高2026届高一（下）数学阶段测试
24-03
时间：120分钟 满分：120分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，四边形中，，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形是平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
2. 设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
3. 已知向量，，，且，，则
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，得到求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】因为向量，，，且，，
所以，解得：，即，，
所以，因此.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
4. 已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．
【详解】，
则不存在任何，使得，所以不共线，A选项错误；
则不存在任何，使得，所以不共线，B选项错误；
由向量的加法原理知．
则有，又与有公共点，所以三点共线，C选项正确；
，则不存在任何，使得，所以不共线，D选项错误．
故选：C．
5. 在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可得，点为的重心，可得，先计算在向量方向上的投影向量，进而可得向量在向量方向上的投影向量，即可求解.
【详解】由可得：，
即，可得，
所以，
如图设的中点为，则，
由可得，
所以，所以
，
所以
向量在向量方向上的投影向量为：
，
因为，所以，
所以向量在向量方向上的投影向量为，
故选：B.
6. 如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示，
解法二：以为原点，分别为轴的正方向建系，由，结合坐标运算，求得，可表示．
【详解】解法一：依题意①，②，③，
由②③式解得，，
代入①式得．
解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，则，
由，有，
有，解得，得．
故选：A．
7. 在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围．
【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，
设，则，，
联立，可解得，
因为点在线段上运动，则可设，
，
又，所以，
，
因为，所以．
故选：B．
8. 已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值.
详解】设，则，，
所以.易得，
，
当时，取得最小值，取得最大值，
此时.故选C.
【点睛】本题考查平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线
C. 若非零向量与共线，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可．
【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误；
对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误；
对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，
方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误；
对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确．
故选：ABC
10. 中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形．
B. 若，则点的轨迹一定通过的内心．
C. 若为重心，则
D. 若点满足，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D．
【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形，
故A错误；
选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致．
若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
选项C：若为的重心，设边的中点为，
则，故C正确；
选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，
于是有．又，
则
，故D正确．
故选：BCD．
11. 对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量．则关于该变换，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 存在使得
D. 设，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由定义变换的新向量，结合向量平行的条件验证选项A，结合向量垂直的条件验证选项B，由向量夹角的坐标运算验证选项C，由新定义向量的变换，得到向量间的关系，求出，再计算验证选项D．
【详解】A选项，，设，
若，则有，所以，
则，故A选项正确；
B选项，若，则有，
故，
则，故B选项正确；
C选项，
，
，
，故C选项错误；
D选项，当时，，
，
，
，
，D选项正确．
故选：ABD．
【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合平面向量的运算法则和向量的数量积的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，
所以.
故答案为：.
13. 已知平面向量，，满足，，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】依据题给条件求得，再去求的值即可.
【详解】，
则且、均为锐角
即向量平分向量与的夹角，
又，即向量与的夹角为，则
故，解得．
故答案为：
14. 在中，，，，已知点，分别是边，的中点，点在边上．若，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合余弦定理可得，即可得，建立平面直角坐标系后，表示出各点坐标，由转化为坐标运算即可得解.
【详解】在中，，，，
则，
，，
以为坐标原点，点、分别在轴、轴正半轴上建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，，
设，
故，，
，，解得或（舍去），
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦定理与平面向量数量积的坐标运算，考查了运算求解能力，属于基础题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 平面内给定三个向量，，.
（1）设，求m，n的值；
（2）若，求实数k的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量，，，由，利用向量相等求解；
（2）根据向量，，，得到和的坐标，由求解；
【小问1详解】
解：因为向量，，，且，
所以，
所以，解得；
小问2详解】
因为向量，，，
所以，，
因为，
所以.
16. 已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；
（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．
【详解】（1）由已知，得，
；
（2）设与的夹角为，
则，
因此，与的夹角的余弦值为.
17. 如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求边的长.
【答案】（1），.
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.
（2）利用转化法化简，从而求得的长.
【小问1详解】
∵，，∴，
∴，∴，.
【小问2详解】
，
，
设，∵，，
，即，
解得（舍）或，∴长为8.
18. 已知向量满足，设与的夹角为，
（1）若对任意实数，不等式恒成立，求的值；
（2）根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）把不等式两边平方，将问题转化一元二次不等式恒成立问题，即可得解；
（2）分别求出，再利用夹角公式即可得解．
【小问1详解】
将不等式两边同时平方，
得，
即
因为，设与的夹角为，
则恒成立，
所以，
即，解得．
【小问2详解】
由（1）知，
则，
，则，
则，
故与夹角的余弦值为.
19. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
（1）延长交于点Q（图1），求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；
（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.
【小问1详解】
依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
【小问2详解】
（i）根据题意,
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为三点共线，所以，
化简得，
即为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，
，
所以，
由（i）可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时.高2026届高一（下）数学阶段测试
24-03
时间：120分钟 满分：120分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，四边形中，，则必有（ ）
A. B. C. D.
2. 设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，，，且，，则
A. 3 B. C. D.
4. 已知向量，且，则下列一定共线的三点是（ ）
A B. C. D.
5. 在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A. B.
C D.
7. 在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法错误是（ ）
A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线
C. 若非零向量与共线，则
D. 若，则
10. 中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形．
B. 若，则点的轨迹一定通过的内心．
C. 若为重心，则
D. 若点满足，则
11. 对于非零向量，定义变换以得到一个新向量．则关于该变换，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 存在使得
D. 设，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______.
13. 已知平面向量，，满足，，，若，则______．
14. 在中，，，，已知点，分别是边，的中点，点在边上．若，则线段的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 平面内给定三个向量，，.
（1）设，求m，n的值；
（2）若，求实数k的值.
16. 已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
17. 如图，在中，，，，分别在边，上，且满足，，为中点.
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求边的长.
18. 已知向量满足，设与夹角为，
（1）若对任意实数，不等式恒成立，求的值；
（2）根据（1）中与的夹角值，求与夹角的余弦．
19. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
（1）延长交于点Q（图1），求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
