2023-2024学年人教版初中数学七年级下册 8.1 二元一次方程组 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023七下·辛集期末）已知是二元一次方程的解，又是下列哪个方程的解？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】A、当x=3时，，∴A不符合题意；
B、当x=3时，，∴B符合题意；
C、当x=3时，，∴C不符合题意；
D、当x=3时，，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将x=3分别代入各选项求出y的值，再判断即可.
2．（2023八上·天桥期中）已知是方程的解，那么m的值（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将代入，可得：1+m=3，
解得：m=2，
故答案为：A.
【分析】将代入，可得：1+m=3，再求出m的值即可.
3．（2023七下·良庆期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车备几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
根据题意的，.
故答案为：D.
【分析】设有x人，y辆车，根据人的总数可表示为3（y-2）或2y+9，即可列出方程.
4．（2023七下·萧山期末）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴2m-3=1，
解之：m=2.
故答案为：A.
【分析】将x，y的值代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
5．（2023七下·辛集期末）蓝天无人机专卖店三月份销售无人机若干架，其中甲种型号无人机架数比总架数的一半多架，乙种型号无人机架数比总架数的少架设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】 设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，根据“甲种型号无人机架数比总架数的一半多架，乙种型号无人机架数比总架数的少架”列出方程组即可.
6．（2023七下·滨江期末）当时，关于，的方程的解也是选项中方程（ ）的解
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解： ，
①×4+②得7x+7y=14，
两边同时除以7得x+y=2.
故答案为：D.
【分析】①×4+②得7x+7y=14，两边同时除以7得x+y=2，据此即可得出答案.
7．（2023八上·黄冈开学考）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有只，树有棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意列方程组得：
.
故答案为：B.
【分析】根据题中的两个相等关系“3×树的棵树=乌鸦的只数-5，5×(树的棵树-1)=乌鸦的只数”列方程组即可.
8．（2023·乌鲁木齐模拟）我国古代数学名著孙子算经中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据“ 若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行 ”即可得出关于x，y的方程组。
二、填空题
9．（2023七下·启东月考）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则常数 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： ，
①+②得：3x=3+3k，解得：x=1+k，
把x=1+k代入①得：y=k-2，
∴方程组的解为，
∵方程组的解互为相反数，
∴x+y=0，即1+k+k-2=0，
解得：k=；
故答案为：.
【分析】利用加减法解方程组得，由方程组的解互为相反数，可得x+y=0，据此建立关于k方程并解之即可.
10．（2023八上·清新期中）已知是方程组的解，则a+b＝ ．
【答案】-2
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
解得，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据方程组解的定义将代入方程组，得关于字母a、b的方程组，解方程组可得a、b的值，再求出a、b的和即可.
11．（2023·松原模拟） 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗利群商厦从月日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买盒肉粽和盒白粽需元，打折后购买盒肉粽和盒白粽需元设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，则可列方程组 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，
根据题意，得：，即：。
故答案为：。
【分析】 设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，可得方程4x+5y=350，根据肉粽六折，白粽七折，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元，可得方程3x+7y=360，两个方程联立成方程组即可。
12．（2023七下·常熟期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ．
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
∵
故答案为：.
【分析】根据是关于x，y的二元一次方程的解得到：，再对所求值的式子化简，即可求出其值.
13．甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k）个，乙每次摸5个或（5－k）个(k是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球 个
【答案】110
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，依题意k=1，2，当k=1时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x）=2x+32，乙总共取球的个数为5y+4（17-y）=y+68，当k=2时，甲总共取球的个数为4x+（16-x）=3x+16，乙总共取球的个数为5y+3（17-y）=2y+51，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：①2x+32=y+68，即y=2x-34，由x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；②2x+32=2y+51，即2x+2y=19，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；③3x+16=y+68，即y=3x-52，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；④3x+16=2y+51，即 ，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，可得x=13，y=2或x=15，y=5；所以当x=13，y=2，球的个数为3×13+16+2×2+51=110个；当x=15，y=5，球的个数为3×15+16+2×5+51=122个，所以箱子中至少有球110个.
【分析】设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，又 k是整数，且0＜k＜3 ，则k=1或者2，然后分别算出k=1与k=2时，甲和乙分别摸出的球的个数，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：①2x+32=y+68，②2x+32=2y+51，③3x+16=y+68，④3x+16=2y+51四个二元一次方程，再分别求出它们的正整数解再根据 乙至少摸了两次5个球 进行检验即可得出x,y的值，进而根据箱子中的球的个数至少等于两个人摸出的个数之和算出箱子中球的个数的所有情况，再比较即可算出答案。
三、计算题
14．（2023七下·泸县期中）解方程组：
【答案】解： ；
将①：；
化简②式：；
；
∴；
将代入③：
∴
∴
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】将①式化成整数类型，两边同乘以分母的公倍数12，得出③式3x+4y=16，②式去括号得到④式3x-4y=20，将得出的两式相减可消去x留下关于y的一元一次方程，可求得y的值，将y的值代入③式可求出x的值，综合得出结果.
四、解答题
15．试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数．
【答案】解：依题可设：
100=11x+17y，
原题转换成求这个方程的正整数解，
∴x==9-2y+，
∵x是整数，
∴11|1+5y，
∴y=2，x=6，
∴x=6，y=2是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
∴k=0，
∴原方程正整数解为：.
∴100=66+34.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意可得：100=11x+17y，从而将原题转换成求这个方程的正整数解；求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
16．求方程11x+5y=12的正整数解．
【答案】解：如果方程有正整数解，则x≥1，y≥1．因此11x+5y≥11+5=16．
方程的右端为12，所以这个方程无正整数解．
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】一般地，若方程ax+by=c，a>0，b>0，a+b>c；则这个方程无正整数解．
五、综合题
17．（2022七下·阳信期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（a，0），（2，-4），（c，0），且a，c满足方程为二元一次方程．
（1）求A，C的坐标．
（2）如图1，点D为y轴正半轴上的一个动点，AD∥BC，∠ADO与∠ACB的平分线交于点P，
①求证：∠ADO+∠ACB=90°；
②求∠P的度数；
（3）如图2，点D为y轴正半轴上的一个动点，连接BD、AB．S△ABD表示△ABD的面积，S△ABC表示△ABC的面积，若S△ABD≤S△ABC成立．设动点D的坐标为（0，d），求d的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，2a﹣4≠0，c﹣4＝1，a2﹣3＝1，解得，a＝﹣2，c＝5，则点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（5，0）；
（2）解：①证明：∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠OAD，∴∠ADO+∠BCA＝90°.
②作PH∥AD，
∵AD∥BC，∴PH∥BC，
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于P点，
∴∠ADP＝∠ADO，∠BCP＝∠BCA，
∵∠ADO+∠BCA＝90°∴∠ADP+∠BCP＝45°，
∵PH∥AD，PH∥BC，∴∠HPD＝∠ADP，∠HPC＝∠BCP，
∴∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝45°；
（3）解：∵A（﹣2，0），B（2，﹣4），C（5，0），
∴S△ABC＝×（2+5）×4＝14，
则S△ABD＝4×（d+4）-×2×d-×4×4-×（d+4）×2＝4+2d，
∵S△ABD≤S△ABC，4+2d≤14，解得，d≤5，
∵点D为y轴正半轴上的一个动点，∴0＜d≤5．
【知识点】二元一次方程的定义；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据二元一次方程的定义可得2a﹣4≠0，c﹣4＝1，a2﹣3＝1，求出a、c的值，即可得到点A、C的坐标；
（2）①利用平行线的性质可得∠BCA＝∠OAD，再利用角的运算和等量代换可得∠ADO+∠BCA＝90°；
②作PH//AD，利用角平分线的定义可得∠ADP＝∠ADO，∠BCP＝∠BCA，再利用角的运算和等量代换可得∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝45°；
（3）利用三角形的面积公式可得S△ABC＝×（2+5）×4＝14，S△ABD＝4+2d，再根据S△ABD≤S△ABC，可得4+2d≤14，再求出d的取值范围即可。
18．（2020七下·中山期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，将点A沿y轴向上平移 个单位到点 连接线段 ．
（1）点C的坐标为 (用含b的式子表示)﹔
（2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程 成立，就说这个点的坐标是方程 的解．已知点B和C的坐标都是方程 的解，求 的值；
（3）在 的条件下，平移线段 ，使点C移动到点B，点B移动到点D，得到线段 若点 是线段 上的一点，且点P的坐标是方程 的解，试说明平移后点P的对应点 的坐标也是方程 的解．
【答案】（1）
（2）解： 点B和C的坐标都是方程 的解，
解方程得：
（3）解：点 平移后 的坐标为 ，
点P的坐标是方程 的解，
当 时，
，等式成立，
的坐标也是方程 的解．
【知识点】二元一次方程的解；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，b），将点A沿y轴向上平移2个单位到点C，
∴点C的坐标为（0，b+2）．
故答案为：（0，b+2）．
【分析】（1）根据点A的坐标及点A、C之间的关系，可得出点C的坐标；
（2）由点B和C的坐标都是方程x+2y=10的解，即可得出关于a、b二元一次方程组，解之即可得到a、b的值；
（3）根据线段的平移及点B、C的坐标，可得出点P（m、n）平移后的点P'大热坐标为（m+4，n-2），由点P的坐标是方程x+2y=10的解可得出m+2n=10，再将x=m+4，y=n-2代入x+2y中可得出此时x+2y=10，即点P'的坐标也是方程x+2y=10的解。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册 8.1 二元一次方程组 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023七下·辛集期末）已知是二元一次方程的解，又是下列哪个方程的解？（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·天桥期中）已知是方程的解，那么m的值（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
3．（2023七下·良庆期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车备几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·萧山期末）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·辛集期末）蓝天无人机专卖店三月份销售无人机若干架，其中甲种型号无人机架数比总架数的一半多架，乙种型号无人机架数比总架数的少架设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·滨江期末）当时，关于，的方程的解也是选项中方程（ ）的解
A． B． C． D．
7．（2023八上·黄冈开学考）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有只，树有棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·乌鲁木齐模拟）我国古代数学名著孙子算经中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·启东月考）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则常数 ．
10．（2023八上·清新期中）已知是方程组的解，则a+b＝ ．
11．（2023·松原模拟） 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗利群商厦从月日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买盒肉粽和盒白粽需元，打折后购买盒肉粽和盒白粽需元设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，则可列方程组 ．
12．（2023七下·常熟期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ．
13．甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k）个，乙每次摸5个或（5－k）个(k是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球 个
三、计算题
14．（2023七下·泸县期中）解方程组：
四、解答题
15．试将100分成两个正整数之和，其中一个为11的倍数，另一个为17的倍数．
16．求方程11x+5y=12的正整数解．
五、综合题
17．（2022七下·阳信期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（a，0），（2，-4），（c，0），且a，c满足方程为二元一次方程．
（1）求A，C的坐标．
（2）如图1，点D为y轴正半轴上的一个动点，AD∥BC，∠ADO与∠ACB的平分线交于点P，
①求证：∠ADO+∠ACB=90°；
②求∠P的度数；
（3）如图2，点D为y轴正半轴上的一个动点，连接BD、AB．S△ABD表示△ABD的面积，S△ABC表示△ABC的面积，若S△ABD≤S△ABC成立．设动点D的坐标为（0，d），求d的取值范围．
18．（2020七下·中山期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，将点A沿y轴向上平移 个单位到点 连接线段 ．
（1）点C的坐标为 (用含b的式子表示)﹔
（2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程 成立，就说这个点的坐标是方程 的解．已知点B和C的坐标都是方程 的解，求 的值；
（3）在 的条件下，平移线段 ，使点C移动到点B，点B移动到点D，得到线段 若点 是线段 上的一点，且点P的坐标是方程 的解，试说明平移后点P的对应点 的坐标也是方程 的解．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】A、当x=3时，，∴A不符合题意；
B、当x=3时，，∴B符合题意；
C、当x=3时，，∴C不符合题意；
D、当x=3时，，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将x=3分别代入各选项求出y的值，再判断即可.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将代入，可得：1+m=3，
解得：m=2，
故答案为：A.
【分析】将代入，可得：1+m=3，再求出m的值即可.
3．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
根据题意的，.
故答案为：D.
【分析】设有x人，y辆车，根据人的总数可表示为3（y-2）或2y+9，即可列出方程.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴2m-3=1，
解之：m=2.
故答案为：A.
【分析】将x，y的值代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
5．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】 设销售甲种型号无人机架，乙种型号无人机架，根据“甲种型号无人机架数比总架数的一半多架，乙种型号无人机架数比总架数的少架”列出方程组即可.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解： ，
①×4+②得7x+7y=14，
两边同时除以7得x+y=2.
故答案为：D.
【分析】①×4+②得7x+7y=14，两边同时除以7得x+y=2，据此即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意列方程组得：
.
故答案为：B.
【分析】根据题中的两个相等关系“3×树的棵树=乌鸦的只数-5，5×(树的棵树-1)=乌鸦的只数”列方程组即可.
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】根据“ 若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行 ”即可得出关于x，y的方程组。
9．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解： ，
①+②得：3x=3+3k，解得：x=1+k，
把x=1+k代入①得：y=k-2，
∴方程组的解为，
∵方程组的解互为相反数，
∴x+y=0，即1+k+k-2=0，
解得：k=；
故答案为：.
【分析】利用加减法解方程组得，由方程组的解互为相反数，可得x+y=0，据此建立关于k方程并解之即可.
10．【答案】-2
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
解得，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据方程组解的定义将代入方程组，得关于字母a、b的方程组，解方程组可得a、b的值，再求出a、b的和即可.
11．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，
根据题意，得：，即：。
故答案为：。
【分析】 设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，可得方程4x+5y=350，根据肉粽六折，白粽七折，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元，可得方程3x+7y=360，两个方程联立成方程组即可。
12．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
∵
故答案为：.
【分析】根据是关于x，y的二元一次方程的解得到：，再对所求值的式子化简，即可求出其值.
13．【答案】110
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，依题意k=1，2，当k=1时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x）=2x+32，乙总共取球的个数为5y+4（17-y）=y+68，当k=2时，甲总共取球的个数为4x+（16-x）=3x+16，乙总共取球的个数为5y+3（17-y）=2y+51，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：①2x+32=y+68，即y=2x-34，由x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；②2x+32=2y+51，即2x+2y=19，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；③3x+16=y+68，即y=3x-52，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；④3x+16=2y+51，即 ，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，可得x=13，y=2或x=15，y=5；所以当x=13，y=2，球的个数为3×13+16+2×2+51=110个；当x=15，y=5，球的个数为3×15+16+2×5+51=122个，所以箱子中至少有球110个.
【分析】设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，又 k是整数，且0＜k＜3 ，则k=1或者2，然后分别算出k=1与k=2时，甲和乙分别摸出的球的个数，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：①2x+32=y+68，②2x+32=2y+51，③3x+16=y+68，④3x+16=2y+51四个二元一次方程，再分别求出它们的正整数解再根据 乙至少摸了两次5个球 进行检验即可得出x,y的值，进而根据箱子中的球的个数至少等于两个人摸出的个数之和算出箱子中球的个数的所有情况，再比较即可算出答案。
14．【答案】解： ；
将①：；
化简②式：；
；
∴；
将代入③：
∴
∴
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】将①式化成整数类型，两边同乘以分母的公倍数12，得出③式3x+4y=16，②式去括号得到④式3x-4y=20，将得出的两式相减可消去x留下关于y的一元一次方程，可求得y的值，将y的值代入③式可求出x的值，综合得出结果.
15．【答案】解：依题可设：
100=11x+17y，
原题转换成求这个方程的正整数解，
∴x==9-2y+，
∵x是整数，
∴11|1+5y，
∴y=2，x=6，
∴x=6，y=2是原方程的一组解，
∴原方程的整数解为：（k为任意整数），
又∵x＞0，y＞0，
∴，
解得：-＜k＜，
∴k=0，
∴原方程正整数解为：.
∴100=66+34.
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】根据题意可得：100=11x+17y，从而将原题转换成求这个方程的正整数解；求二元一次不定方程的正整数解时，可先求出它的通解。然后令x>0，y>0，得不等式组．由不等式组解得k的范围．在这范围内取k的整数值，代入通解，即得这个不定方程的所有正整数解．
16．【答案】解：如果方程有正整数解，则x≥1，y≥1．因此11x+5y≥11+5=16．
方程的右端为12，所以这个方程无正整数解．
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【分析】一般地，若方程ax+by=c，a>0，b>0，a+b>c；则这个方程无正整数解．
17．【答案】（1）解：由题意得，2a﹣4≠0，c﹣4＝1，a2﹣3＝1，解得，a＝﹣2，c＝5，则点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（5，0）；
（2）解：①证明：∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠OAD，∴∠ADO+∠BCA＝90°.
②作PH∥AD，
∵AD∥BC，∴PH∥BC，
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于P点，
∴∠ADP＝∠ADO，∠BCP＝∠BCA，
∵∠ADO+∠BCA＝90°∴∠ADP+∠BCP＝45°，
∵PH∥AD，PH∥BC，∴∠HPD＝∠ADP，∠HPC＝∠BCP，
∴∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝45°；
（3）解：∵A（﹣2，0），B（2，﹣4），C（5，0），
∴S△ABC＝×（2+5）×4＝14，
则S△ABD＝4×（d+4）-×2×d-×4×4-×（d+4）×2＝4+2d，
∵S△ABD≤S△ABC，4+2d≤14，解得，d≤5，
∵点D为y轴正半轴上的一个动点，∴0＜d≤5．
【知识点】二元一次方程的定义；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据二元一次方程的定义可得2a﹣4≠0，c﹣4＝1，a2﹣3＝1，求出a、c的值，即可得到点A、C的坐标；
（2）①利用平行线的性质可得∠BCA＝∠OAD，再利用角的运算和等量代换可得∠ADO+∠BCA＝90°；
②作PH//AD，利用角平分线的定义可得∠ADP＝∠ADO，∠BCP＝∠BCA，再利用角的运算和等量代换可得∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝45°；
（3）利用三角形的面积公式可得S△ABC＝×（2+5）×4＝14，S△ABD＝4+2d，再根据S△ABD≤S△ABC，可得4+2d≤14，再求出d的取值范围即可。
18．【答案】（1）
（2）解： 点B和C的坐标都是方程 的解，
解方程得：
（3）解：点 平移后 的坐标为 ，
点P的坐标是方程 的解，
当 时，
，等式成立，
的坐标也是方程 的解．
【知识点】二元一次方程的解；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，b），将点A沿y轴向上平移2个单位到点C，
∴点C的坐标为（0，b+2）．
故答案为：（0，b+2）．
【分析】（1）根据点A的坐标及点A、C之间的关系，可得出点C的坐标；
（2）由点B和C的坐标都是方程x+2y=10的解，即可得出关于a、b二元一次方程组，解之即可得到a、b的值；
（3）根据线段的平移及点B、C的坐标，可得出点P（m、n）平移后的点P'大热坐标为（m+4，n-2），由点P的坐标是方程x+2y=10的解可得出m+2n=10，再将x=m+4，y=n-2代入x+2y中可得出此时x+2y=10，即点P'的坐标也是方程x+2y=10的解。
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