高中数学 第三章 三角函数 第3.2课 任意角的三角函数学案 湘教版 必修2
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| 名称 | 高中数学 第三章 三角函数 第3.2课 任意角的三角函数学案 湘教版 必修2 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 224.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-09-17 16:39:00 | ||
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3.2 任意角的三角函数
1．任意角
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角
2．终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成
3．象限角
第一象限角的集合 第二象限角的集合
第三象限角的集合 第四象限角的集合
4．非象限角
在轴的正半轴上 在轴的正半轴上
在轴的负半轴上 在轴的负半轴上
在轴上 在轴上
在坐标轴上
【例1】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．
【解析】∵角是第二象限角，∴ ，
（1），
∴ 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上．
（2），
当时，∴ ，∴的终边在第一象限．
当时，∴，∴的终边在第三象限．
综上所述，的终边在第一象限或第三象限．
归纳：已知角所在象限，确定所在象限的几何法如下：
⑴画出区域：把各象限均分等份；
⑵标号：从轴的正向起，逆时针将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环；
⑶确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求．
5．弧度制
（1）弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫弧度角．
； ； ．
（2）弧长公式：（是圆心角的弧度数）．（3）扇形面积公式：．
（4）扇形周长公式： （ 是弧长， 是半径）
【例2】已知一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
【解析】设扇形的半径为，则弧长为
扇形的面积．
当时，（弧度），
故当弧度时，．
【变式】已知扇形的中心角为弧度，其面积为，求扇形的周长和
弦的长．
【解析】设扇形的半径为，则，∴，．
∴扇形的周长为，
∵，∴．
6．任意角的三角函数
⑴三角函数的定义：设是角终边上任一点，且，
则 ； ； ．
⑵三角函数的符号：（1）一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正
（2）正弦一二正、余弦一四正、正切一三正
⑶特殊角的三角函数值
角
弧度数
不存在
【例3】已知角的终边上一点，且，求的值．
【解析】由题设知，，．
∴ ， 解得或或．
当时， ，， ∴．
当时， ，，
∴．
当时， ，，
∴．
【变式】角的终边上有一点，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】由题设知，
∴当时， ，
当时， ．
第31课 任意角的三角函数课后练习题
1．若，则角是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
【答案】D
2．角终边过点，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴，∴ ．
4. 若是第二象限的角，则 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】，若是第二象限角，则 是第三象限角，再逆时针旋转 ，得是第一象限角．故选A.
5．(2013·福州模拟)下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 为第二象限角， ，选C.
6．若 ，且角 的终边经过点，则 点的横坐标 是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，解得 .
6．已知，，则的终边在( )
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限或x轴上 D．第一或第四象限或x轴上
【答案】C
【解析】依题意有，，即的终边在第四象限或轴正半轴上．所以在第二或第四象限或轴上．
8．已知扇形的周长是 ，面积是 ，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【答案】C
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则由题意得
解得， 或， .从而 或.
9．若角和的终边关于直线 对称，且 ，则角 的取值集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由对称性知，角的终边与的终边相同，故角β的取值集合是.故选B.
10．扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为__________
【答案】
【解析】因为，所以扇形面积为.故选A.
11．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为__________．
【答案】
【解析】该点坐标是，则是第四象限角．所以角的最小正值为.
12．填写下表.
角α的度数 角α的弧度数 角α所在的象限 在(－4π，π)内与α终边 相同的角
13.已知点 在角的终边上，求 ， ， 的值．
【解析】因为 ，所以 .
(1)当 时，则 ，
，，；
(2)当时，则 ，
，c，.
14．(2013·包头月考)已知角 的终边上有一点 ，且
求的值．
【解析】，依题意，，
∴,即，解得 或 ，
经检验知不合题意，舍去．故.
15．(2013·江门、佛山二模)在平面直角坐标系 中，以为始边，角的终边与单位圆 的交点在第一象限，已知 ．
(1)若 ，求 的值．(2)若点横坐标为，求 .
【解析】(1)由题可知：， ，则
， ，
由 ，得 ，所以 ， .
(2)由(1)， 记 ， ，
所以，，
∵ ， ，得，
，
所以.
1．任意角
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角
2．终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成
3．象限角
第一象限角的集合 第二象限角的集合
第三象限角的集合 第四象限角的集合
4．非象限角
在轴的正半轴上 在轴的正半轴上
在轴的负半轴上 在轴的负半轴上
在轴上 在轴上
在坐标轴上
【例1】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．
【解析】∵角是第二象限角，∴ ，
（1），
∴ 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上．
（2），
当时，∴ ，∴的终边在第一象限．
当时，∴，∴的终边在第三象限．
综上所述，的终边在第一象限或第三象限．
归纳：已知角所在象限，确定所在象限的几何法如下：
⑴画出区域：把各象限均分等份；
⑵标号：从轴的正向起，逆时针将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环；
⑶确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求．
5．弧度制
（1）弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫弧度角．
； ； ．
（2）弧长公式：（是圆心角的弧度数）．（3）扇形面积公式：．
（4）扇形周长公式： （ 是弧长， 是半径）
【例2】已知一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
【解析】设扇形的半径为，则弧长为
扇形的面积．
当时，（弧度），
故当弧度时，．
【变式】已知扇形的中心角为弧度，其面积为，求扇形的周长和
弦的长．
【解析】设扇形的半径为，则，∴，．
∴扇形的周长为，
∵，∴．
6．任意角的三角函数
⑴三角函数的定义：设是角终边上任一点，且，
则 ； ； ．
⑵三角函数的符号：（1）一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正
（2）正弦一二正、余弦一四正、正切一三正
⑶特殊角的三角函数值
角
弧度数
不存在
【例3】已知角的终边上一点，且，求的值．
【解析】由题设知，，．
∴ ， 解得或或．
当时， ，， ∴．
当时， ，，
∴．
当时， ，，
∴．
【变式】角的终边上有一点，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】由题设知，
∴当时， ，
当时， ．
第31课 任意角的三角函数课后练习题
1．若，则角是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
【答案】D
2．角终边过点，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴，∴ ．
4. 若是第二象限的角，则 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】，若是第二象限角，则 是第三象限角，再逆时针旋转 ，得是第一象限角．故选A.
5．(2013·福州模拟)下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 为第二象限角， ，选C.
6．若 ，且角 的终边经过点，则 点的横坐标 是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，解得 .
6．已知，，则的终边在( )
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限或x轴上 D．第一或第四象限或x轴上
【答案】C
【解析】依题意有，，即的终边在第四象限或轴正半轴上．所以在第二或第四象限或轴上．
8．已知扇形的周长是 ，面积是 ，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【答案】C
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则由题意得
解得， 或， .从而 或.
9．若角和的终边关于直线 对称，且 ，则角 的取值集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由对称性知，角的终边与的终边相同，故角β的取值集合是.故选B.
10．扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为__________
【答案】
【解析】因为，所以扇形面积为.故选A.
11．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为__________．
【答案】
【解析】该点坐标是，则是第四象限角．所以角的最小正值为.
12．填写下表.
角α的度数 角α的弧度数 角α所在的象限 在(－4π，π)内与α终边 相同的角
13.已知点 在角的终边上，求 ， ， 的值．
【解析】因为 ，所以 .
(1)当 时，则 ，
，，；
(2)当时，则 ，
，c，.
14．(2013·包头月考)已知角 的终边上有一点 ，且
求的值．
【解析】，依题意，，
∴,即，解得 或 ，
经检验知不合题意，舍去．故.
15．(2013·江门、佛山二模)在平面直角坐标系 中，以为始边，角的终边与单位圆 的交点在第一象限，已知 ．
(1)若 ，求 的值．(2)若点横坐标为，求 .
【解析】(1)由题可知：， ，则
， ，
由 ，得 ，所以 ， .
(2)由(1)， 记 ， ，
所以，，
∵ ， ，得，
，
所以.