2023-2024学年人教版初中数学七年级下册 7.2.2 用坐标表示平移 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个単位，再向上平移5个单位后与点重合，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020七下·武汉期末）在平面直角坐标系中，点A(x，y)，B(3，4)，AB＝5，且AB∥x轴，则A点坐标为（ ）
A．(﹣3，4) B．(8，4)
C．(3，9)或(﹣2，4) D．(﹣2，4)或(8，4)
3．（2023七下·闽侯期末）在平面直角坐标系中，将，沿着轴的负方向向下平移个单位后得到点．有四个点，，，一定在线段上的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2023·黄石）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·铜仁期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为，，．若，且，则点Q的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
6．（2022七下·纳溪期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），点A2021的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2）
C．（﹣3，3） D．（2，4 ）
7．（2022七下·康巴什期末）我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为，例如图①中，点与点之间的折线距离为．如图②，已知点若点的坐标为，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
8．（2023七下·黄陂期末）已知两点，的距离为4，且直线轴，则的算术平方根为 ；
9．（2023八下·黄岛期末）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，点第1次向上平移2个单位至点，接着又向左平移2个单位至点，然后再向上平移2个单位至点，向左平移2个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标是 ．
10．（2022九上·栾城开学考）已知，三个顶点坐标为、、，则D点坐标为 ．
11．（2020八上·三元月考）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标的最大值，则“矩面积” .例如：三点坐标分别为A（1，2）、B（-3，1）、C（2，-2），则“水平底” =5，“铅垂高” =4，“矩面积”S=20.若D（1，2）、E（-2，1），F（0，t ）三点的“矩面积”S=15，则的 值为 .
12．（2023七下·武昌期末）如图，正方形ABCD的两个顶点，，对正方形ABCD进行如下变换：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形，其中B的对应点为，D的对应点为，若正方形ABCD内部的一个点F经过上述相同变换后得到的对应点与点F重合，则F点的坐标为 ．
三、解答题
13．（2019八上·南山期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），
则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为 ；
（2）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．
14．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，6），B（﹣3，2），C（0，3），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF．
（1）分别写出△DEF各顶点的坐标；
（2）如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
四、作图题
15．如图，在平面直角坐标系中，平行于轴的线段AB上的所有点的纵坐标都是-1，横坐标的取值范围是1≤r≤5，则线段AB上任意一点的坐标可以用“（x，-1）（1≤r≤5）”表示，按照这样的规定，回答下列问题.
（1）怎样表示线段CD上任意一点的坐标？
（2）把线段AB向上平移3个单位，画出所得到的线段，线段上任意一点的坐标可以怎样表示？
（3）把线段CD向右平移3个单位，画出所得到的线段，线段上任意一点的坐标又可以怎样表示？
五、综合题
16．（2023八上·佳木斯开学考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，且，满足，已知点坐标为，
（1）求、的值及的面积；
（2）若点在坐标轴上，且，请直接写出点的坐标．
17．（2023七下·通榆期末）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移3个单位长度，平移后的图形为三角形．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
① ▲ 秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数；
②用含有的式子表示点的坐标；
③当时，设；，，探索，，之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（-3，2）重合，
∴x-3=-3，y+5=2，
解得x=0，y=-3，
所以，点A的坐标是（0，-3）．
故答案为：B.
【分析】根据点的平移规律：向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y；然后写出即可．
2．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，B(3，4)，
∴点A的纵坐标为4，
∵AB＝5，
∴点A的横坐标为3﹣5＝﹣2或3＋5＝8，
∴A点坐标为(﹣2，4)或(8，4)，
故答案为：D.
【分析】根据AB∥x轴，可知点A，B的纵坐标相等，再由AB=5，可以看着将点B向右或向左平移5个单位长度，由此可得点A的横坐标，即可得到点A的坐标。
3．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ 将，沿着轴的负方向向下平移个单位后得到点，
∴点B（1，m2-2m2-3）即（1，-m2-3）
∵-m2-4＜-m2-3，
∴点M不在线段AB上，故A不符合题意；
∵-2m2-3＜-m2-3，
∴点N不在线段AB上，故C不符合题意；
∵-m2＞-m2-3，
∴点P一定在线段AB上，故C符合题意；
∵m2＞时，-3m2＜-m2-3，
∴点Q不在线段AB上，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用点的坐标平移规律可得到点B的坐标，再根据已知四个点的纵坐标和点B的横坐标的大小关系，可得到一定在线段AB上的点.
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵线段CD由线段AB平移得到，
∴平移的方向是A到C，平移的距离为AC长，
∵A（1，0），C（-2，1），B（4，m），D（a，n），
∴A与C，B与D分别为对应点，∴m-n=0-1=-1．
故答案为：B.
【分析】先根据A，C两点的坐标，确定平移的方向和距离，再求m-n的值.
5．【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵ AB∥PQ，
∴ 点Q可以看作由点P沿着直线AB平移得到的
如图所示：
∵ 点A（3，0），B（0，2），P（1，4）
∴ （1）当点A的对应点为P时，则点A（3，0） P（1，4）
点B的对应点为Q，则点B（0，2） （-2，6）
∴ （2）当点B的对应点为P时，则点B（0，2） P（1，4）
点A的对应点为Q，则点A（3，0） （4，2）
综上所述，Q的坐标是（-2，6）或（4，2）
故答案为A
【分析】本题考查点的平移规律。要注意两种情况分别计算点的坐标。点的平移规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减.
6．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A1（2，4），
由题意得：点A2（-3，3），点A3（-2，-2），点A4（3，-1），点A5（2，4），
∴每4个点为一个循环周期，
∵2021÷4=505…1，
∴A2021（2，4）.
故答案为：D.
【分析】根据伴随点的定义，由点A1（2，4），依次计算出点A2（-3，3），点A3（-2，-2），点A4（3，-1），点A5（2，4），可知每4个点为一个循环周期，用2021除以4，再根据商和余数情况确定A2021的坐标即可.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵，点的坐标为，，
∴，
解得：或．
故答案为：D．
【分析】根据两点之间的折线距离公式结合，列出关于t的绝对值方程并解之即可.
8．【答案】1或3
【知识点】算术平方根；坐标与图形性质
【解析】【解答】解： 直线轴， 且点，的距离为4，
∴b=5，=4，
∴a=，
∴b-a=1或9，
∴的算术平方根为1或3；
故答案为：1或3.
【分析】先求出a，b的值，再求出b-a的算术平方根即可.
9．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由图可得：A1（2，2）A3（0，4）A5（-2，6）A7（-4，8）
∴An（n为奇数）的横坐标为3-n，纵坐标为1+n
∴A2023的坐标为（-2020，2024）
故答案为：（-2020，2024）.
【分析】根据奇数点的横纵坐标的变化规律进行计算即可得出答案。
10．【答案】（4，0）
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：设 D(m，n)，
∵AC与BD的互相平分，
∴，
，
解得：m=4，n=0
故答案为：（4，0） .
【分析】利用平行四边形的性质，对角线互相平分，求出D点坐标.
11．【答案】 3或6
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵D（1，2）、E（ 2，1）、F（0，t），
∴“水平底”a＝1 （ 2）＝3.
“铅垂高“h＝1或|2 t|或|1 t|
①当h＝1时，三点的“矩面积”S＝1×3＝3≠15，不合题意；
②当h＝|2 t|时，三点的“矩面积”S＝3×|2 t|＝15，
|2 t|＝5，
解得：t＝ 3或t＝7（舍去）；
③当h＝|1 t|时，三点的“矩面积”S＝3×|1 t|＝15，
|1 t|＝5，
解得：t＝ 4（舍去）或t＝6；
综上：t＝ 3或6.
故答案为： 3或6.
【分析】根据矩面积的定义可得“水平底”a＝1 （ 2）＝3，“铅垂高“h＝1或|2 t|或|1 t|，然后分三种情况：①当h＝1时，②当h＝|2 t|时，③当h＝|1 t|时，利用“矩面积”定义分别列出方程，求出t值即可.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵A（0，0），C（6，6）正方形ABCD的边长为6；
∴点B（6，0），D（0，6）， 把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a
得B'（6a，0）D'（0，6a）； 将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形
B'平移得到B1，可列方程组：；
D'平移得到D1，可列方程组：；
联立两个方程组解得：
∴根据题意得平移变化，设F（x，y）则F1为平移后的点可得方程组；
，解得：
∴F
故答案为：
【分析】根据题意找出正方形ABCD的点坐标和平移关系，根据平移后的坐标 B'平移得到B1，D'平移得到D1，列出方程组，分别求出a，m，n，根据F平移后与F1重合列出方程组求解出F点坐标即可.
13．【答案】（1）（7，﹣3）
（2）解：（Ⅱ）设P（x，y），
依题意，得方程组： ，
解得 ，
∴点P（﹣2，1）．
（3）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），
∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
根据题意，有|PP'|=2|OP|，
∴|ka|=2a，
∵a＞0，
∴|k|=2．
从而k=±2
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），
故答案为：（7，﹣3）；
【分析】（Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得；（Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
14．【答案】解：（1）∵A（﹣2，6），B（﹣3，2），C（0，3），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF．
∴D（2，9），E（1，5），F（4，6）；
（2）连接AD，∵由图可知，AD==5，
∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标；
（2）连接AD，根据勾股定理求出AD的长，进而可得出结论．
15．【答案】（1）
（2）见解析；
（3）见解析；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（2）如图，.
（3）如图，.
【分析】（1）
（2）根据向上下平移的规律：横坐标不变，纵坐标由-1变为-1+3即变成2，由此可得出平移后的纵坐标为：2，横坐标x不变，由此即可表示出线段AB向上平移3个单位后任意一点的坐标可以表示为.
（3）根据左右平移规律：纵坐标y不变，横坐标由-1变为-1+3即变成2，将线段CD向右平移3个单位，则线段上任意一点的坐标可以表示为：.
16．【答案】（1）解：∵，即，
∴，．
∴，，
∴点，点，
又∵点，
∴，，
∴；
（2）点的坐标或或或．
【知识点】坐标与图形性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（2）分情况讨论，当点在x轴上时，
设点的坐标为，则
又∵，
∴，
∴．
∴，
即，解得：或，
故点的坐标为或；
当点在y轴上时，
设点的坐标为，则
又∵，
∴，
∴．
∴，
即，解得：或5，
故点的坐标为或；
综上，点的坐标或或或．
【分析】(1)利用非负数的性质，求出a，b的值，接着求出A、B的坐标，计算出BC、OA的长，利用三角形面积公式求出 ；
（2）当点在x轴上时，只需求出横坐标，可以利用“ ”求得；当点在y轴上时，只需求出纵坐标，可以利用“ ”求得.
17．【答案】（1）
（2）解：①2
②当点在线段上，即：时，；
当点在线段上，即：时，点的纵坐标为：，
∴；
综上：或；
③．
如图，连接、，过点作与交于点，
将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，
，
，，
，
，
，，，
．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵点C是点B（0，2）沿x轴负方向平移3个单位得到的，
∴点C的坐标为（-3，2）.
故答案为：C（-3，2）.
（2）①当点P在BC上运动时，设P（m，2），
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴ m=-2，
∴t=2；
当点P在CD上运动时，设P（-3，n），
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴ n=3，
∵n≤2
∴不合题意舍去；
综上所述，t=2 秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数.
故答案为：2.
【分析】（1）根据平移规律即可解答.
（2）①分为点P在BC和CD上两种情况进行讨论，由 点P的横坐标与纵坐标互为相反数即可得出答案.
②当点P在线段BC上时，P（-t，2），当点P在线段CD上时，P（-3，5-t）.
③连接BP、AP，过点P作PF∥BC与AB交于点F，根据平行线的性质即可解答.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册 7.2.2 用坐标表示平移 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个単位，再向上平移5个单位后与点重合，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A（x，y）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B（-3，2）重合，
∴x-3=-3，y+5=2，
解得x=0，y=-3，
所以，点A的坐标是（0，-3）．
故答案为：B.
【分析】根据点的平移规律：向左平移，横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出x、y；然后写出即可．
2．（2020七下·武汉期末）在平面直角坐标系中，点A(x，y)，B(3，4)，AB＝5，且AB∥x轴，则A点坐标为（ ）
A．(﹣3，4) B．(8，4)
C．(3，9)或(﹣2，4) D．(﹣2，4)或(8，4)
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，B(3，4)，
∴点A的纵坐标为4，
∵AB＝5，
∴点A的横坐标为3﹣5＝﹣2或3＋5＝8，
∴A点坐标为(﹣2，4)或(8，4)，
故答案为：D.
【分析】根据AB∥x轴，可知点A，B的纵坐标相等，再由AB=5，可以看着将点B向右或向左平移5个单位长度，由此可得点A的横坐标，即可得到点A的坐标。
3．（2023七下·闽侯期末）在平面直角坐标系中，将，沿着轴的负方向向下平移个单位后得到点．有四个点，，，一定在线段上的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ 将，沿着轴的负方向向下平移个单位后得到点，
∴点B（1，m2-2m2-3）即（1，-m2-3）
∵-m2-4＜-m2-3，
∴点M不在线段AB上，故A不符合题意；
∵-2m2-3＜-m2-3，
∴点N不在线段AB上，故C不符合题意；
∵-m2＞-m2-3，
∴点P一定在线段AB上，故C符合题意；
∵m2＞时，-3m2＜-m2-3，
∴点Q不在线段AB上，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用点的坐标平移规律可得到点B的坐标，再根据已知四个点的纵坐标和点B的横坐标的大小关系，可得到一定在线段AB上的点.
4．（2023·黄石）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵线段CD由线段AB平移得到，
∴平移的方向是A到C，平移的距离为AC长，
∵A（1，0），C（-2，1），B（4，m），D（a，n），
∴A与C，B与D分别为对应点，∴m-n=0-1=-1．
故答案为：B.
【分析】先根据A，C两点的坐标，确定平移的方向和距离，再求m-n的值.
5．（2023八下·铜仁期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为，，．若，且，则点Q的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】∵ AB∥PQ，
∴ 点Q可以看作由点P沿着直线AB平移得到的
如图所示：
∵ 点A（3，0），B（0，2），P（1，4）
∴ （1）当点A的对应点为P时，则点A（3，0） P（1，4）
点B的对应点为Q，则点B（0，2） （-2，6）
∴ （2）当点B的对应点为P时，则点B（0，2） P（1，4）
点A的对应点为Q，则点A（3，0） （4，2）
综上所述，Q的坐标是（-2，6）或（4，2）
故答案为A
【分析】本题考查点的平移规律。要注意两种情况分别计算点的坐标。点的平移规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减.
6．（2022七下·纳溪期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…若点A1的坐标为（2，4），点A2021的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣2，﹣2）
C．（﹣3，3） D．（2，4 ）
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A1（2，4），
由题意得：点A2（-3，3），点A3（-2，-2），点A4（3，-1），点A5（2，4），
∴每4个点为一个循环周期，
∵2021÷4=505…1，
∴A2021（2，4）.
故答案为：D.
【分析】根据伴随点的定义，由点A1（2，4），依次计算出点A2（-3，3），点A3（-2，-2），点A4（3，-1），点A5（2，4），可知每4个点为一个循环周期，用2021除以4，再根据商和余数情况确定A2021的坐标即可.
7．（2022七下·康巴什期末）我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为，例如图①中，点与点之间的折线距离为．如图②，已知点若点的坐标为，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵，点的坐标为，，
∴，
解得：或．
故答案为：D．
【分析】根据两点之间的折线距离公式结合，列出关于t的绝对值方程并解之即可.
二、填空题
8．（2023七下·黄陂期末）已知两点，的距离为4，且直线轴，则的算术平方根为 ；
【答案】1或3
【知识点】算术平方根；坐标与图形性质
【解析】【解答】解： 直线轴， 且点，的距离为4，
∴b=5，=4，
∴a=，
∴b-a=1或9，
∴的算术平方根为1或3；
故答案为：1或3.
【分析】先求出a，b的值，再求出b-a的算术平方根即可.
9．（2023八下·黄岛期末）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，点第1次向上平移2个单位至点，接着又向左平移2个单位至点，然后再向上平移2个单位至点，向左平移2个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由图可得：A1（2，2）A3（0，4）A5（-2，6）A7（-4，8）
∴An（n为奇数）的横坐标为3-n，纵坐标为1+n
∴A2023的坐标为（-2020，2024）
故答案为：（-2020，2024）.
【分析】根据奇数点的横纵坐标的变化规律进行计算即可得出答案。
10．（2022九上·栾城开学考）已知，三个顶点坐标为、、，则D点坐标为 ．
【答案】（4，0）
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：设 D(m，n)，
∵AC与BD的互相平分，
∴，
，
解得：m=4，n=0
故答案为：（4，0） .
【分析】利用平行四边形的性质，对角线互相平分，求出D点坐标.
11．（2020八上·三元月考）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标的最大值，则“矩面积” .例如：三点坐标分别为A（1，2）、B（-3，1）、C（2，-2），则“水平底” =5，“铅垂高” =4，“矩面积”S=20.若D（1，2）、E（-2，1），F（0，t ）三点的“矩面积”S=15，则的 值为 .
【答案】 3或6
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵D（1，2）、E（ 2，1）、F（0，t），
∴“水平底”a＝1 （ 2）＝3.
“铅垂高“h＝1或|2 t|或|1 t|
①当h＝1时，三点的“矩面积”S＝1×3＝3≠15，不合题意；
②当h＝|2 t|时，三点的“矩面积”S＝3×|2 t|＝15，
|2 t|＝5，
解得：t＝ 3或t＝7（舍去）；
③当h＝|1 t|时，三点的“矩面积”S＝3×|1 t|＝15，
|1 t|＝5，
解得：t＝ 4（舍去）或t＝6；
综上：t＝ 3或6.
故答案为： 3或6.
【分析】根据矩面积的定义可得“水平底”a＝1 （ 2）＝3，“铅垂高“h＝1或|2 t|或|1 t|，然后分三种情况：①当h＝1时，②当h＝|2 t|时，③当h＝|1 t|时，利用“矩面积”定义分别列出方程，求出t值即可.
12．（2023七下·武昌期末）如图，正方形ABCD的两个顶点，，对正方形ABCD进行如下变换：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形，其中B的对应点为，D的对应点为，若正方形ABCD内部的一个点F经过上述相同变换后得到的对应点与点F重合，则F点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵A（0，0），C（6，6）正方形ABCD的边长为6；
∴点B（6，0），D（0，6）， 把每个点的横、纵坐标都乘以同一个数a
得B'（6a，0）D'（0，6a）； 将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形
B'平移得到B1，可列方程组：；
D'平移得到D1，可列方程组：；
联立两个方程组解得：
∴根据题意得平移变化，设F（x，y）则F1为平移后的点可得方程组；
，解得：
∴F
故答案为：
【分析】根据题意找出正方形ABCD的点坐标和平移关系，根据平移后的坐标 B'平移得到B1，D'平移得到D1，列出方程组，分别求出a，m，n，根据F平移后与F1重合列出方程组求解出F点坐标即可.
三、解答题
13．（2019八上·南山期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），
则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为 ；
（2）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．
【答案】（1）（7，﹣3）
（2）解：（Ⅱ）设P（x，y），
依题意，得方程组： ，
解得 ，
∴点P（﹣2，1）．
（3）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），
∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
根据题意，有|PP'|=2|OP|，
∴|ka|=2a，
∵a＞0，
∴|k|=2．
从而k=±2
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），
故答案为：（7，﹣3）；
【分析】（Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得；（Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
14．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，6），B（﹣3，2），C（0，3），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF．
（1）分别写出△DEF各顶点的坐标；
（2）如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
【答案】解：（1）∵A（﹣2，6），B（﹣3，2），C（0，3），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF．
∴D（2，9），E（1，5），F（4，6）；
（2）连接AD，∵由图可知，AD==5，
∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标；
（2）连接AD，根据勾股定理求出AD的长，进而可得出结论．
四、作图题
15．如图，在平面直角坐标系中，平行于轴的线段AB上的所有点的纵坐标都是-1，横坐标的取值范围是1≤r≤5，则线段AB上任意一点的坐标可以用“（x，-1）（1≤r≤5）”表示，按照这样的规定，回答下列问题.
（1）怎样表示线段CD上任意一点的坐标？
（2）把线段AB向上平移3个单位，画出所得到的线段，线段上任意一点的坐标可以怎样表示？
（3）把线段CD向右平移3个单位，画出所得到的线段，线段上任意一点的坐标又可以怎样表示？
【答案】（1）
（2）见解析；
（3）见解析；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（2）如图，.
（3）如图，.
【分析】（1）
（2）根据向上下平移的规律：横坐标不变，纵坐标由-1变为-1+3即变成2，由此可得出平移后的纵坐标为：2，横坐标x不变，由此即可表示出线段AB向上平移3个单位后任意一点的坐标可以表示为.
（3）根据左右平移规律：纵坐标y不变，横坐标由-1变为-1+3即变成2，将线段CD向右平移3个单位，则线段上任意一点的坐标可以表示为：.
五、综合题
16．（2023八上·佳木斯开学考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，且，满足，已知点坐标为，
（1）求、的值及的面积；
（2）若点在坐标轴上，且，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵，即，
∴，．
∴，，
∴点，点，
又∵点，
∴，，
∴；
（2）点的坐标或或或．
【知识点】坐标与图形性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（2）分情况讨论，当点在x轴上时，
设点的坐标为，则
又∵，
∴，
∴．
∴，
即，解得：或，
故点的坐标为或；
当点在y轴上时，
设点的坐标为，则
又∵，
∴，
∴．
∴，
即，解得：或5，
故点的坐标为或；
综上，点的坐标或或或．
【分析】(1)利用非负数的性质，求出a，b的值，接着求出A、B的坐标，计算出BC、OA的长，利用三角形面积公式求出 ；
（2）当点在x轴上时，只需求出横坐标，可以利用“ ”求得；当点在y轴上时，只需求出纵坐标，可以利用“ ”求得.
17．（2023七下·通榆期末）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移3个单位长度，平移后的图形为三角形．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
① ▲ 秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数；
②用含有的式子表示点的坐标；
③当时，设；，，探索，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①2
②当点在线段上，即：时，；
当点在线段上，即：时，点的纵坐标为：，
∴；
综上：或；
③．
如图，连接、，过点作与交于点，
将三角形沿轴负方向平移，平移后的图形为三角形，
，
，，
，
，
，，，
．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵点C是点B（0，2）沿x轴负方向平移3个单位得到的，
∴点C的坐标为（-3，2）.
故答案为：C（-3，2）.
（2）①当点P在BC上运动时，设P（m，2），
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴ m=-2，
∴t=2；
当点P在CD上运动时，设P（-3，n），
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴ n=3，
∵n≤2
∴不合题意舍去；
综上所述，t=2 秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数.
故答案为：2.
【分析】（1）根据平移规律即可解答.
（2）①分为点P在BC和CD上两种情况进行讨论，由 点P的横坐标与纵坐标互为相反数即可得出答案.
②当点P在线段BC上时，P（-t，2），当点P在线段CD上时，P（-3，5-t）.
③连接BP、AP，过点P作PF∥BC与AB交于点F，根据平行线的性质即可解答.
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