高中数学 4.6向量的应用学案 湘教版必修2

4.6向量的应用学案
教学目标：
1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；
2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．
教学重点：
运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．
教学难点：
实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作 ( http: / / www.21cnjy.com )用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．
教学方法：
启发式教学．
教学过程：
一、情景创设
问题1　如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂
一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？
二、学生活动
问题2　我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？
②绳子OA与绳子OB的拉力有什么关系？
学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G=0．
②F1=F2．
问题3　如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为向量，重力表示为向量，则向量、、之间有什么关系？
学生讨论得出结论：++=．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系
三、建构数学
问题4　你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？
学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量、之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量、的模．
学生讨论解决问题：
过A，B两点分别作OB、OA的平行线，相交于D点，则四边形OADB是菱形，连接OD，则OD=||=10，因为OA=OB=AD=BD，且∠AOB=120o，所以ΔOAD是等边三角形，
所以OA=AD=OD=10，即||=10，||=10．亦即每根绳子的拉力都是10N．
变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？
小结：（由学生讨论，教师整理）1.利用向量 ( http: / / www.21cnjy.com )解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．
四、数学应用
1．例题．
例1　如图（1）所示，无弹性的细绳的一端分别固定在处，同质量的细绳下端系着一个称盘，且使得，试分析三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？
题后反思：（1）本题你还最想知道什么？
（2）绳子OB与绳子OC所受力的大小比较的本质是什么？
（3）你还能提出一些什么问题？
例2　已知： ，求证：．
题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？
　 （2）从例2中你能得出什么结论？
学生讨论得出结论：三角形ABC的三条高交于一点．
例3　已知直线经过点，用向量方法求的方程．
分析：设是直线上任意一点，由与共线的条件可推导得直线方程．
2．练习．
（1）已知作用于点的力的大小分别为6，8，且两力间的夹角为，则两力合力的大小为__ ．
（2）在四边形中，·=0,=，则四边形是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．
（3）如图，一个三角形角铁支架ABC安装在墙壁上，
AB∶AC∶BC=3∶4∶5，在B处挂一个6kg的物体，
求角铁AB与BC所受的力（取g=10m/s2）．
（4）已知两点,，试用向量的方法证明以
线段为直径的圆的方程为．
（5）一条河两岸平行，河宽，一艘船从处出发航行到河的正对岸的处，船航行速度，水速，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，与的夹角是多少？
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．如何把物理学问题转化为数学问
2．如何把几何学问题转化为向量问题？
3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．
4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具
5．数形结合法．
120o
10N
120o
10N
O
A
B
C
120o
10N
O
A
B
C
120o
O
A
B
C
D
A
O
B
C
(1)
A1
O
B1
(2)
C1
A
B
C