2023-2024学年人教版初中数学七年级下册 8.4 三元一次方程组的解法 同步分层训练 提升题
一、选择题
1．（2022·庐阳模拟）已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得，，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则，
解得，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣．
故答案为：B．
【分析】联立方程组可得，求出，再根据题意求出，再根据3a+b﹣7c＝﹣2+3c，然后利用一次函数的性质求解即可。
2．（2021七下·东阳期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（ ）元
A．16 B．60 C．30 D．66
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴10x+10y+10z=10×6=60，
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元.
故答案为：B.
【分析】设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得20x+3y+2z=32；根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得39x+5y+3z=58，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x+y+z的值，据此解答.
3．（2021七下·青龙期末）三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解
令①+②得x-z=2④，
③+④得2x=8，解得x=4
把x=4代入①解得y=3，
把x=4代入③解得z=2，
∴原方程组的解为
故答案为：D.
【分析】此题方法灵活，可先用加减消元法求出方程组的解，也可将四个选项逐一代入到方程组中去验证。
4．（2021七下·桂平期中）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法.（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设分别购买学习用品x、y、z，根据题意可得：
（①－②）×2得：③
①÷2得：④
④－③得：
方案一：
方案二：
方案三：
故答案为：D.
【分析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题中的两个相等关系“x件2元的价格+y件4元的价格+z件6元的价格=56，单价均下调后x件1.5元的价格+y件3.5元的价格+z件5.5元的价格=50”可列关于x、y、z的两个方程组，用加减法消未知数x，可得y、z的方程，根据二元一次方程的正整数解可求解.
5．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
6．（2020七下·文登期中）某商场推出A、B、C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元．那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，共需付款（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
依题意，得： ，
（①+②）÷5，得：x+y+z＝12．
故答案为：B．
【分析】设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，由“若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷5可求出（x+y+z）的值，此题得解．
7．（2020七上·抚州期末）如下表，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，若前m个格子中所填整数之和是2020，则m的值为（ ）
A．202 B．303 C．606 D．909
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第2，3，4个格子的数是a，b，c
根据题意，得
解得
∵相邻三个格子的数是1，12和-3，三个数的和是10，前m个格子的和是2020，
2020÷10＝202．说明有202个相邻三个格子，
∴m=202×3=606．
故答案为：C．
【分析】根据相邻三个数的和都相等列方程组即可求解．
8．（2019八上·和平月考）利用两块长方体木块测量两张桌子的高度.首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置.测量的数据如图，则桌子高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=70，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=150，
解得：h=75.
故答案为：B.
【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解.
二、填空题
9．（2022七下·十堰期中）小华和小慧到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
由①+②得，
整理得，
所以购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支需要7元钱.
故答案为：7.
【分析】先假设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据“购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱； 购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱 ”，就可以列出2个方程，再将两方程相加即可得出结论.
10．（2022九下·重庆市期中）四月正是吃草莓的季节，春旭草莓对环境适应能力极强，营养物质丰富，属于优良品种；淡雪草莓在外观上和其它草莓品种有着很大的差异，它的果肉和果皮都呈白色，深受消费者喜欢；凤香草莓维生素C的含量是其它品种的数倍.某水果店第一天从草莓园分别采购了春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓若干盒，其中春旭草莓的进价为25元/盒，淡雪草莓售价为62元/盒，凤香草莓的进价为33元/盒，水果店对春旭草莓提价100%进行销售，淡雪草莓每盒提价35元进行销售，凤香草莓的售价为38元/盒，第一天三种草莓售罄后总销售额为1674元，其中淡雪草莓和凤香草莓的销售利润共350元.第二天水果店采购和第一天相同数量的春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓.春旭草莓的成本增加了20%，春旭草莓的售价不变，淡雪草莓的进价不变，淡雪草莓的利润率变为了100%，凤香草莓的进价和售价均保持不变，由于水果店储存不当，第二天采购的淡雪草莓有的损耗（损耗水果不能销售，损耗的数量为整数盒），则第二天三种草莓售罄时总利润为 元（购买或出售三种草莓的数量均为整数盒）
【答案】537
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓各购进盒，盒，盒，
春旭草莓的进价为元/盒，淡雪草莓售价为元/盒，凤香草莓的进价为元/盒，水果店对春旭草莓提价进行销售，淡雪草莓每盒提价元进行销售，凤香草莓的售价为元/盒，
春旭草莓的售价为元/盒，淡雪草莓进价为元/盒，凤香草莓的售价为元/盒，
春旭草莓的利润为元/盒，淡雪草莓利润为元/盒，凤香草莓的利润为元/盒，
由题意可得：，
，，为正整数，
由式可得：，
当，时，代入得，解得：；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
，，，
第二天购进春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓各购进盒，盒，盒，
第二天春旭草莓的成本增加了，春旭草莓的售价不变，淡雪草莓的进价不变，淡雪草莓的利润率变为了，凤香草莓的进价和售价均保持不变，由于水果店储存不当，第二天采购的淡雪草莓有的损耗（损耗水果不能销售，损耗的数量为整数盒），
春旭草莓的成本为元，售价为：元，淡雪草莓的进价为元，淡雪草莓的售价为：元，凤香草莓的进价为元，售价为：元，
淡雪草莓损耗，
淡雪草莓一共销售了盒，
第二天三种草莓的销售利润为：元.
故答案为：537.
【分析】设春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓各购进a盒，b盒，c盒，根据题意可得春旭草莓的利润为25元/盒，淡雪草莓利润为35元/盒，凤香草莓的利润为5元/盒，根据第一天三种草莓售罄后总销售额为1674元可得50a+62b+38c=1674，根据淡雪草莓和凤香草莓的销售利润共350元可得35b+5c=350，根据a、b、c为正整数可得a、b、c的值，然后求出春旭草莓、淡雪草莓、凤香草莓的进价和售价，据此计算.
11．（2022七下·余姚竞赛）响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的40%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，那么爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z，
①小红划分，
由题意，得：y+20%x-50%y＝40%（x+y），
解得：y＝2x，
∴此时A区面积为：x-20%x+50%y＝1.8x，
B区面积为：y+20%x-50%y＝1.2x，
②爸爸划分，
∵爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，即划分后A和B区的面积等于C区面积，
∴1.8x+1.2x+40%z＝z-40%z，
解得：z＝15x，
设将C区面积的40%划分给现在的A区为a，则B区为6x-a，
∴1.8x+a＝2[1.2x+（6x-a）]，解得：a＝4.2x，
∴爸爸从C区划分给B区的面积为：6x-a＝1.8x，
∴C区划分给B区的面积与良田总面积的比==.
故答案为：.
【分析】设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z，由小红将A区20%的面积划分给B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%，列方程为y+20%x-50%y＝40%（x+y），求得y＝2x，分别表示此时A区面积为1.8x，B区面积为1.2x；由爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，即划分后A和B区的面积等于C区面积，可列方程为1.8x+1.2x+40%z＝z-40%z，求得z＝15x，设将C区面积的40%划分给现在的A区为a，则B区为6x-a，从而得1.8x+a＝2[1.2x+（6x-a）]，求得a＝4.2x，从而得到爸爸从C区划分给B区的面积为1.8x，因此C区划分给B区的面积与良田总面积的比=，化简即可求解.
12．（2022七下·余杭期中）已知关于x， y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得k=-4；②当x与y互为相反数时，解得k=3；③若4x·8y=32，则k=11；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x+5y+12=0，其中正确的序号是
【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵ 关于x， y的二元一次方程组有下列说法：当x与y相等时，
∴
解之：k=-4，故正确；
②当x，y互为相反数时
解之：k=3，故正确；
③∵ 4x·8y=32 ，
∴22x23y=25
∴2x+3y=5
∴
解之：k=11，故正确；
④由题意得
由②-③得：7y=-18-k
由①-②×3得：7y=-18-k
∴-18-k=-18-k
∴无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x+5y+12=0，故正确；
∴正确结论的序号为①②③④.
故答案为：①②③④.
【分析】将x=y代入方程组，可求出k的值，可对①作出判断；将x=-y与方程组建立关于x，y，k的三元一次方程组，解方程组求出k的值，可对②作出判断；利用已知求出2x+3y=5，与方程组建立关于x，y，k的三元一次方程组，解方程组求出k的值，可对③作出判断；将x+5y+12=0与方程组建立关于x，y，k的三元一次方程组，解方程组求出k的值，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
13．（2021七上·江北期中）甲、乙、丙三人到某单人小火锅就餐，该店共有 种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种分量，价格分别为 元、 元和 元， ， 、 都为正整数.每个人都选择了所有 种配菜，而且对于每一种配菜，三个人在分量上的选择都各个相同，结账时，甲乙两人都花费了 元且两个在大盘菜的花费上各不相同，而丙共花费了 元，那么丙在大盘菜上花费 元.
【答案】21
【知识点】二元一次方程的应用；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以 应是每一种菜品的总价的整数倍，
即 ，
， 、 都为正整数，
可知： ， ， 或 ， ，
设丙选了大盘菜 份，中盘菜 份.
由题意 ，
，
， （舍弃不合题意）或 ， （舍弃不合题意），
或 ，
，
， ，
故答案为：21.
【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以 应是每一种菜品的总价的整数倍，即 ，可求出整数解为 ， ， 或 ， ， ，设丙选了大盘菜 份，中盘菜 份， 根据丙共花费了 元，分别列出方程并求解即可.
三、解答题
14．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
15．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a，b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
四、综合题
16．（2021七下·綦江期末）对于一个三位数 ，如果 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数 为“快乐数”.例如： ， ， 是“快乐数”； ， ， 不是“快乐数”.
（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
（2）若将一个“快乐数” 的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数 （例如：若 ，则 ），若 也是一个“快乐数”，求满足条件的所有 的值.
【答案】（1）解：884是“快乐数”，735不是“快乐数”；
理由如下：
，
是“快乐数”；
，
不是“快乐数”.
（2）解：设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数）
根据题意得： ，
化简得：
，且 为整数，
或 或
满足条件的所有 的值为：721，642，563.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）利用快乐数的定义：一个三位数它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，分别对844，735进行判断即可.
（2） 设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数） 可得到关于a，b，c的三元一次方程组，可将方程组转化为a=-c+8，b=2c，利用a，b，c的取值范围，可得到符合题意的数m.
17．（2021七下·乳山期中）【信息阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值.
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足3x- y =5①，和2x+3y =7②．求代数式7x+5y的值.
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x、y的值后，再代入7x +5y求值.
思路2：为降低运算量，由①+②×2，可直接得出7x+5y = 19．这样的解题思路即为整体思想.
【问题解决】
（1）已知方程组，则x- y = ；
（2）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元
【答案】（1）4
（2）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得
①×2②得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①-②得：
，
故答案为：4
【分析】（1）利用加减消元法求解即可得到答案；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意列出方程组，再求解即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册 8.4 三元一次方程组的解法 同步分层训练 提升题
一、选择题
1．（2022·庐阳模拟）已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七下·东阳期末）已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需（ ）元
A．16 B．60 C．30 D．66
3．（2021七下·青龙期末）三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021七下·桂平期中）小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法.（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2020七下·文登期中）某商场推出A、B、C三种特价玩具，若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元．那么小明购买A种1件、B种1件、C种1件，共需付款（ ）
A．11元 B．12元 C．13元 D．不能确定
7．（2020七上·抚州期末）如下表，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，若前m个格子中所填整数之和是2020，则m的值为（ ）
A．202 B．303 C．606 D．909
8．（2019八上·和平月考）利用两块长方体木块测量两张桌子的高度.首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置.测量的数据如图，则桌子高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022七下·十堰期中）小华和小慧到校门外文具店买文件，小华购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；小慧购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付 元钱.
10．（2022九下·重庆市期中）四月正是吃草莓的季节，春旭草莓对环境适应能力极强，营养物质丰富，属于优良品种；淡雪草莓在外观上和其它草莓品种有着很大的差异，它的果肉和果皮都呈白色，深受消费者喜欢；凤香草莓维生素C的含量是其它品种的数倍.某水果店第一天从草莓园分别采购了春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓若干盒，其中春旭草莓的进价为25元/盒，淡雪草莓售价为62元/盒，凤香草莓的进价为33元/盒，水果店对春旭草莓提价100%进行销售，淡雪草莓每盒提价35元进行销售，凤香草莓的售价为38元/盒，第一天三种草莓售罄后总销售额为1674元，其中淡雪草莓和凤香草莓的销售利润共350元.第二天水果店采购和第一天相同数量的春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓.春旭草莓的成本增加了20%，春旭草莓的售价不变，淡雪草莓的进价不变，淡雪草莓的利润率变为了100%，凤香草莓的进价和售价均保持不变，由于水果店储存不当，第二天采购的淡雪草莓有的损耗（损耗水果不能销售，损耗的数量为整数盒），则第二天三种草莓售罄时总利润为 元（购买或出售三种草莓的数量均为整数盒）
11．（2022七下·余姚竞赛）响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的40%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，那么爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为 ．
12．（2022七下·余杭期中）已知关于x， y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得k=-4；②当x与y互为相反数时，解得k=3；③若4x·8y=32，则k=11；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x+5y+12=0，其中正确的序号是
13．（2021七上·江北期中）甲、乙、丙三人到某单人小火锅就餐，该店共有 种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种分量，价格分别为 元、 元和 元， ， 、 都为正整数.每个人都选择了所有 种配菜，而且对于每一种配菜，三个人在分量上的选择都各个相同，结账时，甲乙两人都花费了 元且两个在大盘菜的花费上各不相同，而丙共花费了 元，那么丙在大盘菜上花费 元.
三、解答题
14．（2020·宁波模拟）列方程（组），解应用题.
根据图中的信息，求桌子的高.
15．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
四、综合题
16．（2021七下·綦江期末）对于一个三位数 ，如果 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数 为“快乐数”.例如： ， ， 是“快乐数”； ， ， 不是“快乐数”.
（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
（2）若将一个“快乐数” 的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数 （例如：若 ，则 ），若 也是一个“快乐数”，求满足条件的所有 的值.
17．（2021七下·乳山期中）【信息阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值.
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足3x- y =5①，和2x+3y =7②．求代数式7x+5y的值.
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x、y的值后，再代入7x +5y求值.
思路2：为降低运算量，由①+②×2，可直接得出7x+5y = 19．这样的解题思路即为整体思想.
【问题解决】
（1）已知方程组，则x- y = ；
（2）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得，，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则，
解得，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣．
故答案为：B．
【分析】联立方程组可得，求出，再根据题意求出，再根据3a+b﹣7c＝﹣2+3c，然后利用一次函数的性质求解即可。
2．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，
由题意得：，
由①×2-②得：x+y+z=6，
∴10x+10y+10z=10×6=60，
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元.
故答案为：B.
【分析】设铅笔单价为x元，橡皮的单价为y元，日记本的单价为z元，根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得20x+3y+2z=32；根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得39x+5y+3z=58，利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x+y+z的值，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解
令①+②得x-z=2④，
③+④得2x=8，解得x=4
把x=4代入①解得y=3，
把x=4代入③解得z=2，
∴原方程组的解为
故答案为：D.
【分析】此题方法灵活，可先用加减消元法求出方程组的解，也可将四个选项逐一代入到方程组中去验证。
4．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设分别购买学习用品x、y、z，根据题意可得：
（①－②）×2得：③
①÷2得：④
④－③得：
方案一：
方案二：
方案三：
故答案为：D.
【分析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题中的两个相等关系“x件2元的价格+y件4元的价格+z件6元的价格=56，单价均下调后x件1.5元的价格+y件3.5元的价格+z件5.5元的价格=50”可列关于x、y、z的两个方程组，用加减法消未知数x，可得y、z的方程，根据二元一次方程的正整数解可求解.
5．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，
依题意，得： ，
（①+②）÷5，得：x+y+z＝12．
故答案为：B．
【分析】设A种玩具的单价为x元，B种玩具的单价为y元，C种玩具的单价为z元，由“若购买A种2件、B种1件、C种3件，共需24元；若购买A种3件、B种4件、C种2件，共需36元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，由（①+②）÷5可求出（x+y+z）的值，此题得解．
7．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第2，3，4个格子的数是a，b，c
根据题意，得
解得
∵相邻三个格子的数是1，12和-3，三个数的和是10，前m个格子的和是2020，
2020÷10＝202．说明有202个相邻三个格子，
∴m=202×3=606．
故答案为：C．
【分析】根据相邻三个数的和都相等列方程组即可求解．
8．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=70，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=150，
解得：h=75.
故答案为：B.
【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解.
9．【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
由①+②得，
整理得，
所以购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支需要7元钱.
故答案为：7.
【分析】先假设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据“购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱； 购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱 ”，就可以列出2个方程，再将两方程相加即可得出结论.
10．【答案】537
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓各购进盒，盒，盒，
春旭草莓的进价为元/盒，淡雪草莓售价为元/盒，凤香草莓的进价为元/盒，水果店对春旭草莓提价进行销售，淡雪草莓每盒提价元进行销售，凤香草莓的售价为元/盒，
春旭草莓的售价为元/盒，淡雪草莓进价为元/盒，凤香草莓的售价为元/盒，
春旭草莓的利润为元/盒，淡雪草莓利润为元/盒，凤香草莓的利润为元/盒，
由题意可得：，
，，为正整数，
由式可得：，
当，时，代入得，解得：；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
当，时，代入得，解得：（舍去）；
，，，
第二天购进春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓各购进盒，盒，盒，
第二天春旭草莓的成本增加了，春旭草莓的售价不变，淡雪草莓的进价不变，淡雪草莓的利润率变为了，凤香草莓的进价和售价均保持不变，由于水果店储存不当，第二天采购的淡雪草莓有的损耗（损耗水果不能销售，损耗的数量为整数盒），
春旭草莓的成本为元，售价为：元，淡雪草莓的进价为元，淡雪草莓的售价为：元，凤香草莓的进价为元，售价为：元，
淡雪草莓损耗，
淡雪草莓一共销售了盒，
第二天三种草莓的销售利润为：元.
故答案为：537.
【分析】设春旭草莓、淡雪草莓和凤香草莓各购进a盒，b盒，c盒，根据题意可得春旭草莓的利润为25元/盒，淡雪草莓利润为35元/盒，凤香草莓的利润为5元/盒，根据第一天三种草莓售罄后总销售额为1674元可得50a+62b+38c=1674，根据淡雪草莓和凤香草莓的销售利润共350元可得35b+5c=350，根据a、b、c为正整数可得a、b、c的值，然后求出春旭草莓、淡雪草莓、凤香草莓的进价和售价，据此计算.
11．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z，
①小红划分，
由题意，得：y+20%x-50%y＝40%（x+y），
解得：y＝2x，
∴此时A区面积为：x-20%x+50%y＝1.8x，
B区面积为：y+20%x-50%y＝1.2x，
②爸爸划分，
∵爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，即划分后A和B区的面积等于C区面积，
∴1.8x+1.2x+40%z＝z-40%z，
解得：z＝15x，
设将C区面积的40%划分给现在的A区为a，则B区为6x-a，
∴1.8x+a＝2[1.2x+（6x-a）]，解得：a＝4.2x，
∴爸爸从C区划分给B区的面积为：6x-a＝1.8x，
∴C区划分给B区的面积与良田总面积的比==.
故答案为：.
【分析】设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z，由小红将A区20%的面积划分给B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%，列方程为y+20%x-50%y＝40%（x+y），求得y＝2x，分别表示此时A区面积为1.8x，B区面积为1.2x；由爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，即划分后A和B区的面积等于C区面积，可列方程为1.8x+1.2x+40%z＝z-40%z，求得z＝15x，设将C区面积的40%划分给现在的A区为a，则B区为6x-a，从而得1.8x+a＝2[1.2x+（6x-a）]，求得a＝4.2x，从而得到爸爸从C区划分给B区的面积为1.8x，因此C区划分给B区的面积与良田总面积的比=，化简即可求解.
12．【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵ 关于x， y的二元一次方程组有下列说法：当x与y相等时，
∴
解之：k=-4，故正确；
②当x，y互为相反数时
解之：k=3，故正确；
③∵ 4x·8y=32 ，
∴22x23y=25
∴2x+3y=5
∴
解之：k=11，故正确；
④由题意得
由②-③得：7y=-18-k
由①-②×3得：7y=-18-k
∴-18-k=-18-k
∴无论k为何值，x与y的值一定满足关系式x+5y+12=0，故正确；
∴正确结论的序号为①②③④.
故答案为：①②③④.
【分析】将x=y代入方程组，可求出k的值，可对①作出判断；将x=-y与方程组建立关于x，y，k的三元一次方程组，解方程组求出k的值，可对②作出判断；利用已知求出2x+3y=5，与方程组建立关于x，y，k的三元一次方程组，解方程组求出k的值，可对③作出判断；将x+5y+12=0与方程组建立关于x，y，k的三元一次方程组，解方程组求出k的值，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
13．【答案】21
【知识点】二元一次方程的应用；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以 应是每一种菜品的总价的整数倍，
即 ，
， 、 都为正整数，
可知： ， ， 或 ， ，
设丙选了大盘菜 份，中盘菜 份.
由题意 ，
，
， （舍弃不合题意）或 ， （舍弃不合题意），
或 ，
，
， ，
故答案为：21.
【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以 应是每一种菜品的总价的整数倍，即 ，可求出整数解为 ， ， 或 ， ， ，设丙选了大盘菜 份，中盘菜 份， 根据丙共花费了 元，分别列出方程并求解即可.
14．【答案】解：解：设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，
由题意得： ，
解得：2a＝260，
a＝130，
答：桌子高130cm.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设坐猫高xcm，卧猫高ycm，桌子高acm，根据图示可得坐猫高+桌子高﹣卧猫高＝150cm，卧猫高+桌子高﹣坐猫高＝110cm，根据等量关系列出方程组，再解即可.
15．【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a，b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
16．【答案】（1）解：884是“快乐数”，735不是“快乐数”；
理由如下：
，
是“快乐数”；
，
不是“快乐数”.
（2）解：设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数）
根据题意得： ，
化简得：
，且 为整数，
或 或
满足条件的所有 的值为：721，642，563.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）利用快乐数的定义：一个三位数它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，分别对844，735进行判断即可.
（2） 设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数） 可得到关于a，b，c的三元一次方程组，可将方程组转化为a=-c+8，b=2c，利用a，b，c的取值范围，可得到符合题意的数m.
17．【答案】（1）4
（2）解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得
①×2②得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①-②得：
，
故答案为：4
【分析】（1）利用加减消元法求解即可得到答案；
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意列出方程组，再求解即可。
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