2023-2024学年人教版初中数学七年级下册 8.2 消元----解二元一次方程组 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023七下·南宁期末）方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①×2-②可得：7x=35，
∴x=5，
把x=5代入①得：
5×5+2y=25，
y=0，
∴方程组的解为：.
故答案为：D.
【分析】观察方程组中未知数y的系数成倍数关系，于是由①×2-②可得关于x的一元一次方程，解之可得x的值，再把x的值代入方程①可得关于y的一元一次方程，解之可求解.
2．关于x，y的方程组的解满足x+y=6，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】∵，∴3x+3y=6m，∴x+y=2m，∵x+y=6，∴2m=6，∴m=3，故选C．
【分析】把方程组的两个方程相加，得到3x+3y=6m，结合x+y=6，即可求出m的值．
3．（2023八上·柳州开学考）已知是方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
∴4a+2b-4b-2a=1，
∴2a-2b=4，
∴a-b=2.
故答案为：B.
【分析】将x和y的值代入二元一次方程组中，形成关于a和b的二元一次方程组，利用加减消元法即可求出a-b的值.
4．（2023八上·武威开学考）若解得，的值互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C．-5 D．4
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】∵x与y互为相反数，
∴x+y=0，
联立方程组，
由②-①，可得y=2，
将y=2代入x+y=0，可得x=-2，
∴方程组的解为，
将x=-2和y=2代入2x-ky=6，
可得：-4-2k=6，
解得：k=-5，
故答案为：C.
【分析】先联立方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入2x-ky=6，再求出k的值即可.
5．（2023七下·牡丹江期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根是（ ）
A．2 B． C．±2 D．
【答案】B
【知识点】算术平方根；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵是二元一次方程组的解，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】将x和y的值代入二元一次方程组可得关于字母m、n的方程组，利用加减消元法求出m和n的值，最后代入4n-2m中即可求出对应的算术平方根.
6．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
7．（2020八上·历下期末）我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴ ， 和 均为整数，
∴x为整数，即 ，
∴①－②得： ，
∴ ， ，
将 代入②得： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ， ，将 代入第二个方程可求出x.
8．（2019八上·邢台开学考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组 ，甲符合题意地解得 乙看错了方程②中的系数c，解得 ，则 的值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】把 代入得： ，解得：c=4，把 代入得：3a+b=5，联立得： ，解得： ，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25．
故答案为：B．
【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值．
二、填空题
9．已知|x+y|+|x|=x，且|4x+y-9|=0，则5x-y的值为
【答案】18
【知识点】二元一次方程组的解；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴等号右边x的符号为非负，即
∴原式=即
∵
∴
得：
将代入①得：
∴
故答案为：18.
【分析】根据第一个等式得到等号右边x的符号为非负，进而得到：化简得：即结合第二个等式即可得到：，利用加减消元法解方程组即可得到x和y的值，进而即可求解.
10．（2023七下·绥中期末）若x a-3b+2y5a+b-10=0是二元一次方程，那么a、b的值分别是 .
【答案】2，1
【知识点】二元一次方程的定义；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵若x2a-3b+2y5a+b-10=0是二元一次方程，
∴，
解得.
故答案为：2，1.
【分析】含有两个未知数，未知数项的最高次数为1次的整式方程就是二元一次方程，据此可列出关于字母a、b的方程组，利用加减消元法解方程组可求出a、b的值.
11．（2021七下·澄海期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 那么关于 、 的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
把关于m，n满足二元一次方程组 看作关于（m+n）和（m-n）的二元一次方程组，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】将m+n看成x，将m-n看成y，得到二元一次方程，解得答案。
12．（2020八下·烟台期末）已知关于 的二元一次方程组 的解为 ，若 满足二元一次方程组 ，则 ．
【答案】6
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
把关于m，n满足二元一次方程组 看作关于 和 的二元一次方程组，
，
，
故答案为6．
【分析】利用关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，得到m+n=2，m-n=3，两式相乘即可。
13．（2019八下·新乐期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于
【答案】-9
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，
解得：b=﹣9．
故答案为：－9．
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=﹣1代入y=2x+b可得答案．
三、解答题
14．已知方程 ，小王正确解得x=3．小李由于粗心，把b看作6，解得x=5．试求a、b的值．
【答案】解：依题可得：
，
解得：，
∴a=1，b=8.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意可得一个关于a和b的二元一次方程组，解之即可.
15．（2020七上·上高月考）解关于x、y的方程组 时，甲符合题意地解得方程组的解为 ，乙因为把c抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为 ，求a、b、c的值．
【答案】解：把 代入方程 ，得：
，
解得： ．
把 分别代入方程 ，得：
，
解得 ．
所以， ．
故答案为： ．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】把甲所得解代入第二个方程求解，即可得到c的值，将两人所得的解都代入第一个方程，即可得到关于a、b的方程组，求解即可得到a、b的值.
四、综合题
16．已知关于x，y的方程组
（1）若方程组的解满足 ，求 的值；
（2）无论
取何实数，方程
总有一个公共解，求出这个方程的公共解.
【答案】（1）解：由题意得
解得
代入 得 ，
解得
（2）解：∵ ，即 .总有一个公共解，
∴方程的解与 无关，
∴
解得 ，
则方程的公共解为
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将x+y=0与x+2y=5进行组合，并解出x、y值，再将x、y代入x-2y+mx+9=0，解出m即可；
（2）将x-2y+mx+9=0变形为（1+m）x-2y+9=0，根据无论m为何实数，方程总有一个解，即方程的解与m取值无关，可得x=0，-2y+9=0，求出x、y，即可求出方程的公共解.
17．（2022七下·广陵期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求、的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
（3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行
【答案】（1）解：．
又，．
，；
（2）解：设灯转动时间为秒，
如图，作，而
，，
，
，
，
，
（3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行．
依题意得
①当时，
两河岸平行，所以
两光线平行，所以
所以，
即：，
解得；
②当时，
两光束平行，所以
两河岸平行，所以
所以，，
解得；
③当时，图大概如①所示
，
解得（不合题意）
综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据绝对值以及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a-3b=0、a+b-4=0，求解可得a、b的值；
（2）设A灯转动时间为t秒，作CE∥PQ，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得CE∥PQ∥MN，由平行线的性质得∠ACE=∠CAN=180°-3t°，∠BCE=∠CBD=t°，则∠BCA=180°-(2t)°，根据余角的性质得∠BCD=90°-∠BCA=(2t)°-90°=20°，求出t的值，据此求解；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，依题意得01 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册 8.2 消元----解二元一次方程组 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2023七下·南宁期末）方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
2．关于x，y的方程组的解满足x+y=6，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023八上·柳州开学考）已知是方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·武威开学考）若解得，的值互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C．-5 D．4
5．（2023七下·牡丹江期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根是（ ）
A．2 B． C．±2 D．
6．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
7．（2020八上·历下期末）我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八上·邢台开学考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组 ，甲符合题意地解得 乙看错了方程②中的系数c，解得 ，则 的值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
二、填空题
9．已知|x+y|+|x|=x，且|4x+y-9|=0，则5x-y的值为
10．（2023七下·绥中期末）若x a-3b+2y5a+b-10=0是二元一次方程，那么a、b的值分别是 .
11．（2021七下·澄海期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 那么关于 、 的二元一次方程组 的解为 ．
12．（2020八下·烟台期末）已知关于 的二元一次方程组 的解为 ，若 满足二元一次方程组 ，则 ．
13．（2019八下·新乐期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于
三、解答题
14．已知方程 ，小王正确解得x=3．小李由于粗心，把b看作6，解得x=5．试求a、b的值．
15．（2020七上·上高月考）解关于x、y的方程组 时，甲符合题意地解得方程组的解为 ，乙因为把c抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为 ，求a、b、c的值．
四、综合题
16．已知关于x，y的方程组
（1）若方程组的解满足 ，求 的值；
（2）无论
取何实数，方程
总有一个公共解，求出这个方程的公共解.
17．（2022七下·广陵期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求、的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
（3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①×2-②可得：7x=35，
∴x=5，
把x=5代入①得：
5×5+2y=25，
y=0，
∴方程组的解为：.
故答案为：D.
【分析】观察方程组中未知数y的系数成倍数关系，于是由①×2-②可得关于x的一元一次方程，解之可得x的值，再把x的值代入方程①可得关于y的一元一次方程，解之可求解.
2．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】∵，∴3x+3y=6m，∴x+y=2m，∵x+y=6，∴2m=6，∴m=3，故选C．
【分析】把方程组的两个方程相加，得到3x+3y=6m，结合x+y=6，即可求出m的值．
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
∴4a+2b-4b-2a=1，
∴2a-2b=4，
∴a-b=2.
故答案为：B.
【分析】将x和y的值代入二元一次方程组中，形成关于a和b的二元一次方程组，利用加减消元法即可求出a-b的值.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】∵x与y互为相反数，
∴x+y=0，
联立方程组，
由②-①，可得y=2，
将y=2代入x+y=0，可得x=-2，
∴方程组的解为，
将x=-2和y=2代入2x-ky=6，
可得：-4-2k=6，
解得：k=-5，
故答案为：C.
【分析】先联立方程组求出x、y的值，再将x、y的值代入2x-ky=6，再求出k的值即可.
5．【答案】B
【知识点】算术平方根；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵是二元一次方程组的解，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】将x和y的值代入二元一次方程组可得关于字母m、n的方程组，利用加减消元法求出m和n的值，最后代入4n-2m中即可求出对应的算术平方根.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
7．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴ ， 和 均为整数，
∴x为整数，即 ，
∴①－②得： ，
∴ ， ，
将 代入②得： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ， ，将 代入第二个方程可求出x.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】把 代入得： ，解得：c=4，把 代入得：3a+b=5，联立得： ，解得： ，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25．
故答案为：B．
【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值．
9．【答案】18
【知识点】二元一次方程组的解；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴等号右边x的符号为非负，即
∴原式=即
∵
∴
得：
将代入①得：
∴
故答案为：18.
【分析】根据第一个等式得到等号右边x的符号为非负，进而得到：化简得：即结合第二个等式即可得到：，利用加减消元法解方程组即可得到x和y的值，进而即可求解.
10．【答案】2，1
【知识点】二元一次方程的定义；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵若x2a-3b+2y5a+b-10=0是二元一次方程，
∴，
解得.
故答案为：2，1.
【分析】含有两个未知数，未知数项的最高次数为1次的整式方程就是二元一次方程，据此可列出关于字母a、b的方程组，利用加减消元法解方程组可求出a、b的值.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
把关于m，n满足二元一次方程组 看作关于（m+n）和（m-n）的二元一次方程组，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】将m+n看成x，将m-n看成y，得到二元一次方程，解得答案。
12．【答案】6
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
把关于m，n满足二元一次方程组 看作关于 和 的二元一次方程组，
，
，
故答案为6．
【分析】利用关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，得到m+n=2，m-n=3，两式相乘即可。
13．【答案】-9
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】∵当x=7时，y=6﹣7=﹣1，∴当x=4时，y=2×4+b=﹣1，
解得：b=﹣9．
故答案为：－9．
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=﹣1代入y=2x+b可得答案．
14．【答案】解：依题可得：
，
解得：，
∴a=1，b=8.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意可得一个关于a和b的二元一次方程组，解之即可.
15．【答案】解：把 代入方程 ，得：
，
解得： ．
把 分别代入方程 ，得：
，
解得 ．
所以， ．
故答案为： ．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】把甲所得解代入第二个方程求解，即可得到c的值，将两人所得的解都代入第一个方程，即可得到关于a、b的方程组，求解即可得到a、b的值.
16．【答案】（1）解：由题意得
解得
代入 得 ，
解得
（2）解：∵ ，即 .总有一个公共解，
∴方程的解与 无关，
∴
解得 ，
则方程的公共解为
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将x+y=0与x+2y=5进行组合，并解出x、y值，再将x、y代入x-2y+mx+9=0，解出m即可；
（2）将x-2y+mx+9=0变形为（1+m）x-2y+9=0，根据无论m为何实数，方程总有一个解，即方程的解与m取值无关，可得x=0，-2y+9=0，求出x、y，即可求出方程的公共解.
17．【答案】（1）解：．
又，．
，；
（2）解：设灯转动时间为秒，
如图，作，而
，，
，
，
，
，
（3）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行．
依题意得
①当时，
两河岸平行，所以
两光线平行，所以
所以，
即：，
解得；
②当时，
两光束平行，所以
两河岸平行，所以
所以，，
解得；
③当时，图大概如①所示
，
解得（不合题意）
综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据绝对值以及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可得a-3b=0、a+b-4=0，求解可得a、b的值；
（2）设A灯转动时间为t秒，作CE∥PQ，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得CE∥PQ∥MN，由平行线的性质得∠ACE=∠CAN=180°-3t°，∠BCE=∠CBD=t°，则∠BCA=180°-(2t)°，根据余角的性质得∠BCD=90°-∠BCA=(2t)°-90°=20°，求出t的值，据此求解；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，依题意得01 / 1
