高中数学 4.6向量的应用学案 湘教版 必修2

4.6向量的应用学案
1、理解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。2、提高分析问题和解决问题的能力。
【知识点回顾】
（1）共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λ
（2）平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2使
（3）两个非零向量平行和垂直的充要条件：设=(x1,y1),=(x2,y2)
①∥＝λx1y2-x2y1=0
②⊥=0x1x2+y1y2=0
（4）数值计算公式
（1）两点间的距离公式：
若=(x,y)，则||2=x2+y2或||=；
若设P1(),P2(x2,y2)，则||=
（2）中点坐标公式：设P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y)为P1P2的中点，则
（3）两向量的夹角公式：设=(x1,y1),=(x2,y2)，的夹角为θ，
则cosθ==
【基础知识】
1、已知是以点A(3,-1)为起点，且与向量= (-3,4)平行的单位向量，则向量的终点坐标是　　　　　　　　　　.
2、已知||=1,||=1，与的夹角为60°, =2－，=3－,则与的夹角是多少？
3、已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4，||=5,则的值等于　　　　。
4、设0≤θ<2，=(cosθ,sinθ), =(2+sinθ,2-cosθ)，则向量的长度的最大值是_____.
5、设F1、F2是双曲线(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，=0，=2，则a的值为________________
【例题分析】
1、如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内任意一点，求证：。
2、已知=（cosα，sinα）,=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，
（1）求证： 与互相垂直；
（2）若与的大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α
3、已知，动点P从开始，沿着与向量相同的方向
匀速直线运动，速度为；另一动点Q从开始，沿着与向量
同的方向做匀速直线运动，速度为。设P、Q在时分别在处，
则当时所须的时间为多少？
4、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；
（1）求点C的轨迹方程；
（2）求证：；
（3）在x轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
5、在风速为km/h的西风中，飞机以
150km/h的航速向西北方向飞行，
求没有风时飞机的 航速和方向。
【巩固迁移】
1、将函数y=2sin(x+)的图象按向量=(,1)平移后得到的函数为____________
2、一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度||=10km/h，水流的速度||=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？
3、已知A（1，2），B（3，1），C（-1，0）。（1）求向量的坐标，并求它的模；
（2）取点D，使，求点D的坐标；（3）设向量与的夹角为θ，求cosθ的值；
（4）求平行四边形ABCD的面积。
4、已知△ABC的顶点坐标为A(1,0)、B(5,8)、C(7,-4)，在AB边上有一点P，其横坐标为4，
在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分。
O
A
D
C
B
P
图5—3
图5—3
E
A
B
D
C