专题3：因数与倍数小升初复习课件(共44张PPT)2024年小升初数学复习专题 第一章 数的认识

(共44张PPT)
第一章：数的认识
专题3：因数与倍数
小 升 初
1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。
2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。
12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。
2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。
倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。
3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
4、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
5、表示一个数的因数和倍数的方法：列举法；集合表示法。
1是任何数的因数。
一个非0自然数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，已知这个数的最大因数和最小倍数的积是49，而7×7＝49，则这个数是7。
【例1】如果一个数的最大因数和它的最小倍数的积是49，那么这个数是（ ）。
7
24的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18，36；装法有：
（1）24＝1×24，①每盒24个，装1盒，因为这个装法不能体现每个盒子装得同样多，所以不可以这样装；②每盒装1个，装24盒；
（2）24＝2×12，③每盒装12个，装2盒；④每盒装2个，装12盒；
（3）24＝3×8，⑤每盒装8个，装3盒；⑥每盒装3个，装8盒；
（4）24＝4×6，⑦每盒装6个，装4盒；⑧每盒装4个，装6盒；
所以一共有7种装法。
【例2】把24个玻璃杯分别装在盒子里，要使每个盒子中玻璃杯的数量同样多，且刚好可以全部装完，一共有（ ）种不同的装法。
7
28的因数有1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余的5个数相加，1＋2＋4＋7＋14＝28，也恰好等于28本身。
【例3】古希腊的毕达哥拉斯学派在研究自然数时发现了一些珍贵的数字。这些数字有着奇特的性质：这个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，他们称这个数是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，而1＋2＋3＝6恰好是除6本身以外所有因数。所以6就是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（ ）。
A、16 B、21 C、28 D、32
C
1、已知x＝2×3×8，则x的全部因数有（ ）个。
A、3 B、4 C、8 D、10
x＝2×3×8＝48
48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，共10个。
D
2、妈妈去超市买东西，付给售货员的钱中5元和1元的张数相同，妈妈付给售货员的钱可能是（ ）元。
A、54 B、46 C、35 D、27
A
因为5元和1元的张数相同，5＋1＝6，所以妈妈付给售货员的钱即是6的倍数。根据题意，54÷6＝9，选A。
3、如果一个两位数，十位上的数有3个因数，个位上的数有4个因数，那么这样的两位数一共有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
10以内的数中，1的因数只有1个；2、3、5、7的因数分别有2个；4、9的因数分别有3个；6、8的因数分别有4个。
因为十位上的数有3个因数，所以十位上的数可能是4或9。
个位上的数有4个因数，所以个位上的数是6或8。
则这样的两位数可能是46、48、96、98，一共有4个。
D
1、自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2、个位上是0或5的数都是5的倍数。
3、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
4、同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数；
5、同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数；
6、同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数；
7、同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
如果一个三位数和一个两位数的个位数字相同时，它们的差的个位上是0。根据5的倍数特征，个位上是0或5的数是5的倍数。所以它们的差一定是5的倍数。
【例4】如果一个三位数和一个两位数的个位数字相同，那么它们的差一定是（ ）的倍数。
5
如果一个四位数既是3的倍数，又是2的倍数，那么个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数。因为5＋2＋6＝13，3的倍数是3，6，9，12，15，18，21，……则这个四位数526□个位上的数字可以是15－13＝2，18－13＝5，21－13＝8。所以□里的数字最大是8，最小是2。
【例5】如果一个四位数526□既是3的倍数，又是2的倍数，则□最大填（ ），□最小填（ ）。
8
2
根据2的倍数的特征，一个数的个位是0、2、4、6、8，这个数就是2的倍数。53的个位是3，3－1＝2，所以53至少要减去1才是2的倍数。
根据3和5的倍数的特征，一个数各位数的和是3的倍数，且个位是0或5，这个数就是3和5的倍数。53的各位数的和为5＋3＝8，8不是3的倍数。要保证个位是0或5，53＋7＝60，而6＋0＝6，所以54至少要加上7才能既是3的倍数，又是5的倍数。
【例6】53至少要减去（ ）才是2的倍数；至少要加上（ ）才能既是3的倍数，又是5的倍数。
1
7
【例7】按要求写数。
（1）3的倍数中最小的两位奇数是（ ）。
（2）既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（ ）。
（3）十位和个位上的数相同，且同时是2和3的倍数的两位数是（ ）。
（1）3的倍数是3，6，9，12，15，18，21，……其中最小的两位奇数是15；
15
【例7】按要求写数。
（1）3的倍数中最小的两位奇数是（ ）。
（2）既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（ ）。
（3）十位和个位上的数相同，且同时是2和3的倍数的两位数是（ ）。
（2）同时是2和5的倍数的特征为个位上是0。所以这个三位数的个位是0，十位和百位要尽可能的大，所以最大的三位数是990；
15
990
【例7】按要求写数。
（1）3的倍数中最小的两位奇数是（ ）。
（2）既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（ ）。
（3）十位和个位上的数相同，且同时是2和3的倍数的最小两位数是（ ）。
（3）同时是2和3的倍数的特征位个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数。还要满足这个两位数的十位和个位上的数相同，那么这个最小两位数是33。
15
990
33
1、一台空调扇的价格是□2□元，这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，并且是最大的一个，这台空调扇（ ）元。
A、925 B、920 C、825 D、820
这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，那么个位一定是0或5。
当个位是0时，百位最大是7，这个三位数是720，720是3的倍数；
当个位是5时，5＋2＝7，3的倍数是3、6、9、12、15、18、……而15－7＝8，所以百位最大是8，这个三位数是825。
所以，这台空调扇的价格是825元。
C
2、已知一个四位数是521□。
（1）要使它是3的倍数，则□里最小能填（ ）；
（2）要使它同时是2和5的倍数，则□里只能填（ ），
（3）要使它同时是2和3的倍数，则□里最小能填（ ）。
根据3的倍数的特征，要使四位数521□是3的倍数，则各位数字的和是3的倍数。已知这个四位数的千位是5，百位是2，十位是1，个位是□，则5＋2＋1＝8，8至少加上1才是3的倍数，所以□里最小能填1。
1
2、已知一个四位数是521□。
（1）要使它是3的倍数，则□里最小能填（ ）；
（2）要使它同时是2和5的倍数，则□里只能填（ ）；
（3）要使它同时是2和3的倍数，则□里最小能填（ ）。
（2）要使这个四位数同时是2和5的倍数，则个位必须是0。所以□里应该填0。
1
0
2、已知一个四位数是521□。
（1）要使它是3的倍数，则□里最小能填（ ）；
（2）要使它同时是2和5的倍数，则□里只能填（ ）；
（3）要使它同时是2和3的倍数，则□里最小能填（ ）。
（3）要使这个四位数同时是2和3的倍数，则个位必须是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字的和是3的倍数。5＋2＋1＝8，8＋4＝12，12是3的倍数，所以□里最小能填4。
1
0
4
1、自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。
偶数：是2的倍数的数叫偶数。
奇数：不是2的倍数的数叫奇数。
2、奇偶性
奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数；
奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。
0是最小的偶数。
1是最小的奇数
69÷3＝23
23＋2＝25
23－2＝21
所以这三个连续奇数分别是21、23、25。
【例8】如果三个连续奇数的和是69，这三个奇数分别是多少？
一个三位数既是偶数又同时是3和5的倍数，那么这个三位数同时是2、3、5的倍数。根据2、3、5倍数的特征可知，这个三位数的个位上是0。十位和百位要尽可能的大，且各个数位上的数字之和是3的倍数。所以十位和百位都取9，则这个三位数最大是990。
【例9】有一个三位数，它是偶数，并且这个三位数同时是3和5的倍数，则这个三位数最大是（ ）。
990
【例10】如果x是奇数，y是偶数，那么下面选项中，计算结果一定是奇数的是（ ）。
A、xy B、x＋2y C、xy2 D、2x＋y
选项A：x是奇数，y是偶数，奇数×偶数＝偶数，A错误；
选项B：2y是偶数。因为x是奇数，奇数＋偶数＝奇数，所以x＋2y是奇数，B正确；
选项C：y是偶数，y2即y×y，偶数×偶数＝偶数，则y2是偶数。因为x是奇数，奇数×偶数＝偶数，所以xy2是偶数，C错误；
选项D：2x是偶数，y是偶数，偶数＋偶数＝偶数，则2x＋y是偶数，D错误。
B
1、从0、2、3三张卡片中任意选两张摆一个两位数，下面说法正确的是（ ）。
A、这个两位数是奇数的可能性更大。
B、这个两位数是偶数的可能性更大。
C、这个两位数是奇数和偶数的可能性一样大。
从 0、2、3三张卡片中任意选两张摆一个两位数，因为0不能在十位上，所以组成的两位数有20、23、30、32。在这4个两位数中，20、30 是偶数，23、32 是奇数，偶数有2个，奇数有2个。所以这个两位数是奇数和偶数的可能性一样大。
C
2、最大的两位偶数和最小的两位奇数的积是（ ）。
A、990 B、1078 C、1099
最大的两位偶数是98，最小的两位奇数是11，它们的积是98×11＝1078。
B
1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
最小的质数是2。
最小的合数是4。
1既不是质数，也不是合数。
3、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：30＝2×3×5，这个过程就叫分解质因数，其中2、3、5就是30的质因数。
【例11】优优今年的年龄是一个两位数，个位上的数既是奇数也是合数，十位上的数既是偶数又是质数。那么优优今年（ ）岁，至少再过（ ）年，她的年龄数是5的倍数。
个位上的数既是奇数也是合数，在一位数中既是奇数又是合数的数是9。
十位上的数既是偶数又是质数，在一位数中既是偶数又是质数的数是2。
所以优优今年29岁。
5的倍数的特征是个位上是0或5，离29最近的5的倍数是30，30－29＝1年，所以至少再过1年，她的年龄数是5的倍数。
29
1
【例12】已知一个长方形的面积是27平方厘米，它的长是合数，宽是质数，那么这个长方形的周长是多少厘米？
已知长方形的面积是27平方厘米，它的长是合数，宽是质数。
将27分解质因数得到：27＝3×9或27＝1×27。
因为长是合数，宽是质数，所以长是9厘米，宽是3厘米。
所以长方形的周长为：
（9＋3）×2
＝12×2
＝24（厘米）
答：这个长方形的周长是24厘米。
【例13】把48颗巧克力平均分给若干个小朋友，每个小朋友分到的巧克力大于1颗，小于48颗。一共有多少种不同的分法？
每个小朋友分到的巧克力大于1颗，小于48颗。
48＝1×48
＝2×24
＝3×16
＝4×12
＝6×8
答：一共有8种不同的分法。
1、“任意大于2的偶数都可写成两个质数的和。”这就是著名的哥德巴赫猜想，哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。下列三个算式中，符合这个猜想的是（ ）。
A、12＝1＋11 B、20＝13＋7 C、19＝17＋2
选项 A：12是偶数，但1不是质数，不符合哥德巴赫猜想。
选项 B：20是偶数，13和7都是质数，符合哥德巴赫猜想。
选项 C：19是奇数，不符合哥德巴赫猜想的条件。
B
2、已知20以内的3个质数x、y、z，使得x＋y＝z成立的不同质数算式一共有（ ）个。
20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19共8个。质数中除了2之外的所有质数都为奇数。根据数和的奇偶性可知，奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数，所以其中的一个加数一定是2。综上，可得以下算式：2＋3＝5；2＋5＝7；2＋7＝11；2＋11＝13；2＋17＝19。一个有5个这样的算式。
5
1、最大公因数
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。
2、用“短除法”求几个数的最大公因数
先用这几个数共有的质因数同时去除这几个数，直到所得的商互质为止，再将所有的除数相乘。
3、最小公倍数
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。
4、用“短除法”求几个数的最小公倍数
方法与求“两个数的最大公因数”的短除过程相同，只是求最小公倍数，只需要把所有的除数和商都相乘即可。
【例14】两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，则这两个数可能是（ ）。
A、16和28 B、12和28 C、16和24
16 28
2
8
14
16和28的最大公因数是2×2＝4，
最小公倍数是2×2×4×7＝112，
A错。
2
4
7
12 28
2
6
14
12和28的最大公因数是2×2＝4，
最小公倍数是2×2×3×7＝84，
B错。
2
3
7
【例14】两个数的最大公因数是8，最小公倍数是48，则这两个数可能是（ ）。
A、16和28 B、12和28 C、16和24
16 24
2
8
12
所以16和18的最大公因数是2×2×2＝8，
最小公倍数是
2×2×2×2×3＝48，C正确。
C
2
4
6
2
2
3
【例15】把一个长45cm，宽30cm，高15cm的长方体木块分割成若干个完全相同的小正方体木块，正方体的棱长最长是（ ）cm。
A、25 B、15 C、12 D、10
B
15 30 45
5
3
6
3
1
9
3
2
由题意可知，要想求正方体的最长棱长，也就是求15、30和45的最大公因数。
15、25和45的最大公因数是3×5＝15
所以正方体的棱长最长是15cm。
【例16】同学们排队做操，每行站的人数一样多，每行站18个人或每行站24个人，最后都剩下5个人，至少有（　　）个同学排队做操。
77
18 24
2
9
12
3
3
4
由题意可知，每行站18个人或每行站24个人，最后都剩下5个人，也就是求18和24的最小公倍数，再加上剩下的5人，可得总人数。
18和24的最小公倍数是2×3×3×4＝72
72＋5＝77（个）
所以至少有77个同学排队做操。
1、把两根长度分别为24厘米和36厘米的丝带剪成若干根长度一样的短丝带，并且都没有剩余，则每根短丝带最长是（　　）厘米。
12
24 36
2
12
18
2
6
9
3
2
3
由题意可知，每根短丝带的长度既是24的因数，也是36的因数。要想求每根短丝带的米数最长，也就是求24和36的最大公因数。
24和36的最大公因数是2×2×3＝12
所以每根短丝带最长是12厘米。
2、老师准备把一些糖果分给小朋友吃，平均每个小朋友分9颗或12颗，都多2颗，这些糖果至少有（　　）颗。
A、36 B、38 C、40 D、42
B
9 12
3
3
4
由题意可知，平均每个小朋友分9颗或12颗，都多2颗，也就是求9和12的最小公倍数，再加上剩下的2颗，可得糖果总数。
9和12的最小公倍数是3×3×4＝36
36＋2＝38（颗）
所以这些糖果至少有38颗。
每一份努力，都将在学习中得到最好的回报。加油！