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2024年上海市中考数学模拟预测热身试卷（解析版）
（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）
选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】根据无理数的估算方法计算即可．
【详解】，
，
∴的值在2和3之间，
故选：B．
2．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选A．
3．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程，解方程并检验即可解题.
【详解】解：将方程两边平方得，
解得：
经检验：是原无理方程的解；
故选C．
4．如果点、、在反比例函数的图像上，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知函数的图象在二、四象限，由三点的横坐标可知、在第二象限，在第四象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵点、、在反比例函数的图像上，，
∴，
故选B．
5．如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ）
A．测得的最高体温为37.1℃
B．前3次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8
D．这组数据的中位数是36.6
【答案】D
【分析】根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可．
【详解】解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意；
B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；
C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；
D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；
故选：D．
6．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】过点A作于H，交于M，如图，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为x，则，再证明，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可．
【详解】解：如图，过点A作于H，交于M，
∵的面积是32，，
∴，
∴，
设正方形的边长为x，则，
∵，
∴，
∴ ，
，解得∶，
即这个正方形的边长是4．
故选：A．
二、填空题
7．函数中自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴；
故答案为：．
8．因式分解：a3－a= ．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
9．已知，那么 ．
【答案】
【分析】将代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
10．分式方程的解是 ．
【答案】
【分析】根据解分式方程的基本步骤计算求解即可．
【详解】∵，
∴，
解得或．
经检验，是原方程的根，是原方程的增根；
故原方程的根为．
故答案为：．
11 .已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，
那么元这个小组的组频率是_________
【答案】0.4
【分析】根据频率等于频数除以总数进行计算即可．
【详解】解：由图可知，元这个小组的频数为：80人，
∴元这个小组的频率为：=0.4
故答案为：0.4
12．若点关于y轴的对称点在第三象限，则字母m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】点关于y轴对称的点为，
又在第三象限，
解得：．
故答案为：．
13．如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，如果点E是边的中点，那么 ．
【答案】5
【分析】根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴．
故答案为：5．
14．已知点为的重心，，，那么 ．（用、表示）
【答案】
【分析】根据中线的性质得到，再利用重心的性质即可解答．
【详解】解：如图所示，
∵点是的中点，向量AE=向量AB+向量BE,所以向量AE=a向量+1/2b向量，
所以这道题的答案是2/3a向量+1/3b向量
∴，
∵点为的重心，
∴，
故答案为．
15.如图，在中，，将绕着点旋转后，点落在边上的点处，
点落在点处，与相交于点，如果，那么的大小是 ．
【答案】
【分析】设，由，得，，再由旋转的性质得，，从而有，同理可证：，利用三角形的内角和定理构造方程即可求解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，，
∵将绕着点旋转后，点落在边上的点处，点落在点处，与相交于点，
∴，，
∵，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
故答案为．
16．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟．
【答案】5
【分析】分别求出函数的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．
【详解】解：设函数，
∴，
∴，
∴，
联立，
解得，
∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等，
故答案为：5．
17．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：
如图所示，取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线；分别取中点E、F，联结；过点A作垂线，分别交于G、H两点；分别取中点M、N，联结，
沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形的面积是 平方厘米．
【答案】50
【分析】根据勾股定理求出BD，证明四边形是正方形，即可解得．
【详解】根据勾股定理可得，
，
∵中点E、F，联结，
∴，
，
∵N是的中点，
∴
∵根据对称性，，
∴，
∵，
，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
故答案为：50．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】化简零指数幂，负整数指数幂，二次根式，绝对值，代入特殊角三角函数值，利用相关运算法则进行简便运算，再合并同类二次根式，最后再加减．
【解析】解：原式=
=
=
20．解方程组：
【答案】或
【分析】利用代入消元法，将方程组转化为一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：由①得：，
把代入②得：，
整理，得：，
解得：；
当时，；
当时，；
∴方程组的解为：或．
21．购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过元，超过元的金额打折，店购物的实付总金额(元)与商品总金额(元)之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折．
(1)当A店购买的商品总金额超过元时，求出与之间的函数解析式；
(2)A店推出的促销活动中：________；
(3)某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是元，而在店的实付总金额是元．请求出店这种型号优盘的单价．
【答案】(1)
(2)
(3)元
【分析】（1）根据图象，用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据图象可以求出的值；
（3）先求出两个商店的商店金额，再作差，根据店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同，得出两个商店商店总金额的差额即为购买的优盘数，再求出商店优盘单价即可．
【详解】（1）据图象设当时，与之间的函数解析式为，
把，代入解析式得：
，
解得，
∴；
（2）根据题意得：，
解得，
故答案为：；
（3）在店购买：当时，，
解得，
商品总金额为元；
在店购买商品总金额为：元，
两个商店商品总金额的差为元，
店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同，
店的单价为元．
已知：如图，是的直径，C是上一点，，垂足为点D，F是的中点，
与相交于点E，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【解析】（1）解：如图，连接，
∵F是中点，
∴
∴
∵
∴且，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，
射线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质证明，即可得证；
（2）根据已知可得出，根据（1）的结论得出，根据对顶角相等，平行线的性质得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而得出，根据互余关系得出，根据正切的定义得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，
抛物线的顶点为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线解析式；
(2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数解析式，求得点，代入，即可求解；
（2）过点作轴，垂足为，过点作于点，证明得出，代入抛物线解析式即可求解；
（3）设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，由得出，根据，列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
当时，，
∴，
若抛物线经过点，则
解得：或（舍去）
∴抛物线解析式为；
（2）∵的顶点为．
∴
如图所示，过点作轴，垂足为，过点作于点，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∵在抛物线上，
∴
解得：，
∴，
（3）解：如图所示，设直线与轴交于点，与轴交于点，
由，令，得，则，
∴，
∴是等腰直角三角形
∵轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则
过点作，则是等腰直角三角形，则，则
∴
∵，
∴
又
∴
即
∴
解得：或（舍去）
在矩形中，，点为边中点，点关于的对称点为点，
点在矩形内，连接．
(1)如图1，连接，当点恰好落在对角线上时，求的长度；
(2)如图2，连接，如果，，请求出它们之间的函数关系式；
(3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度．
【解析】（1）解：四边形是矩形，
，
点关于的对称点为点，
，
，
，
，
，
点为边中点，
，
，
；
（2）解：如图所示，令和相交于点，
，
点关于的对称点为点，
点为的中点，，
点为边中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当时，如图所示：
，
点关于的对称点为点，
，
，
；
当时，如图所示：
，
作交于点，作交于，
由题意可得：，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
，
解得：，
，
的长为：或．
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2024年上海市中考数学模拟预测热身试卷
（考试时间：100分钟 试卷满分：150分）
选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，
选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
2．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．如果点、、在反比例函数的图像上，那么（ ）
A． B． C． D．
5．如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ）
A．测得的最高体温为37.1℃
B．前3次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8
D．这组数据的中位数是36.6
6．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
二、填空题
7．函数中自变量的取值范围是 ．
8．因式分解：a3－a= ．
9．已知，那么 ．
10．分式方程的解是 ．
11 .已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，
那么元这个小组的组频率是_________
12．若点关于y轴的对称点在第三象限，则字母m的取值范围为 ．
13．如图，在菱形中，对角线与交于点O，已知，，
如果点E是边的中点，那么 ．
14．已知点为的重心，，，那么 ．（用、表示）
15.如图，在中，，将绕着点旋转后，点落在边上的点处，
点落在点处，与相交于点，如果，那么的大小是 ．
16．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟．
17．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，
则当取最大值时，点A的坐标为 ．
七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：
如图所示，取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线；分别取中点E、F，联结；过点A作垂线，分别交于G、H两点；分别取中点M、N，联结，
沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形的面积是 平方厘米．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程组：
21．购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过元，超过元的金额打折，店购物的实付总金额(元)与商品总金额(元)之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折．
(1)当A店购买的商品总金额超过元时，求出与之间的函数解析式；
(2)A店推出的促销活动中：________；
(3)某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是元，而在店的实付总金额是元．请求出店这种型号优盘的单价．
已知：如图，是的直径，C是上一点，，垂足为点D，F是的中点，
与相交于点E，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，
射线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，
抛物线的顶点为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线解析式；
(2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值．
在矩形中，，点为边中点，点关于的对称点为点，
点在矩形内，连接．
(1)如图1，连接，当点恰好落在对角线上时，求的长度；
(2)如图2，连接，如果，，请求出它们之间的函数关系式；
(3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度．
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