高中数学 2.3幂函数学案 湘教版必修1

课题：幂函数
目标要求
了解幂函数的概念．
结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解它们的变化情况．
知识原理
形如y=xα（α为常数）的函数叫幂函数．
y=xα的系数是1；
底数是自变量，指数是常量．
幂函数的图象特征与性质：
幂函数图象必经过（1，1）点，在第一象限必有图象，在第四象限没有图象；
a＞0时，幂函数图象必过原点（0，0），在第一象限的图象上升，函数在[0，＋∞上递增；
a＜0时，幂函数图象不过原点（0，0），在第一象限的图象下降，函数在（0，＋∞）上递减．
函数y=(cd≠0，且a，b不同时为0)的原型为y=，它具有下例性质：
函数的图象是中心对称图形（双曲线），对称中心为（－，）；
直线x=－和y=是函数图象的两条渐近线；
当ad＞bc时，函数有递增区间（－∞，－），（－，＋∞）；
当ad＜bc时，函数有递减区间（－∞，－），（－，＋∞）．
函数y=ax＋(a＞0，b＞0)是幂函数y=x与y=的线性组合，它具有性质：
函数的图象夹在直线x=0与y=ax之间，并以这两条直线为渐近线；
函数的增区间是（－∞，－），（，＋∞）；减区间是（－，0），（0，）；
函数有极小点x=，y极小=；极大点x=－，y极大=－．
例题分析
例1 给定实数a,a≠0，且a≠1，设函数y= (x∈R,x≠).
证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴；
（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．
例2 已知函数f(x)=,g(x)= .
证明f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间；
分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f ( http: / / www.21cnjy.com )(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
例3 设a＞0，f(x)= =ax＋，试讨论函数f(x)在（0,＋∞）中的单调性，最大值与最小值．
例4 已知a，b是方程4x2－4tx－1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f(x)= 的定义域为[a，b].
求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
证明：对于ui∈(0,)(i=1,2,3),若sinu1＋sinu2＋sinu3=1，则＋＋
巩固练习
一、选择题
1.函数f(x)=是幂函数，当x＞0时是减函数，则m的取值集合是（ ）
A．{－1,2}B．{m｜－1＜m＜3}C．{2}D．{－1}
2.下列命题中正确的是（ ）
A．当a＝0时函数y=xa的图象是一条直线； B．幂函数的图象经过（0,0）和（1,1）点;
C．若幂函数f(x)= xa是奇函数，则必有f(0)=0; D．幂函数图象不可能出现在第四象限．
3.已知0＜a＜b＜1，设aa，ab，ba，bb中的最大者是M，最小者是m，则（ ）
A．M=aa，m=bb B．M=bb，m=aa C．M=ab，m=ba D．M=ba，m=ab
4．已知函数y=f(x)是偶函数，当x>0时，，且当x∈[－3，－1]时,f(x)的值域为[n，m]，则m－n的值是 （ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
5.已知函数y=的图象与函数y=的图象有两个交点（x1，y1），（x2，y2），则x1－y1＋x2－y2＝ ．
6.已知，则实数a的取值范围是 ．
7.对于函数（x∈R），给出下列命题
①函数f (x)的值域为（－1，1）；
②若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；
③若规定，，则，对任意n∈N*恒成立．则上述三个命题中正确的题号是__________．
三、解答题
8.已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x＋＋2的图象关于点A（0,1）对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)＋，且g(x)在区间（0,2上为减函数，求实数a的取值范围．
9.已知函数.
（1）证明：对定义域内的所有x，都有.
（2）当f(x)的定义域为[a+, a+1]时，求f(x)的值域．.
（3）设函数g(x) = x2+| (x－a) f(x) | , 若，求g(x)的最小值.
10.已知f(x)= （a，c∈R，a>0，b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1) >．
（1）试求函数f(x)的解析式；
（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象只交于P，Q两点，并且使得P，Q两点的中点为（1,0）点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．