2023-2024学年人教版初中数学七年级下册 9.1.2 不等式的性质 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2022八上·杭州期中）若x＜3，则（ ）
A．x-2＞0 B．2x＞-1 C．2x＜3 D．18-3x＞0
2．（2023八上·保山开学考）若，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列不等式的变形中正确的是（ ）
A．两边都除以-3，得 B．两边都除以-3，得
C．两边都除以-3，得 D．两边都除以-3，得
4．（2023八上·惠州开学考）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2021七下·和平期末）下列不等式变形不一定成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（2023·吉林模拟） 把有理数、在数轴上表示，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
8．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023九下·泰兴月考）命题“若，则”是 命题.（填“真”或“假”）
10．（2023七下·岳池期末）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
11．已知a≥b，用“≥"或“≤"填空：
（1）a+7 b+7．
（2）
（3）-2a -2b．
（4）a-b 0．
（5）ac2 bc2（c≠0）．
（6） -3a -3b．
12．（2023·会宁模拟）如果不等式的解集为，那么必须满足 ．
13．（2022七上·海曙期中）已知的整数部分是的小数部分是n，则 .
三、解答题
14．（2023七下·仓山期末）已知都是实数，若．求证：．
15．已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab2的大小．
四、综合题
16．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
17．
（1）①如果 a-b＜0，那么 a b；②如果 a-b=0，那么 a b；
③如果 a-b＞0，那么 a b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若x＜3，则x-2＜1，故此选项不合题意；
B、若x＜3，则2x＜6，故此选项不合题意；
C、若x＜3，则2x＜6，故此选项不合题意；
D、若x＜3，则9-3x＞0，所以18-3x＞0，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、因为a＞b，当c=0时，ac2=bc2，所以A不一定成立；
B、因为a＞b，当a=1，b=-2时，a2＜b2，所以B不一定成立；
C、因为a＞b，所以-2a＜-2b，所以C一定成立；
D、因为a＞b，所以a-5＞b-5，所以D不一定成立；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： 不等式 两边都除以-3，得，
∴A、C、D错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质进行判断，注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变.
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故A选项不符合题意；
B．若，则a＞b，原变形正确，故B选项不符合题意；
C．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故C选项符合题意；
D．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质进行逐一的判断，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴根据性质①可得： ，A成立，不符合题意；
∵ ，
∴根据性质①可得： ，B成立，不符合题意；
∵ ，且 ，
∴根据性质②，由于 的这种情况可得： ，C不成立，符合题意；
∵ ，
∴根据性质①可得： ，
∵ ，
∴ ，D成立，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，可得答案。
6．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；不等式的性质
【解析】【解答】解：由数轴可得：b＜0＜a，且|b|＞|a|，
A.∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴该选项不符合题意；
B.∵0＜a＜1，b＜-1，
∴a＜-b，
∴该选项不符合题意；
C.∵0＜a＜1，
∴，
∴该选项符合题意；
D.∵b＜-1，
∴，
∴该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据数轴先求出b＜0＜a，且|b|＞|a|，再对每个选项逐一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
8．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
9．【答案】真
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a>b，
∴命题“若，则”是真命题.
故答案为：真.
【分析】根据ax2>bx2结合不等式的性质可得a>b，据此判断.
10．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵不等式的解集是，
∴a+2＜0，
解得：a＜-2，
故答案为：.
【分析】利用不等式的性质可得a+2＜0，再求出a的取值范围即可.
11．【答案】（1）≥
（2）≥
（3）≤
（4）≥
（5）≥
（6）≤
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： （1）∵a≥b，∴ a+7≥b+7.
故答案为：≥.
（2）∵a≥b，∴.
故答案为：≥.
（3）∵a≥b，∴ -2a≤-2b．
故答案为：≤.
（4）∵a≥b， c≠0 ，
∴c2＞0，
∴ ac2≥bc2，
故答案为：≥.
（5）∵a≥b，
∴ -3a≤-3b，
∴ -3a≤-3b.
故答案为：≤.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
12．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵不等式的解集为，
∴a+1<0，
∴，
故答案为：。
【分析】利用不等式的性质可得a+1<0，再求出a的取值范围即可。
13．【答案】
【知识点】无理数的估值；实数的运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分是，，
∵的整数部分是的小数部分是n，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】利用估算无理数大小的方法可得，进而根据不等式的性质得，据此即可得出m、n的值，再求和即可.
14．【答案】证明：
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由已知等式可得c=a+3，根据已知不等式可得b＞a+3，然后根据不等式性质，在不等式两边同时加上2b，进而再在不等式两边同时除以3可得结论.
15．【答案】解：∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，又∵-1＜b＜0，ab＞0，∴ab2＜0．∵-1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴ab2＞a，
∴a＜ab2＜ab
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数不等号方向改变，由a＜0，b＜0，得出ab＞0，进而得出ab2＜0，由
-1＜b＜0，得出0＜b2＜1，又a＜0，故ab2＞a，根据有理数大小的比较即可得出答案。
16．【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．
17．【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）解：(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=-x2 ≤ 0，
∴3x2-3x+7 ≤ 4x2-3x+7
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)①∵a-b＜0
∴a-b+b＜0+b，
∴a＜b
②∵a-b=0
∴a=b；
③∵a-b＞0
∴a-b+b＞0+b
∴a＞b
故答案为：＜，=，＞
【分析】（1）利用不等式的性质1，可分别得到a与b的大小关系。
（2）利用（1）的方法，可以利用求差法比较a，b的大小。
（3）利用求差法，求出两代数式的差，根据两代数式的差-x2的大小关系，可得到两代数式的大小。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册 9.1.2 不等式的性质 同步分层训练 培优题
一、选择题
1．（2022八上·杭州期中）若x＜3，则（ ）
A．x-2＞0 B．2x＞-1 C．2x＜3 D．18-3x＞0
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若x＜3，则x-2＜1，故此选项不合题意；
B、若x＜3，则2x＜6，故此选项不合题意；
C、若x＜3，则2x＜6，故此选项不合题意；
D、若x＜3，则9-3x＞0，所以18-3x＞0，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
2．（2023八上·保山开学考）若，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、因为a＞b，当c=0时，ac2=bc2，所以A不一定成立；
B、因为a＞b，当a=1，b=-2时，a2＜b2，所以B不一定成立；
C、因为a＞b，所以-2a＜-2b，所以C一定成立；
D、因为a＞b，所以a-5＞b-5，所以D不一定成立；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可得出答案。
3．下列不等式的变形中正确的是（ ）
A．两边都除以-3，得 B．两边都除以-3，得
C．两边都除以-3，得 D．两边都除以-3，得
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： 不等式 两边都除以-3，得，
∴A、C、D错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质进行判断，注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向要改变.
4．（2023八上·惠州开学考）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故A选项不符合题意；
B．若，则a＞b，原变形正确，故B选项不符合题意；
C．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故C选项符合题意；
D．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质进行逐一的判断，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．（2021七下·和平期末）下列不等式变形不一定成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴根据性质①可得： ，A成立，不符合题意；
∵ ，
∴根据性质①可得： ，B成立，不符合题意；
∵ ，且 ，
∴根据性质②，由于 的这种情况可得： ，C不成立，符合题意；
∵ ，
∴根据性质①可得： ，
∵ ，
∴ ，D成立，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，可得答案。
6．（2023·吉林模拟） 把有理数、在数轴上表示，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；不等式的性质
【解析】【解答】解：由数轴可得：b＜0＜a，且|b|＞|a|，
A.∵a＞b，
∴a-b＞0，
∴该选项不符合题意；
B.∵0＜a＜1，b＜-1，
∴a＜-b，
∴该选项不符合题意；
C.∵0＜a＜1，
∴，
∴该选项符合题意；
D.∵b＜-1，
∴，
∴该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据数轴先求出b＜0＜a，且|b|＞|a|，再对每个选项逐一判断即可。
7．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。
故应选：C．
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。
8．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
二、填空题
9．（2023九下·泰兴月考）命题“若，则”是 命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a>b，
∴命题“若，则”是真命题.
故答案为：真.
【分析】根据ax2>bx2结合不等式的性质可得a>b，据此判断.
10．（2023七下·岳池期末）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵不等式的解集是，
∴a+2＜0，
解得：a＜-2，
故答案为：.
【分析】利用不等式的性质可得a+2＜0，再求出a的取值范围即可.
11．已知a≥b，用“≥"或“≤"填空：
（1）a+7 b+7．
（2）
（3）-2a -2b．
（4）a-b 0．
（5）ac2 bc2（c≠0）．
（6） -3a -3b．
【答案】（1）≥
（2）≥
（3）≤
（4）≥
（5）≥
（6）≤
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： （1）∵a≥b，∴ a+7≥b+7.
故答案为：≥.
（2）∵a≥b，∴.
故答案为：≥.
（3）∵a≥b，∴ -2a≤-2b．
故答案为：≤.
（4）∵a≥b， c≠0 ，
∴c2＞0，
∴ ac2≥bc2，
故答案为：≥.
（5）∵a≥b，
∴ -3a≤-3b，
∴ -3a≤-3b.
故答案为：≤.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
12．（2023·会宁模拟）如果不等式的解集为，那么必须满足 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵不等式的解集为，
∴a+1<0，
∴，
故答案为：。
【分析】利用不等式的性质可得a+1<0，再求出a的取值范围即可。
13．（2022七上·海曙期中）已知的整数部分是的小数部分是n，则 .
【答案】
【知识点】无理数的估值；实数的运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分是，，
∵的整数部分是的小数部分是n，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】利用估算无理数大小的方法可得，进而根据不等式的性质得，据此即可得出m、n的值，再求和即可.
三、解答题
14．（2023七下·仓山期末）已知都是实数，若．求证：．
【答案】证明：
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由已知等式可得c=a+3，根据已知不等式可得b＞a+3，然后根据不等式性质，在不等式两边同时加上2b，进而再在不等式两边同时除以3可得结论.
15．已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab2的大小．
【答案】解：∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，又∵-1＜b＜0，ab＞0，∴ab2＜0．∵-1＜b＜0，∴0＜b2＜1，∴ab2＞a，
∴a＜ab2＜ab
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数不等号方向改变，由a＜0，b＜0，得出ab＞0，进而得出ab2＜0，由
-1＜b＜0，得出0＜b2＜1，又a＜0，故ab2＞a，根据有理数大小的比较即可得出答案。
四、综合题
16．两个非负实数a和b满足a+2b=3，且c=3a+2b
求：
（1）求a的取值范围；
（2）请含a的代数式表示c，并求c的取值范围．
【答案】（1）解：∵a+2b=3，
∴2b=3﹣a，
∵a、b是非负实数，
∴b≥0，a≥0，
∴2b≥0，
∴3﹣a≥0，
解得0≤a≤3
（2）解：∵a+2b=3，c=3a+2b，
∴c﹣3=（3a+2b）﹣（a+2b）=2a，
∴c=2a+3，
∵a是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤3，
∴0≤2a≤6，3≤a+3≤9，
即3≤c≤9
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据a+2b=3，可得2b=3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b=3，c=3a+2b，用含a的代数式表示c，再根据a是非负实数，求出c的取值范围即可．
17．
（1）①如果 a-b＜0，那么 a b；②如果 a-b=0，那么 a b；
③如果 a-b＞0，那么 a b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
【答案】（1）＜；=；＞
（2）解：比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）解：(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)=-x2 ≤ 0，
∴3x2-3x+7 ≤ 4x2-3x+7
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)①∵a-b＜0
∴a-b+b＜0+b，
∴a＜b
②∵a-b=0
∴a=b；
③∵a-b＞0
∴a-b+b＞0+b
∴a＞b
故答案为：＜，=，＞
【分析】（1）利用不等式的性质1，可分别得到a与b的大小关系。
（2）利用（1）的方法，可以利用求差法比较a，b的大小。
（3）利用求差法，求出两代数式的差，根据两代数式的差-x2的大小关系，可得到两代数式的大小。
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