形
D．十二边形
6
C
【2022·烟台】一个正多边形的每个内角与它相邻外角的度数比为3:1，则这个正多边形是( )
A．正方形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十边形
7
C
四边形具有不稳定性，当改变四边形的形状时，发生变化的是( )
A．四边形的边长
B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小
D．四边形的内角和
8
下列图形中，具有不稳定性的有________个．
3
9
小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分(虚线部分)，得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( )
B
10
看图回答问题：
(1)一个多边形的内角和为2 014°，小明为什么说不可能？
解：∵ n边形的内角和是(n－2)·180°，∴内角和一定是180°的整数倍．
∵ 2 014÷180＝11……34，
∴这个多边形的内角和不可能为2 014°.
(2)小华求的是几边形的内角和？
(3)求多加的这个外角的度数．
∵2 014°－(13－2)×180°＝34°.
∴多加的这个外角的度数为34°.
11
【新考法·拓展定义阅读法】阅读下列材料，然后解答下面的问题．
定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边不都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．
性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图①，四边形ABCD是
凹四边形．
求证：∠BCD＝∠B＋∠A＋∠D．
证明：如图，延长BC交AD于点M.
∵∠BCD是△CDM的外角，∴∠BCD＝∠CMD＋∠D.
∵∠CMD是△ABM的外角，∴∠CMD＝∠A＋∠B，
∴∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D.
性质应用：如图②，在凹四边形ABCD中，∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若∠ADC＝140°，∠AEC＝102°，则∠B＝____°.
64
【点拨】
12
【新考法·猜想法】如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
(1)猜想并说明∠1＋∠2与∠A，∠C的数量关系．
解：猜想：∠1＋∠2＝∠A＋∠C.
说明如下：
∵∠1＋∠ABC＋∠2＋∠ADC＝360°，
∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°，
∴∠1＋∠2＝∠A＋∠C.
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O.若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数．
(3)如图③，BO，DO分别是四边形ABCD的外角∠CBE，∠CDF的平分线．求证：∠C－∠A＝2∠O.
证明：∵BO，DO分别是四边形ABCD的外角∠CBE，∠CDF的平分线，∴∠FDC＝2∠FDO，∠EBC＝2∠EBO.由(1)知，∠FDO＋∠EBO＝∠A＋∠O，
∠FDC＋∠EBC＝∠A＋∠C.
∴2∠FDO＋2∠EBO＝2∠A＋2∠O，
2∠FDO＋2∠EBO＝∠A＋∠C.
∴2∠A＋2∠O＝∠A＋∠C.∴∠C－∠A＝2∠O.(共39张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
平行四边形
19.2.1
平行四边形及其边角性质
C
1
2
3
4
5
C
6
7
8
答 案 呈 现
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D
C
9
10
11
12
D
A
13
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【母题：教材P84习题T4】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
1
【点拨】
【答案】
C
∵DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，∴图中的平行四边形有 ADEF， BEFD， DECF.
50
2
【2023·兰州】如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝________°.
【点拨】
在△DBC中，∵BD＝CD，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠C＝70°，∴∠ADB＝∠DBC＝70°.
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°－∠ADB＝90°－70°＝20°.
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝50°.
3
10
【2023·福建】如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为________．
【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB.∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.
∵O为BD的中点，∴OD＝OB.
∴△DOF≌△BOE(AAS)．
∴DF＝BE.∴CD－DF＝AB－BE.
∴CF＝AE＝10.
4
24
【2023·聊城】如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为________．
【点拨】
5
C
【母题：教材P76例1】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61°
B．109°
C．119°
D．122°
6
D
7
C
【母题：教材P84习题T2】如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为( )
A．2
B．4
C．5
D．10
8
如图，已知l1∥l2，AB∥CD，AD＝CE，DE，FG都垂直于l2，垂足分别为E，G，则下列选项中，一定成立的是( )
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．BC＝EG
D．S四边形ABCD＞S四边形DEGF
A
9
在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和 4 cm两部分，则 ABCD的周长为( )
A．20 cm
B．22 cm
C．10 cm
D．20 cm或22 cm
【点拨】
如图①，当BE＝3 cm时，CE＝4 cm.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3 cm.
∴ ABCD的周长为(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
如图②，当BE＝4 cm时，CE＝3 cm.
同理可得AB＝BE＝4 cm，
∴ ABCD的周长为(4＋4＋3)×2＝22(cm)．
【答案】
D
本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3 cm和4 cm两部分，没有明确哪部分是3 cm，哪部分是4 cm，故分两种情况．
【点方法】
10
【2023·南充】如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF.
求证：(1)AE＝CF；
(2)BE∥DF.
证明：∵△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB.
∴BE∥DF.
11
【2023·长沙】 【新考法·构造直角三角形法】如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：AD＝AF；
证明：在 ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F.
∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.
(2)若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF－AB＝3.
如图，过点D作DH⊥FA，
交FA的延长线于点H.
∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°.
12
【2023·菏泽】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.
求证：AE＝CF.
13
【 新考法·直观猜想法 】如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF. 请判断GF与EF的关系．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，CD＝AB，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，
∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.
∴EF＝FG，∠EFA＝∠GFD，
∴∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，
∴∠GFE＝∠DFA＝90°，∴GF⊥EF.
综上，GF＝EF，GF⊥EF.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：GF＝EF，GF⊥EF仍然成立．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
CD＝AB，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.
∵AB∥CD，
∴∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°.
又∵∠CDF＋∠GDF＝45°，∴∠FDG＝∠EAF.(共29张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
平行四边形
19.2.2
平行四边形的对角线性质
D
1
2
3
4
5
B
6
7
8
B
答 案 呈 现
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C
9
10
D
11
下列说法正确的是( )
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
1
D
B
2
【2023·成都】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝BD
B．OA＝OC
C．AC⊥BD
D．∠ADC＝∠BCD
3
【母题：教材P78例4】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：AE＝CF.
4
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，
则平行四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．12
C．20
D．24
【点拨】
【答案】
D
5
B
【2022·乐山】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( )
6
【新考法·对称法】如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为( )
A．6
B．15
C．30
D．60
【点拨】
【答案】
C
7
如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
(1)求证：OE＝OF.
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．
解：∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7.
又∵EF⊥AD，∴S ABCD＝63，∴S ABCD＝AD·EF＝63，
∴AD＝9.
8
【2022·无锡】如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
证明：∵△DOF≌△BOE.∴OF＝OE.
又∵∠DOE＝∠BOF，OD＝OB，∴△DOE≌△BOF.
∴DE＝BF.
9
【新考法·等角代换法】如图，在 ABCD中，AP，BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线，已知AD＝5.
(1)求线段AB的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝5，∴AB＝CD，
BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA.
∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5.
同理可得，CP＝BC＝5，
∴CD＝10，∴AB＝10.
(2)延长AP，交BC的延长线于点Q.
①补全图形．
解：如图所示．
②若BP＝6，求△ABQ的周长．
10
【2022·扬州】如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证： BE∥DG，BE＝DG；
证明：在 ABCD中，AD∥BC，
∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，∴∠ADG＝∠CBE.
又∵∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56， EF＝6，求△ABC的面积．
11
【新考法·过对称中心等分法】如图，已知 ABCD．
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分．(保留作图痕迹，不写作法)
解：(答案不唯一)作图如下．
(2)由上述方法，你能得到什么结论？
解：过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将该平行四边形分成面积相等的两部分．
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块地里有一口井P，如图，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
解：作图如下．(共27张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
平行四边形
19.2.3
由边的关系判定平行四边形
D
1
2
3
4
5
B
6
7
8
C
答 案 呈 现
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D
B
9
10
D
11
12
B
【2022·河北】依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
1
【点拨】
【答案】
D
A选项，80°＋110°≠180°，所以只有一组对边平行，不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意；B选项，只有一组对边平行，不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；C选项，有三条边相等，不能确定是平行四边形，故C选项不符合题意；D选项，110°＋70°＝180°，有 一组对边平行且相等，是平行四边形，故D选项符合题意.
故选D.
2
【2022·淮安调研】已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，四边形ABCD的周长为40 cm，两邻边的比是3：2，则较长边的长是( )
A．8 cm
B．10 cm
C．12 cm
D．14 cm
【点拨】
【答案】
C
∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，设平行四边形ABCD的短边长为2x cm，则长边长为 3x cm.∵平行四边形ABCD的周长是40 cm，∴2(3x＋2x)＝40，解得x＝4，∴较长边的长是3×4＝12(cm)．
3
B
【2022·福建】如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′处，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是( )
4
D
如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，下面四个条件可选择的是( )
A．AD＝BC
B．CD＝BF
C．∠A＝∠C
D．∠CDF＝∠F
5
AB∥DC(答案不唯一)
如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为____________________．
6
【2023·邵阳】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是( )
A．AD＝BC
B．∠ABD＝∠BDC
C．AB＝AD
D．∠A＝∠C
【点拨】
A.由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形．
B．∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.不能判定四边形ABCD为平行四边形．
C．由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形．
【答案】
D
D．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180°.又∵∠A＝∠C，∴∠ABC＋∠A＝180°.∴AD∥BC.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故选D.
7
B
【2022·嘉兴】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是( )
A．8
B．16
C．24
D．32
8
【母题：教材P85习题T8】下列条件：
①∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°；
②AB＝CD，AD∥BC；
③AB＝BC，AD＝CD；
④AB＝CD，AB∥CD．
其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】
【答案】
B
要准确理解平行四边形的判定方法，本题易混淆平行四边形的判定方法而错选D.
9
【2023·广安】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．
10
【2023·永州】如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F.
(1)请用尺规作∠ADB的平分线DE，交AB于点E (要求保留作图痕迹，不写作法) ；
解：作图如下．
(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠________．(两直线平行，内错角相等)
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
DBC
BF
内错角相等，两直线平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
11
【2023·杭州】 【新考法·等积法】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC.
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝FD，∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∴∠AEF＝∠CFE.∴AE∥CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
解：∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO.
∴△CFO的面积为1.
12
【新考法·逆向思维法】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6 cm，AD＝9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形？
解：设经过t s四边形ABQP为平行四边形．
根据题意，得AP＝t cm，CQ＝2t cm，
则BQ＝(6－2t)cm.∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝6－2t，解得t＝2.
∴经过2 s四边形ABQP为平行四边形．
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
解：由(1)知，经过2 s四边形ABQP是平行四边形．
设经过x s直线PQ将四边形ABCD截出
另一个平行四边形DCQP.
根据题意，得AP＝x cm，CQ＝2x cm，
则PD＝(9－x)cm.
∵AD∥BC，
∴当CQ＝PD时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x＝9－x，解得x＝3.
综上，经过2 s或3 s直线PQ将四边形ABCD截出
一个平行四边形．(共30张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
平行四边形
19.2.4
由对角线的关系判定平行四边形
C
1
2
3
4
5
A
6
7
8
C
答 案 呈 现
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B
9
10
C
【中考·衡阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
1
C
C
2
如图，E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD
D．∠AEC＝∠CBD
3
【中考·河北】如图①，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙
三种方案，则正确的方案( )
A．甲、乙、丙都是
B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是
D．只有乙、丙才是
【答案】
A
4
【新考法·分类讨论法】如图，在 ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6 cm，BF＝12 cm，∠FBM＝∠CBM，E是BC的中点．若点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B
运动，点P运动到点F时停止运动，
点Q也同时停止运动，若以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为( )
A．3 s
B．5 s
C．3 s或5 s
D．3 s或4 s
【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB ＝∠CBD.又∵∠FBM＝∠CBM，∴∠FBD＝∠FDB，∴FD＝FB＝12 cm.
又∵AF＝6 cm，∴AD＝18 cm.
∵点E是BC的中点，
【答案】
C
5
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠DAC＝60°，∠ADB＝∠EOD＝15°，AC＝6，则AD的长为________．
【点拨】
6
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：
①OE＝OF；②DE＝BF；
③∠ADE＝∠CBF；
④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】
【答案】
B
③④可通过证三角形全等间接说明OE＝OF，又①为OE＝OF，由题意可知OD＝OB，所以根据对角线互相平分可证得四边形DEBF是平行四边形，即可得出结论．
7
如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，点G是OA的中点，H是OC的中点，试证明四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE＝OF.
∵G是OA的中点，H是OC的中点，OA＝OC，
∴OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
8
【新视角·条件开放题】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上．
(1)给出以下条件：①OB＝OD；②∠1＝∠2；③OE＝OF.请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO.
(2)在(1)中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：由(1)得△BEO≌△DFO，∴EO＝FO.
∵AE＝CF，∴AE＋EO＝CF＋FO，即AO＝CO.
又∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
9
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF.
又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．
10
(1)求证：四边形AFCE为平行四边形．
(2)若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．
解：在 ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD.
∵OA＝OC，∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE.
∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm.
由(1)可知，四边形AFCE为平行四边形，
∴C四边形AFCE＝2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40(cm)．(共17张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
平行四边形
19.2.5
三角形的中位线
1
2
3
4
5
A
6
A
答 案 呈 现
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B
【2023·金华】如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝
4 cm，则该工件内槽宽AB的长为_____cm.
1
8
2
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是( )
A．2.5
B．2
C．3.5
D．3
【点拨】
【答案】
A
3
【2023·泸州】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】
在 ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD.
∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP.
∴∠ADP＝∠APD.∴AP＝AD＝4.
∵CD＝6，∴AB＝6.∴PB＝AB－AP＝6－4＝2.
【答案】
A
4
B
如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是( )
A．6
B．12
C．24
D．48
5
【2023·株洲】 【新考法·同线段过渡法】如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点．
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
6
(2)若BD，CE是△ABC的内角平分线，(1)中的其余条件不变(如图②)，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．
【点拨】
【点方法】
证明线段的和差倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需证明某一线段是另几条线段和或差的一半，且题中出现中点时，常先证明这个一半的线段是三角形的中位线，然后用三角形的中位线定理证明即可．(共38张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
矩形、菱形、正方形
19.3.1
1 矩形及其性质
D
1
2
3
4
5
D
6
7
8
答 案 呈 现
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A
C
9
10
C
11
12
【2023·苏州】 【新考法·化动为定法】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC·EF的值为( )
1
【点拨】
【答案】
D
2
【2023·陕西】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM＋PN＝4，则线段PC的长为________．
【点拨】
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝3，ED＝3，DE＝AB＝CD，∠D＝90°.
∴△CDE是等腰直角三角形．
作点N关于EC的对称点N′，则N′在直线CD上，连接PN′，如图所示．
则PN＝PN′.
3
【点拨】
【答案】
D
4
【2023·十堰】如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【点拨】
【答案】
C
由题意可知向左扭动矩形框架ABCD，矩形变成平行四边形，四边形的四条边长度不变，故周长不变，对角线BD的长度减小，BC边上的高的长度减小，故面积变小．故选C.
5
【2023·内江】 【新趋势·整体求值法】出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．
如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋
EG＝________．
【点拨】
连接OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，
AO＝CO＝BO＝DO.
∵AB＝5，BC＝12，
6
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线．若DE＝6，则BF的长为( )
A．6
B．4
C．3
D．5
【点拨】
【答案】
A
7
【2023·兰州】如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，
CE＝10，则AG＝( )
A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
【点拨】
【答案】
C
8
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝________．
30°
【点拨】
本题的关键是得出△AOB是等边三角形，进而推出OB＝BE，从而求出∠2＝30°.本题易错点是对矩形的性质不能灵活运用．
9
【2022·鄂州】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD．
(1)求证：DF＝CF；
(2)若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
解：由(1)可知，DF＝CF.
∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝6.
∵∠BDC＝∠CDF＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，∴OD＝CD＝6，
∴BD＝2OD＝12.
10
【2022·苏州】如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数．
【点方法】
解决矩形折叠问题的方法
1．利用折叠的性质：折叠前后的图形能够完全重合，折叠前后的图形对应边相等，对应角相等．
2．通过图形间的折叠找出折叠部分与原图形中线段或 角的关系，从而得到折叠部分与其他图形中线段或角的关系．
. . . .
. . .
11
【2022·杭州】 【新考法·几何推理法】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB.∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B.
∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°.
∴∠B＝∠MCB＝∠ACB－∠MCA＝40°.
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°.
∵∠A＝50°，∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°.
∴∠MEC＝∠EMC.∴CE＝CM.
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
12
【新考法·化动为定法】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA＝90°， CD＝AB＝4，AD＝BC＝6.
∴∠CDE＋∠ADO＝90°.
又∵∠OAD＋∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°.
(3)当点A移动到某一位置时，点C与点O的距离有最大值，请直接写出最大值．
解：点C与点O的距离的最大值为8.(共26张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
矩形、菱形、正方形
19.3.1
2 矩形的判定
C
1
2
3
4
5
C
6
7
8
B
答 案 呈 现
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C
9
10
D
11
如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是( )
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2
1
C
B
2
【2023·通辽】 【新考法·平移法】如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为( )
A．3
B．4
C．5
D．12
3
【2022·聊城】 【母题·教材P88例2】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【点拨】
【答案】
C
A.根据两条对角线相等不能判定四边形为平行四边形，更不可能判定其为矩形；B.根据两个角为直角不能判定四边形为矩形；C.根据两条对角线相等且互相平分可以判定四边形为矩形；D.根据两组对边分别相等可以判定四边形为平行四边形，但不能判定其为矩形．故选C.
4
D
【2022·陕西】在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( )
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AB＝AC
D．AC＝BD
5
∠A＝90°
(答案不唯一)
【新视角·条件开放题】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠B，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是____________．
6
①(答案不唯一)
【2023·岳阳】如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是________________(填序号)；
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.∴∠ABC＋∠DCB＝180°.
∵BM＝CM，∴∠3＝∠4.
∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠DCB.
∵∠ABC＋∠DCB＝180°，
∴∠ABC＝90°.∴ ABCD为矩形．
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．
7
【2023·上海】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB∥CD
B．AD＝BC
C．∠A＝∠B
D．∠A＝∠D
【点拨】
【答案】
C
C.∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.
∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°.
∴AB⊥AD，AB⊥BC.
∴AB的长为AD与BC间的距离．
∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC.
∴∠C＝∠D＝90°. ∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意．
8
【2023·内江】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：FA＝BD；
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.
又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.
∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.
又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
∴AF＝BD.
(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
∴四边形ADBF是矩形．
9
【2023·贵州】 【新考法·等线段代换法】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两名同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE.
(1)请你选择一名同学的说法，并进行证明；
证明：小星：如图①.
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE＝BD. ∵BD＝BC，∴AE＝BC.
∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形．
∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形．
∴∠EBC＝90°.∴BE⊥CD.
小红：如图②，连接BE.
∵AE∥BD，DE∥BA，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE＝BD，AB＝DE.
∵BD＝BC，∴AE＝BC.
∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形．
∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形．
∴AB＝CE.∴DE＝CE.(选一种即可)
10
【2022 · 十堰】 【新考法 · 逆向思维法】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
(1)求证：BE＝DF；
11
【 新考法·化动为定法 】如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
证明：如图所示．
∵MN交∠ACB的平分线于点E，
交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.
∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形．(共39张PPT)
沪科版 八年级下
第十九章 四边形
矩形、菱形、正方形
19.3.2
1 菱形及其性质
1
2
3
4
5
C
C
6
7
8
D
答 案 呈 现
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D
B
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B
B
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【2023·福建】如图，在菱形ABCD中，AB＝10，
∠B＝60°，则AC的长为________.
1
10
【点拨】
由菱形的性质得到AB＝BC，又∠B＝60°，因此△ABC是等边三角形，即可得到AC＝AB＝10.
2
【2023·大庆】将两个完全相同的菱形按如图所示的方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝( )
【点拨】
【答案】
D
∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD.
∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＋∠DBE.
∴∠ADB＝∠ABD＝β＋α.
3
如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AF
D．∠AEB＝∠AFD
【点拨】
【答案】
C
由四边形ABCD是菱形可知AB＝AD，∠B＝∠D.添加BE＝DF，可利用SAS证明三角形全等；添加∠BAE＝∠DAF，可利用ASA证明三角形全等；添加AE＝AF，不能证明三角形全等；添加∠AEB＝∠AFD，可利用AAS证明三角形全等．故选C.
4
【2022·济南】已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE.
求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA.
∵∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF－∠EDF＝∠CDE－∠EDF.
∴∠ADE＝∠CDF.
5
【2023·湘潭】如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．20°
B．60°
C．70°
D．80°
【点拨】
【答案】
C
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.∴∠DCA＝∠1＝20°.
∴∠2＝90°－∠DCA＝70°.
6
【2023·丽水】如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为( )
【点拨】
【答案】
D
7
【2023·乐山】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE，若AC＝6，
BD＝8，则OE＝( )
【点拨】
【答案】
B
8
【2022·淄博】如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F，若
∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为( )
【点拨】
9
如图，点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的
一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则
MP＋PN的最小值是( )
【点拨】
【答案】
B
如图，取AD的中点M ′，连接M′N，M′P，则有MP＝M′P.易得MP＋PN的最小值为线段M′N的长，易得M′N＝1.
【点易错】
解这类问题同学们往往不会利用菱形的轴对称性．利用对称找点是解题的关键，将线段和的最小值转化为一条线段的长是解题通法．
. . . .
10
【2023·嘉兴】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝180°－60°－90°＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF.
∴∠DAF＝∠BAE＝30°.
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.
又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°.
11
【2023·长春】将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺在同一平面内按如图所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD．
(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；
证明：由题意知△ACB≌△DFE，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE.∴AC∥DF，
∴四边形AFDC是平行四边形．
(2)已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为_____cm.
18
12
【2022·张家界】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
(1)求证：△ODE≌△FCE；
(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程.
解：四边形ODFC为矩形．证明如下：
∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE.
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，∴四边形ODFC为矩形．
13
【新考法·直观判断法】如图①，菱形ABCD的一个内角∠B＝60°，E为BC的中点，F为CD的中点，连接AE，AF，EF.
(1)△AEF的形状如何？请证明．
解：△AEF为等边三角形．证明如下：
连接AC，如图①所示．
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形．
∴∠BAC＝∠DAC＝60°.
∵E，F分别是边BC，CD的中点，
∴AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，AE⊥BC，
AF⊥CD，∴∠CAE＝∠CAF＝30°.
∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝60°.
易知菱形ABCD的面积为BC·AE＝CD·AF.
∵BC＝CD，∴AE＝AF.∴△AEF为等边三角形．
(2)如图②，若E为BC上的任意一点，F为CD上的任意 一点，且∠EAF＝60°，△AEF的形状如何？请证明.
解：△AEF为等边三角形．证明如下：
连接AC，如图②所示．
由(1)得△ABC和△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，AB＝AC.
∵∠EAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF.
