2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第四章）基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2016·滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
2．（2023·杭州）分解因式：（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·西藏）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
4．（2020·金华·丽水）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019七下·卢龙期末）多项式12ab3c＋8a3b的公因式是（ ）
A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab
6．（2013·茂名）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
7．下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b=2（a﹣b） B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）
8．下面有两个对代数式进行变形的过程：
①(c+b)(c-b)-a(a+2b)=c2-b2-a2-2ab=c2-(b2+a2+2ab)=c2-(a+b)2；
②(2a2+2)(a2-1)=2(a2+1)(a2-1)=2(a4-1)．
其中，完成“分解因式”要求的（ ）
A．只有① B．只有② C．有①和② D．一个也没有
9．（2023八下·西安月考）已知ab＝2，a-2b＝3，则4ab2-2a2b的值是（ ）
A．6 B．-6 C．12 D．-12
10．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 已知 则 的值是
12．（2021七下·曲阳期末）分解因式：m3n 4mn=
13．若整式x2+ky2 (k≠0且k为常数)能在有理数范围内进行因式分解，则k= ．(写出一个即可)
14．（2023八上·吉林期中）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
15．（2024八上·长春期中）把多项式x2+ax-15（a常数）因式分解得到（x-3）（x+5），则a= ．
16．（2023八上·榆树期中）多项式6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是 ．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023八下·礼泉期末）因式分解：x4-81.
18．（2022八下·洋县期末）因式分解：．
19．（2018八上·大石桥期末）分解因式：
（1）10a－5a2－5；
（2）(x2＋3x)2－(x－1)2.
20．（2023八上·鸠江月考）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
21．下面是某同学对多项式(x2-4x)(x2-4x+8)+16进行因式分解的过程：
解：设x2-4x=y，
原式= y(y+8)+16 (第-步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ____．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式 D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，则该因式分解的最终结果为
（3）请你模仿上述方法，对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解．
22．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 .
（1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算.
（2）若 求 x +y+z的值.
（3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.
23．（2023八上·永兴开学考）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x-2）＝
③（x-6）（x-1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用x2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2-x-12．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）=x x﹣x 3+1 x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2，b=﹣3．
故选：B．
【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x﹣3）的值，对比系数可以得到a，b的值．本题考查了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则．
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4a2-1=（2a）2-1=（2a-1）（2a+1）.
故答案为：A.
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
3．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝2x（y+2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，从而即可一一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、两符号相同，不能用平方差公式分解，故A不符合题意；
B、虽然符号相反，但缺少平方项，∴不能用平方差公式分解，故B不符合题意；
C、a2-b2=(a+b)(a-b)，故C符合题意；
D、两符号相同，不能用平方差公式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，据此逐一分析即可.
5．【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】 ，
4ab是公因式，
故答案为：D．
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
6．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；
B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确；
C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；
D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确；
故选C．
【分析】根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．
8．【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： ①(c+b)(c-b)-a(a+2b)=c2-b2-a2-2ab=c2-(b2+a2+2ab)=c2-(a+b)2 =(c+a+b)(c-a-b)，故①没有完成“因式分解”要求；
(2a2+2)(a2-1)=2(a2+1)(a2-1) = (2a2+2)(a2-1)=2(a2+1)(a-1)(a+1)，故②没有完成“因式分解”要求，
综上①与②都没有完成因式分解的要求.
故答案为：D.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，据此逐个判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ab＝2，a-2b＝3，
∴2b-a＝-3
∴4ab2-2a2b
＝2ab（2b-a）
＝2×2×（-3）
＝-12.
故答案为：D.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后再整体代入计算即可.
10．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
11．【答案】4
【知识点】因式分解的应用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式加减法先求出“a+b”与“a-b”的值，再将待求式子利用平方差公式分解因式后整体代入，按二次根式的乘法法则计算可得答案.
12．【答案】mn（m+2）（m－2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=mn（－4）=mn（m+2）（m－2）．
【分析】先提取公因式mn，再利用平方差公式因式分解即可。
13．【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），
故答案为：-1（答案不唯一）．
【分析】令k=-1，使其能利用平方差公式分解即可．
14．【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用十字相乘法分解因式求解即可。
15．【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+5）=x2+5x-3x-15=x2+2x-15，
且多项式x2+ax-15（a常数）因式分解得到（x-3）（x+5），
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算（x-3）（x+5），再把结果和要求的多项式对比即可求解.
16．【答案】3ab
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： 6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是3ab。
故答案为：3ab .
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式。
17．【答案】解：原式=(x2+9)(x2-9)
=(x2+9)(x+3)(x-3).
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】本题用了两次公式法分解因式，平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b).
18．【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提公因式x-y，再根据平方差公式进行因式分解，即可得出答案.
19．【答案】（1）解：原式＝－5(a2－2a＋1)＝－5(a－1)2.
（2）解：原式＝(x2＋3x＋x－1)(x2＋3x－x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x2＋2x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x＋1)2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）先利用提公因式法提公因式-5，然后利用完全平方公式法分解即可；（2）把x2＋3x，x－1分别看成整体，然后直接利用平方差公式分解即可。
20．【答案】（1）解：①原式＝（3m 3y）＋（am ay）
＝3（m y）＋a（m y）
＝（m y）（3＋a）；
②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）
＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）
＝（x＋y）（a2＋b2）；
（2）（a＋b＋1）（a＋b 1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（2）a2＋2ab＋b2 1
＝（a＋b）2 1
＝（a＋b＋1）（a＋b 1）．
故答案为：（a＋b＋1）（a＋b 1）．
【分析】（1）①直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
②直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
21．【答案】（1）D
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2-2x=A，
原式=(A-1)(A+3)+4
=A2+2A-3+4
=A2+2A+1
=(A+1)2
=(x2-2x+1)2
=[(x-1)2]2
=(x-1)4.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1） 该同学第二步到第三步运用了 “ 两数和的完全平方公式 ”；
故答案为：C；
（2） 该同学因式分解的结果不彻底，该多项式因式分解的最终结果为（x-2）4；
故答案为：不彻底；（x-2）4；
【分析】（1）该同学第二步到第三步是将一个完全平方式变形成了两个数和的完全平方，据此可得答案；
（2）因式分解必须进行到每一个因式都不能分解为止，由于第四步中，底数“x2-4x+4”是一个完全平方式，还可以继续分解，据此可解答此题；
（3）设x2-2x=A，然后代入原式并整理得A2+2A+1，从而用完全平方公式分解因式，进而再将x2-2x=A代入，再一次使用完全平方公式分解即可.
22．【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc，
∴；
（2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3，
∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3，
即x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7，
∴(x+y+z)2=7，
∴x+y+z=；
（3）解：如图所示：
3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b).
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可；
（2）将第一个等式与第二个等式的2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即可；
（3）先画出图形，再根据3个边长为a的正方形的面积+2个边长为b的正方形的面积+7个长为a，宽为b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解.
23．【答案】（1）（x+a）（x+b）；x2+bx+ax+ab；x2+（a+b）x+ab，；（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab
（2）解：①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x2+x-6，
③原式＝x2-7x+6
（3）解：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
②x2-x-12＝（x+3）（x-4）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据长方形计算公式得：S甲=(x+a)（x+b）；S乙=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+b2；
∴可得规律为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
故第1空答案为：(x+a)（x+b）；故第2空答案为：x2+bx+ax+ab；故第3空答案为：x2+（a+b）x+b2；故第4空答案为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
【分析】（1）根据图形面积的求法，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的规律(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2，可得计算结果；
（3）根据x2+（a+b）x+b2=(x+a)（x+b），可得因式分解的结果。
1 / 12024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第四章）基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2016·滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）=x x﹣x 3+1 x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2，b=﹣3．
故选：B．
【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x﹣3）的值，对比系数可以得到a，b的值．本题考查了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则．
2．（2023·杭州）分解因式：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4a2-1=（2a）2-1=（2a-1）（2a+1）.
故答案为：A.
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
3．（2020·西藏）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝2x（y+2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，从而即可一一判断得出答案.
4．（2020·金华·丽水）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、两符号相同，不能用平方差公式分解，故A不符合题意；
B、虽然符号相反，但缺少平方项，∴不能用平方差公式分解，故B不符合题意；
C、a2-b2=(a+b)(a-b)，故C符合题意；
D、两符号相同，不能用平方差公式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，据此逐一分析即可.
5．（2019七下·卢龙期末）多项式12ab3c＋8a3b的公因式是（ ）
A．4ab2 B．4abc C．2ab2 D．4ab
【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】 ，
4ab是公因式，
故答案为：D．
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
6．（2013·茂名）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
7．下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b=2（a﹣b） B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；
B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确；
C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；
D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确；
故选C．
【分析】根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．
8．下面有两个对代数式进行变形的过程：
①(c+b)(c-b)-a(a+2b)=c2-b2-a2-2ab=c2-(b2+a2+2ab)=c2-(a+b)2；
②(2a2+2)(a2-1)=2(a2+1)(a2-1)=2(a4-1)．
其中，完成“分解因式”要求的（ ）
A．只有① B．只有② C．有①和② D．一个也没有
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： ①(c+b)(c-b)-a(a+2b)=c2-b2-a2-2ab=c2-(b2+a2+2ab)=c2-(a+b)2 =(c+a+b)(c-a-b)，故①没有完成“因式分解”要求；
(2a2+2)(a2-1)=2(a2+1)(a2-1) = (2a2+2)(a2-1)=2(a2+1)(a-1)(a+1)，故②没有完成“因式分解”要求，
综上①与②都没有完成因式分解的要求.
故答案为：D.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，据此逐个判断得出答案.
9．（2023八下·西安月考）已知ab＝2，a-2b＝3，则4ab2-2a2b的值是（ ）
A．6 B．-6 C．12 D．-12
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ab＝2，a-2b＝3，
∴2b-a＝-3
∴4ab2-2a2b
＝2ab（2b-a）
＝2×2×（-3）
＝-12.
故答案为：D.
【分析】将待求式子利用提取公因式法分解因式后再整体代入计算即可.
10．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 已知 则 的值是
【答案】4
【知识点】因式分解的应用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式加减法先求出“a+b”与“a-b”的值，再将待求式子利用平方差公式分解因式后整体代入，按二次根式的乘法法则计算可得答案.
12．（2021七下·曲阳期末）分解因式：m3n 4mn=
【答案】mn（m+2）（m－2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=mn（－4）=mn（m+2）（m－2）．
【分析】先提取公因式mn，再利用平方差公式因式分解即可。
13．若整式x2+ky2 (k≠0且k为常数)能在有理数范围内进行因式分解，则k= ．(写出一个即可)
【答案】-1（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），
故答案为：-1（答案不唯一）．
【分析】令k=-1，使其能利用平方差公式分解即可．
14．（2023八上·吉林期中）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用十字相乘法分解因式求解即可。
15．（2024八上·长春期中）把多项式x2+ax-15（a常数）因式分解得到（x-3）（x+5），则a= ．
【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+5）=x2+5x-3x-15=x2+2x-15，
且多项式x2+ax-15（a常数）因式分解得到（x-3）（x+5），
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算（x-3）（x+5），再把结果和要求的多项式对比即可求解.
16．（2023八上·榆树期中）多项式6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是 ．
【答案】3ab
【知识点】公因式
【解析】【解答】解： 6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是3ab。
故答案为：3ab .
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式。
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023八下·礼泉期末）因式分解：x4-81.
【答案】解：原式=(x2+9)(x2-9)
=(x2+9)(x+3)(x-3).
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】本题用了两次公式法分解因式，平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b).
18．（2022八下·洋县期末）因式分解：．
【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提公因式x-y，再根据平方差公式进行因式分解，即可得出答案.
19．（2018八上·大石桥期末）分解因式：
（1）10a－5a2－5；
（2）(x2＋3x)2－(x－1)2.
【答案】（1）解：原式＝－5(a2－2a＋1)＝－5(a－1)2.
（2）解：原式＝(x2＋3x＋x－1)(x2＋3x－x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x2＋2x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x＋1)2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）先利用提公因式法提公因式-5，然后利用完全平方公式法分解即可；（2）把x2＋3x，x－1分别看成整体，然后直接利用平方差公式分解即可。
20．（2023八上·鸠江月考）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【答案】（1）解：①原式＝（3m 3y）＋（am ay）
＝3（m y）＋a（m y）
＝（m y）（3＋a）；
②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）
＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）
＝（x＋y）（a2＋b2）；
（2）（a＋b＋1）（a＋b 1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：（2）a2＋2ab＋b2 1
＝（a＋b）2 1
＝（a＋b＋1）（a＋b 1）．
故答案为：（a＋b＋1）（a＋b 1）．
【分析】（1）①直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
②直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
21．下面是某同学对多项式(x2-4x)(x2-4x+8)+16进行因式分解的过程：
解：设x2-4x=y，
原式= y(y+8)+16 (第-步)
=y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ____．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式 D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，则该因式分解的最终结果为
（3）请你模仿上述方法，对多项式(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4进行因式分解．
【答案】（1）D
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2-2x=A，
原式=(A-1)(A+3)+4
=A2+2A-3+4
=A2+2A+1
=(A+1)2
=(x2-2x+1)2
=[(x-1)2]2
=(x-1)4.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1） 该同学第二步到第三步运用了 “ 两数和的完全平方公式 ”；
故答案为：C；
（2） 该同学因式分解的结果不彻底，该多项式因式分解的最终结果为（x-2）4；
故答案为：不彻底；（x-2）4；
【分析】（1）该同学第二步到第三步是将一个完全平方式变形成了两个数和的完全平方，据此可得答案；
（2）因式分解必须进行到每一个因式都不能分解为止，由于第四步中，底数“x2-4x+4”是一个完全平方式，还可以继续分解，据此可解答此题；
（3）设x2-2x=A，然后代入原式并整理得A2+2A+1，从而用完全平方公式分解因式，进而再将x2-2x=A代入，再一次使用完全平方公式分解即可.
22．教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取图 1中的正方形、长方形硬纸片共 6 块，拼出一个如图2所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式： 或 .
（1）请根据图 3写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算.
（2）若 求 x +y+z的值.
（3）试借助图1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内.
【答案】（1）解：由题意得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac++2bc，
∴；
（2）解：∵x2+y2+z2=1，xy+yz+xz=3，
∴x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1+2×3，
即x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=7，
∴(x+y+z)2=7，
∴x+y+z=；
（3）解：如图所示：
3a2+7ab+2b2=(3a+b)(a+2b).
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个长方形的面积可列出恒等式，再根据所写的恒等式计算(x-2y-3)2即可；
（2）将第一个等式与第二个等式的2倍相加后再结合（1）中的结论变形为(x+y+z)2=7，最后再开平方即可；
（3）先画出图形，再根据3个边长为a的正方形的面积+2个边长为b的正方形的面积+7个长为a，宽为b的长方形的面积=整个长方形的面积，即可分解.
23．（2023八上·永兴开学考）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x-2）＝
③（x-6）（x-1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用x2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2-x-12．
【答案】（1）（x+a）（x+b）；x2+bx+ax+ab；x2+（a+b）x+ab，；（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab
（2）解：①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x2+x-6，
③原式＝x2-7x+6
（3）解：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
②x2-x-12＝（x+3）（x-4）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据长方形计算公式得：S甲=(x+a)（x+b）；S乙=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+b2；
∴可得规律为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
故第1空答案为：(x+a)（x+b）；故第2空答案为：x2+bx+ax+ab；故第3空答案为：x2+（a+b）x+b2；故第4空答案为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
【分析】（1）根据图形面积的求法，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的规律(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2，可得计算结果；
（3）根据x2+（a+b）x+b2=(x+a)（x+b），可得因式分解的结果。
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