2023-2024学年人教版初中数学七年级下册 9.2 一元一次不等式 同步分层训练 提升题
一、选择题
1．（2020八下·灯塔月考）不等式 的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用.最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄.以40岁为例计算，，所以40岁时最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式的解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页？设第六天起平均每天至少要读页，则根据题意列不等式为（ ）
A． B． C． D．
5．
（1）不等式1-x≥x-1的解是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．x≤1 D．x≤-1
（2）不等式>1去分母后得（ ）
A．2（x-1）-x-2>1 B．2（x-1）-x+2>1
C．2（x-1）-x-2>4 D．2（x-1）-（x-2）>4
（3）在解不等式的下列过程中，错误的一步是（ ）
A．去分母，得5（2+x）>3（2x-1）
B．去括号，得10+5x>6x-3
C．移项，得5x-6x>-3-10
D．系数化为1，得x>13
6．（2022八上·九龙开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·东阳期中）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
8．学习了一元一次不等式的解法后，四名同学解不等式时第一步“去分母”的解答过程都不同，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2021·衢州）不等式 的解为 .
10．（2023八上·杭州月考）用不等式表示“的2倍与1的和是正数”： .
11．若关于的不等式的正整数解只有3个，则的取值范围是 。
12．（2023八上·杭州月考）某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品.已知产品的成本每个5元，售价是每个8元.若每月能生产、销售2000个产品，问至少 个月后能赚回这台机器的贷款.
13．（2023八上·龙泉期中）已知关于x的不等式0.5x＞3a－2.5x.若不等式的最小负整数解为x=－7，则a的取值范围是 .
三、解答题
14．已知方程组的解满足，求的取值范围.
15．某工厂投资建设了日废水处理为a(吨)的废水处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本20 元，并且每处理一吨废水还需要其他费用7元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付11元．根据记录，某日该工厂产生废水30吨，共花费废水处理费270元．
（1）求该车间的日废水处理量a．
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过9元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
四、综合题
16．（2023八下·盐湖期末）樱桃是一种常见水果，其中含有丰富的维生素、铁元素、蛋白质、胡萝卜素等营养成分具有补血、抗氧化、健脾益肾的作用，深受人们的喜爱．某水果批发商从水果批发市场批发樱桃进行零售，批发价格与零售价格如下表：
樱桃品种 红灯樱桃 大紫樱桃
批发价（元/kg） 30 50
零售价（元/kg） 55 80
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户批发红灯樱桃和大紫樱桃共用去了10000元，这两种樱桃当天全部销售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户仍用10000元批发这两种樱桃，要想当天全部售完后所赚钱不少于8100元，则该经营户最少应批发红灯樱桃多少？
17．（2019·伊春）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买 个甲种文具、 个乙种文具共需花费 元；购买 个甲种文具、 个乙种文具共需花费 元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共 个，投入资金不少于 元又不多于 元，设购买甲种文具 个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式4-3x≥2x-6，
整理得，5x≤10，
∴x≤2；
∴其非负整数解是0、1、2.
故答案为：C.
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可.
2．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据题意知，即.
故答案为：A.
【分析】根据“最佳燃脂心率最高值不应该超过(220-年龄)×0.8，最低值不低于(220-年龄)×0.6”列出不等式.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：＜0，
∴x-1＜0，
∴x＜1，
∴选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】解不等式得出x＜1，再在数轴上表示出来，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设第六天起平均每天至少要读x页，由题意得：100+5x≥400.
故答案为：A.
【分析】由题意得不等关系：100页+后五天读的页数不少于400，根据不等关系即可列出不等式.
5．【答案】（1）C
（2）D
（3）D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1） 1-x≥x-1，
移项合并得 -2x≥-2，
系数化为1得 x≤1.
故答案为：C.
（2） >1，
两边同乘4，得2（x-1）-（x-2）＞4.
故答案为：D.
（3） ，
去分母得 5（2+x）>3（2x-1） ，
去括号，得10+5x>6x-3．
移项，得5x-6x>-3-10．
合并，得-x>-13．
系数化为1，得x＜13．
故答案为：D.
【分析】（1）利用移项、合并、系数化为1进行解不等式即可；
（2）将不等式两边同乘4即可去分母；
（3）利用去分母、去括号、 移项，合并，系数化为1进行解不等式，再判断即可.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式组
，恰好有3个整数解，它们应该是3，2，1，故
又关于y的方程 解得
得到关于m的不等式组
解得
符合条件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它们的和是-5
故答案为：B
【分析】根据题意解不等式组和方程，找到公共解集；公共解集又组成新的不等式组，再次求解即能找到符合条件的所有整数。
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组得：2故答案为：C.
【分析】先根据求出不等式组的解，利用数轴可以观察出，5<6，然后得解，在取不等号时，特别留意能否取等号。
8．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
去分母，得(1-x)-2(1+x)≥6.
故答案为：D.
【分析】去分母，(两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘)，据此判断得出答案.
9．【答案】y＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
去括号得：
不等号两边同减y得：
解得：y＜1.
故答案为：y＜1
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，可求出不等式的解集.
10．【答案】2a+1＞0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得2a+1＞0.
故答案为：2a+1＞0.
【分析】先表示a的2倍为2a，再求2a与1的和，最后结合大于0的数是正数可求解.
11．【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
∵不等式只有3个正整数解，
∴这3个正整数解为1，2，3，
∴3<3m≤4
∴
故答案为：.
【分析】先将m作为字母系数解不等式，确定正整数解，再根据正整数解确定3m的取值范围，进而求得m的范围.
12．【答案】4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，
由题意得：（8-5）×2000x≥22000，
解得：，
∴至少4个月后能赚回这台机器的贷款.
故答案为：4.
【分析】设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，根据题中的不等关系“单个的利润×月销售量×销售月数≥业主贷款22000”可列关于x的不等式，解不等式求出该不等式的最小正整数可求解.
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵0.5x＞3a－2.5x，
∴
∵不等式的最小负整数解为x=－7，
∴，
故答案为：.
【分析】先解出不等式的解集，再根据"不等式的最小负整数解为x=－7"，即可求出a的取值范围.
14．【答案】解：，
解得，
∵2kx-3y＜5，
∴4k-3＜5，
∴k＜2.
【知识点】解一元一次不等式；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】解方程组求出x，y的值，再代入不等式，得出4k-3＜5，求出k的取值范围，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：依题意，得.
解得，
答：的值为20；
（2）解：设该厂一天产生工业废水吨，
①当时，，
解得.
又，
.
②当时，，
解得.
又，
.
.
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为不低于10吨且不超过30吨.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，解此方程即可求解；
（2）设该厂一天产生工业废水吨，分两种情况讨论，①当时，此时，②当时，此时，分别解不等式即可.
16．【答案】（1）解：设红灯樱桃批发了，则大紫樱桃批发了，
则
解得，
则，
答：第一天赚了7750元.
（2）解：设红灯樱桃进，
解得：，
答：最少进红灯樱桃．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据当天全部售完后所赚钱不少于8100元，列不等式求解即可。
17．【答案】（1）解：设购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元，由题意得：
，解得 ，
答：购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元
（2）解：根据题意得：
，
解得 ，
是整数，
有 种购买方案
（3）解： ，
，
随 的增大而增大，
当 时， （元），
．
答：购买甲种文具 个，乙种文具 个时需要的资金最少，最少资金是 元．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据文具的费用与数量的关系，可列出方程组，解出即可。
（2）根据题意，列出甲种文具的不等式，得到购买方案。
（3）根据题意，列出资金与数量的关系，利用一次函数的性质，可得到最大值。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册 9.2 一元一次不等式 同步分层训练 提升题
一、选择题
1．（2020八下·灯塔月考）不等式 的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：不等式4-3x≥2x-6，
整理得，5x≤10，
∴x≤2；
∴其非负整数解是0、1、2.
故答案为：C.
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可.
2．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用.最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄.以40岁为例计算，，所以40岁时最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：根据题意知，即.
故答案为：A.
【分析】根据“最佳燃脂心率最高值不应该超过(220-年龄)×0.8，最低值不低于(220-年龄)×0.6”列出不等式.
3．在数轴上表示不等式的解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：＜0，
∴x-1＜0，
∴x＜1，
∴选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】解不等式得出x＜1，再在数轴上表示出来，即可得出答案.
4．小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页？设第六天起平均每天至少要读页，则根据题意列不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设第六天起平均每天至少要读x页，由题意得：100+5x≥400.
故答案为：A.
【分析】由题意得不等关系：100页+后五天读的页数不少于400，根据不等关系即可列出不等式.
5．
（1）不等式1-x≥x-1的解是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．x≤1 D．x≤-1
（2）不等式>1去分母后得（ ）
A．2（x-1）-x-2>1 B．2（x-1）-x+2>1
C．2（x-1）-x-2>4 D．2（x-1）-（x-2）>4
（3）在解不等式的下列过程中，错误的一步是（ ）
A．去分母，得5（2+x）>3（2x-1）
B．去括号，得10+5x>6x-3
C．移项，得5x-6x>-3-10
D．系数化为1，得x>13
【答案】（1）C
（2）D
（3）D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1） 1-x≥x-1，
移项合并得 -2x≥-2，
系数化为1得 x≤1.
故答案为：C.
（2） >1，
两边同乘4，得2（x-1）-（x-2）＞4.
故答案为：D.
（3） ，
去分母得 5（2+x）>3（2x-1） ，
去括号，得10+5x>6x-3．
移项，得5x-6x>-3-10．
合并，得-x>-13．
系数化为1，得x＜13．
故答案为：D.
【分析】（1）利用移项、合并、系数化为1进行解不等式即可；
（2）将不等式两边同乘4即可去分母；
（3）利用去分母、去括号、 移项，合并，系数化为1进行解不等式，再判断即可.
6．（2022八上·九龙开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式组
，恰好有3个整数解，它们应该是3，2，1，故
又关于y的方程 解得
得到关于m的不等式组
解得
符合条件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它们的和是-5
故答案为：B
【分析】根据题意解不等式组和方程，找到公共解集；公共解集又组成新的不等式组，再次求解即能找到符合条件的所有整数。
7．（2023八上·东阳期中）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10 B．10≤a＜12 C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组得：2故答案为：C.
【分析】先根据求出不等式组的解，利用数轴可以观察出，5<6，然后得解，在取不等号时，特别留意能否取等号。
8．学习了一元一次不等式的解法后，四名同学解不等式时第一步“去分母”的解答过程都不同，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
去分母，得(1-x)-2(1+x)≥6.
故答案为：D.
【分析】去分母，(两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘)，据此判断得出答案.
二、填空题
9．（2021·衢州）不等式 的解为 .
【答案】y＜1
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
去括号得：
不等号两边同减y得：
解得：y＜1.
故答案为：y＜1
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，可求出不等式的解集.
10．（2023八上·杭州月考）用不等式表示“的2倍与1的和是正数”： .
【答案】2a+1＞0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得2a+1＞0.
故答案为：2a+1＞0.
【分析】先表示a的2倍为2a，再求2a与1的和，最后结合大于0的数是正数可求解.
11．若关于的不等式的正整数解只有3个，则的取值范围是 。
【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
∵不等式只有3个正整数解，
∴这3个正整数解为1，2，3，
∴3<3m≤4
∴
故答案为：.
【分析】先将m作为字母系数解不等式，确定正整数解，再根据正整数解确定3m的取值范围，进而求得m的范围.
12．（2023八上·杭州月考）某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品.已知产品的成本每个5元，售价是每个8元.若每月能生产、销售2000个产品，问至少 个月后能赚回这台机器的贷款.
【答案】4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，
由题意得：（8-5）×2000x≥22000，
解得：，
∴至少4个月后能赚回这台机器的贷款.
故答案为：4.
【分析】设至少x个月后能赚回这台机器的贷款，根据题中的不等关系“单个的利润×月销售量×销售月数≥业主贷款22000”可列关于x的不等式，解不等式求出该不等式的最小正整数可求解.
13．（2023八上·龙泉期中）已知关于x的不等式0.5x＞3a－2.5x.若不等式的最小负整数解为x=－7，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵0.5x＞3a－2.5x，
∴
∵不等式的最小负整数解为x=－7，
∴，
故答案为：.
【分析】先解出不等式的解集，再根据"不等式的最小负整数解为x=－7"，即可求出a的取值范围.
三、解答题
14．已知方程组的解满足，求的取值范围.
【答案】解：，
解得，
∵2kx-3y＜5，
∴4k-3＜5，
∴k＜2.
【知识点】解一元一次不等式；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】解方程组求出x，y的值，再代入不等式，得出4k-3＜5，求出k的取值范围，即可得出答案.
15．某工厂投资建设了日废水处理为a(吨)的废水处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本20 元，并且每处理一吨废水还需要其他费用7元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付11元．根据记录，某日该工厂产生废水30吨，共花费废水处理费270元．
（1）求该车间的日废水处理量a．
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过9元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．
【答案】（1）解：依题意，得.
解得，
答：的值为20；
（2）解：设该厂一天产生工业废水吨，
①当时，，
解得.
又，
.
②当时，，
解得.
又，
.
.
综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为不低于10吨且不超过30吨.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，解此方程即可求解；
（2）设该厂一天产生工业废水吨，分两种情况讨论，①当时，此时，②当时，此时，分别解不等式即可.
四、综合题
16．（2023八下·盐湖期末）樱桃是一种常见水果，其中含有丰富的维生素、铁元素、蛋白质、胡萝卜素等营养成分具有补血、抗氧化、健脾益肾的作用，深受人们的喜爱．某水果批发商从水果批发市场批发樱桃进行零售，批发价格与零售价格如下表：
樱桃品种 红灯樱桃 大紫樱桃
批发价（元/kg） 30 50
零售价（元/kg） 55 80
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户批发红灯樱桃和大紫樱桃共用去了10000元，这两种樱桃当天全部销售完一共能赚多少元钱？
（2）第二天，该经营户仍用10000元批发这两种樱桃，要想当天全部售完后所赚钱不少于8100元，则该经营户最少应批发红灯樱桃多少？
【答案】（1）解：设红灯樱桃批发了，则大紫樱桃批发了，
则
解得，
则，
答：第一天赚了7750元.
（2）解：设红灯樱桃进，
解得：，
答：最少进红灯樱桃．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据当天全部售完后所赚钱不少于8100元，列不等式求解即可。
17．（2019·伊春）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买 个甲种文具、 个乙种文具共需花费 元；购买 个甲种文具、 个乙种文具共需花费 元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共 个，投入资金不少于 元又不多于 元，设购买甲种文具 个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】（1）解：设购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元，由题意得：
，解得 ，
答：购买一个甲种文具 元，一个乙种文具 元
（2）解：根据题意得：
，
解得 ，
是整数，
有 种购买方案
（3）解： ，
，
随 的增大而增大，
当 时， （元），
．
答：购买甲种文具 个，乙种文具 个时需要的资金最少，最少资金是 元．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据文具的费用与数量的关系，可列出方程组，解出即可。
（2）根据题意，列出甲种文具的不等式，得到购买方案。
（3）根据题意，列出资金与数量的关系，利用一次函数的性质，可得到最大值。
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