数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数（共26张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数（共26张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-20 15:46:17 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
课堂小结
3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法.
瞬时速度
平均速度
y = f (x)
平均变化率
瞬时变化率
在 x = x0 处
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数
P0
P
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
几何意义
割线P0P的斜率
切线P0T 的斜率
1. 导数的定义
如果当 x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即
复习引入
2.导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)就是切线的斜率，即
3.如何求函数y=f(x)的导数
§5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
高中数学人教A版（2019）选择性必修2
探究新知
1.函数 y＝f (x)＝c 的导数
即
也就是说任意一个常数的导数是0.
追问：若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0的物理意义是什么？
若y=c表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 所以路程保持不变，是关于时间的常值函数.
x
y
O
y＝c
2.函数 y＝f (x)＝x 的导数
即
若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
x
y
y=x
O
追问：若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1的物理意义是什么？
3.函数 y＝f (x)＝x2 的导数
即
追问1： y′= 2x的几何意义是什么？
表示函数y＝x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′= 2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加， |y′|越来越大， y＝x2增加得越来越快.
追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？
某物体做变速直线运动，
它在时刻x的瞬时速度为2x.
4.函数 y＝f (x)＝x3 的导数
追问1：还有没有其它得到 的方法？
即
追问2：y′＝3x2的几何意义是什么？
x
y
O
y＝x3
y′＝3x2表示函数y＝x3的图像上的点(x, y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
追问3：随着x的变化，函数y=x3的导数y′＝3x2也在变化，导数随x的变化反映出了函数y=x3怎样的变化？
当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y=x3增增加得越来越快；当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x3增加得越来越慢. 从导函数的非负性来看，除x=0时函数的导数为0外，函数的导数恒为正，因此函数在定义域上恒为增函数.
x
y
O
y＝x3
5.函数 y＝f (x)＝ 的导数
x
1
—
追问1: 画出函数 的图象. 根据函数 的图象，结合函数的导数，描述它的变化情况.
结合函数图象及其导数 发现，当x<0时，随着x的增加，函数 减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数 减少得越来越慢.
追问2：求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
x+y-2=0
即
6.函数 y＝f (x)＝ 的导数
O
x
y
即
追问1：该函数的定义域及其导数的定义域是否一样？
不一样，
原函数的定义域为{x|x ≥ 0} ，
导数的定义域为{x|x > 0} .
问题: 前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数——幂函数，根据这些幂函数的导数结果，
你能总结出对于一般幂函数 的导函数公式吗？
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
二项式系数表
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
[南宋]杨辉
(n∈N*)
《详解九章算法》记载的表
公式
证明： 的情况.
说明：实际上，此公式对n∈R都成立，但证明较复杂，此处只给出了n∈N*的证明．
(n∈N*)
看几个例子:
练习.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，
求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
分析：这两个公式的证明需要用到三角函数的和差化积公式
和重要的极限
证明:(公式3)
☆以下公式需熟记，但其推导过程不要求掌握，仅作了解
证明:
公式5：对数函数的导数
（1）
重要极限
证明：
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数．一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用．
基本初等函数的导数公式
必须熟记于心！
【思路点拨】 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导．
提示：不正确．
２．函数f(x)＝π＋2的导数．
[解析] ∵π＋2为常数，∴f′(x)＝0.
问题探究
例3. 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)
解：
根据基本初等函数的导数公式表，有
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
如果某种商品的p0=5 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少
课堂小结
3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法.
瞬时速度
平均速度
y = f (x)
平均变化率
瞬时变化率
在 x = x0 处
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数
P0
P
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
几何意义
割线P0P的斜率
切线P0T 的斜率
1. 导数的定义
如果当 x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即
复习引入
2.导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)就是切线的斜率，即
3.如何求函数y=f(x)的导数
§5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
高中数学人教A版（2019）选择性必修2
探究新知
1.函数 y＝f (x)＝c 的导数
即
也就是说任意一个常数的导数是0.
追问：若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=0的物理意义是什么？
若y=c表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 所以路程保持不变，是关于时间的常值函数.
x
y
O
y＝c
2.函数 y＝f (x)＝x 的导数
即
若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
x
y
y=x
O
追问：若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数，则y′=1的物理意义是什么？
3.函数 y＝f (x)＝x2 的导数
即
追问1： y′= 2x的几何意义是什么？
表示函数y＝x2的图象上点(x, y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， y′= 2x表明：当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小， y＝x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加， |y′|越来越大， y＝x2增加得越来越快.
追问2：若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？
某物体做变速直线运动，
它在时刻x的瞬时速度为2x.
4.函数 y＝f (x)＝x3 的导数
追问1：还有没有其它得到 的方法？
即
追问2：y′＝3x2的几何意义是什么？
x
y
O
y＝x3
y′＝3x2表示函数y＝x3的图像上的点(x, y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
追问3：随着x的变化，函数y=x3的导数y′＝3x2也在变化，导数随x的变化反映出了函数y=x3怎样的变化？
当x>0时，随着x的增加，|y′|越来越大，y=x3增增加得越来越快；当x<0时，随着x的增加，|y′|越来越小，y=x3增加得越来越慢. 从导函数的非负性来看，除x=0时函数的导数为0外，函数的导数恒为正，因此函数在定义域上恒为增函数.
x
y
O
y＝x3
5.函数 y＝f (x)＝ 的导数
x
1
—
追问1: 画出函数 的图象. 根据函数 的图象，结合函数的导数，描述它的变化情况.
结合函数图象及其导数 发现，当x<0时，随着x的增加，函数 减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数 减少得越来越慢.
追问2：求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
x+y-2=0
即
6.函数 y＝f (x)＝ 的导数
O
x
y
即
追问1：该函数的定义域及其导数的定义域是否一样？
不一样，
原函数的定义域为{x|x ≥ 0} ，
导数的定义域为{x|x > 0} .
问题: 前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数——幂函数，根据这些幂函数的导数结果，
你能总结出对于一般幂函数 的导函数公式吗？
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
二项式系数表
1
1
1
2
1
1
3
3
1
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6
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1
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5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
[南宋]杨辉
(n∈N*)
《详解九章算法》记载的表
公式
证明： 的情况.
说明：实际上，此公式对n∈R都成立，但证明较复杂，此处只给出了n∈N*的证明．
(n∈N*)
看几个例子:
练习.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，
求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
分析：这两个公式的证明需要用到三角函数的和差化积公式
和重要的极限
证明:(公式3)
☆以下公式需熟记，但其推导过程不要求掌握，仅作了解
证明:
公式5：对数函数的导数
（1）
重要极限
证明：
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数．一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用．
基本初等函数的导数公式
必须熟记于心！
【思路点拨】 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导．
提示：不正确．
２．函数f(x)＝π＋2的导数．
[解析] ∵π＋2为常数，∴f′(x)＝0.
问题探究
例3. 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为 其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)
解：
根据基本初等函数的导数公式表，有
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
如果某种商品的p0=5 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少