北师大版数学八年级下册单元清测试（第四章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
A、从左到右的变形不为因式分解，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义结合题意运用公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可求解。
2．（2023·益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据因式分解-公式法和提公因式法的综合即可求解。
3．因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵-12可以分成：-1×12，1×（-12），-2×6，2×（-6），-3×4，3×（-4），
m=p+q，即m=-1+12=11或m=1+（-12）=-11或m=-2+6=4或m=2+（-6）=-4或m=3+（-4）=-1或m=-3+4=1，
∵11＞4＞1＞-1＞-4＞-11，
∴mmax=11．
故选：C．
【分析】m=p+q，pq=-12，将-12可能的分解情况全部列出，再一 一代入m=p+q中计算，找出最大值.
4．若则k+a的值可以为 （ ）
A．-25 B．-15 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵(2x+a)2=4x2+4ax+a2，4x2+kx+25=(2x+a)2，
∴k=4a，a2=25，
∴a=±5，
当a=5时，k=20，
当a=-5时，k=-20，
∴k+a=25或-25.
故答案为：A.
【分析】先利用完全平方公式将等式的右边展开，然后根据等式的性质可得k=4a，a2=25，求解得出k、a的值，再求和即可判断得出答案.
5．利用因式分解计算的结果是 （ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：20232+2023-20242=2023(2023+1)-20242=2023×2024-20242=2024(2023-2024)=2024×(-1)=-2024.
故答案为：D.
【分析】先将前两项利用提取公式因式法进行变形，计算出括号内的部分后，再利用提取公因式法进行变形，进而利用含括号的混合运算的运算顺序计算可得答案.
6．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、x2-1=(x+1)(x-1)，可以利用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2-2x=x(x+2)，可以利用提取公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1=(x+1)2，可以利用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
D、x2-2x-1，不能在实数范围内分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就可以利用完全平方公式分解因式，据此逐项判断得出答案.
7．若三角形的三条边长分别为a，b，c且a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边长，且a2b-a2c+b2c-b3=0，
∴a2（b-c）+b2（c-b）=0，
∴a2（b-c）-b2（b-c）=0，
∴（a2-b2）（b-c）=0，
∴（a+b）(a-b)(b-c)=0，
∴a+b=0（舍去）或a-b=0或b-c=0，
∴a=b或b=c，
∴这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】先把方程分解因式，再根据实际情况分别讨论a+b=0，a-b=0，或b-c=0的情况，最后结论是：因为a、b、c是三角形三边长，所以a+b不可能等于0，只有a-b=0，或b-c=0，无论a=b，还是b=c三角形都是等腰三角形.
8．（2023七下·昌黎期末）把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
9．（2019八上·鄱阳月考）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为（ ）
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴甲为：x+2，乙为：x－2，丙为：x+17， ∴x+2+x+17=2x+19，
故答案为：A．
【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，从而得出答案．
10．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2020·内江）分解因式：
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
12．（2023七下·上虞期末）若，且，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
13．已知x2+y2- 2x+6y+ 10=0，则x+y= .
【答案】-2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1=0，y+3=0，
∴x=1，y=-3，
∴x+y=-2，
故答案为：-2.
【分析】原来的等式可以把含x和y的式子分别放在一起凑成完全平方式，从而得到，进而求得x、y的值，代入即可求得x+y的值.
14．（2023九上·济宁月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
15．（2019七上·徐汇期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
16．（2018九上·运城月考）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】70
【知识点】因式分解的应用；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形的长和宽分别为a，b，周长为14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．
【分析】由矩形的性质可求出a+b和ab的值，再对式子 a2b+ab2 因式分即可解
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024八上·临江期末）分解因式
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法即可进行因式分解；
（2）首先提公因式，然后再根据平方差公式，即可得出因式分解的最后结果。
18．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：N=30x4y2÷(-6x2y)=-5x2y；M=(-6x2y)×3xy=-18x3y2；
（2）解：-5x2y+3xy-2y +x2y+xy+y=-4x2y+4xy-y，
这个多项式能够因式分解，
-4x2y+4xy-y=-y(4x2-4x+1)=-y(2x-1)2.
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据“多项式除以单项式，就是用多项式去除以单项式的每一项，再把所得的商相加”及单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”、“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可；
（2）先根据整式加法法则算出正确的商与“x2y+xy+y”的和，再将所得和利用提取公因式法分解因式，进而再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
19．（2023八上·芝罘期中）观察下列分解因式的过程：
解：原式
像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方形式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果.
（1）请你运用上述方法分解因式：；
（2）若，，比较M、N的大小，并说明理由；
（3）已知中，，三边长a，b，c满足，求的周长.
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
理由：
∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由题意，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
由题意，，
∴△ABC的周长是3+4+5=12.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式的定义及性质即可求出答案；
（2）根据作差，化简代数式即可求出答案；
（3）根据勾股定理列出等式，再根据题意化简等式即可求出答案.
20．（2023八下·武功期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明：根据题意，
得，
则．
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，
∴2a2+2ab=2a(a+b).
故答案为：2a(a+b).
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，
∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2，
∴大正方形的边长为a+2b.
故答案为：a+2b.
【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答；
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长；
（3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明.
21．（2023七下·广陵期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）2＝ ；
（2）因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
（3）因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
【答案】（1）
（2）解：因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
（3）解：因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）1+2(x-y)+(x-y)2=(x-y+1)2；
【分析】（1）将(x-y)看作整体，然后利用完全平方公式进行分解；
（2）将(x-2)看作整体，令x-2=m，则原式=9m2-6m+1=(3m-1)2，然后将x-2=m代入即可；
（3）将(x2-6x)看作整体，令x2-6x=m，则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2，然后将x2-6x=m代入即可.
22．（2023八下·通川期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
【答案】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）解：由题意得：，
解得，
∴两直角边长分别为5和12，
而，
所以可得数字密码为512169（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：，
，
，
，解得．
故、的值分别是56、17．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将多项式可分解为 ，据此即可得解；
（2）由题意得 ， 据此求出xy=60，再根据即可求解；
（3）根据数字密码为242834 ，可得当x=27时，，然后将等号右边式子展开，根据对应系数相等建立关于m、n的方程组并解之即可.
23．（2022八上·南昌月考）阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．
因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，，可以求出，．
所以
（1）若取任意值，等式恒成立，则 ；
（2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
（3）请判断多项式是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
【答案】（1）1
（2）解：设
，
∴，
解得；
∴多项式的另一因式是；
（3）解：不能，理由：
∵设
，
∴，，
解得：、或、，
∴系数不是整数，
∴多项式是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
解得；
故答案为：1；
【分析】（1）根据待定系数法可得，再求出a的值即可；
（2）设，再利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，再求出a的值，即可得到答案；
（3）方法同（2），利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，，求出a、b的值，再根据系数不是整数，即可得到答案。
1 / 1北师大版数学八年级下册单元清测试（第四章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．11 D．12
4．若则k+a的值可以为 （ ）
A．-25 B．-15 C．15 D．20
5．利用因式分解计算的结果是 （ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
6．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
7．若三角形的三条边长分别为a，b，c且a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．（2023七下·昌黎期末）把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
9．（2019八上·鄱阳月考）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为（ ）
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
10．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2020·内江）分解因式：
12．（2023七下·上虞期末）若，且，则代数式的值为 ．
13．已知x2+y2- 2x+6y+ 10=0，则x+y= .
14．（2023九上·济宁月考）阅读材料回答问题：已知多项式有一个因式是，求的值．
解法：设为整式
上式为恒等式，
当时，，
即．
解得：．
若多项式含有因式和，则 ．
15．（2019七上·徐汇期中）甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝ ．
16．（2018九上·运城月考）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024八上·临江期末）分解因式
（1）
（2）
18．小伟同学的作业本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了(污染处用字母 M 和N 表示)，污染后的习题如下：
（1）请你帮小伟复原被污染的代数式 M和N.
（2）小伟在进一步练习时将复原后的 N+3xy-2y与代数式相加，请帮他求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解 若能，请分解因式；若不能，请说明理由.
19．（2023八上·芝罘期中）观察下列分解因式的过程：
解：原式
像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方形式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果.
（1）请你运用上述方法分解因式：；
（2）若，，比较M、N的大小，并说明理由；
（3）已知中，，三边长a，b，c满足，求的周长.
20．（2023八下·武功期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
21．（2023七下·广陵期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）2＝ ；
（2）因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
（3）因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
22．（2023八下·通川期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
23．（2022八上·南昌月考）阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．
因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，，可以求出，．
所以
（1）若取任意值，等式恒成立，则 ；
（2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
（3）请判断多项式是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
A、从左到右的变形不为因式分解，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义结合题意运用公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可求解。
2．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据因式分解-公式法和提公因式法的综合即可求解。
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵-12可以分成：-1×12，1×（-12），-2×6，2×（-6），-3×4，3×（-4），
m=p+q，即m=-1+12=11或m=1+（-12）=-11或m=-2+6=4或m=2+（-6）=-4或m=3+（-4）=-1或m=-3+4=1，
∵11＞4＞1＞-1＞-4＞-11，
∴mmax=11．
故选：C．
【分析】m=p+q，pq=-12，将-12可能的分解情况全部列出，再一 一代入m=p+q中计算，找出最大值.
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵(2x+a)2=4x2+4ax+a2，4x2+kx+25=(2x+a)2，
∴k=4a，a2=25，
∴a=±5，
当a=5时，k=20，
当a=-5时，k=-20，
∴k+a=25或-25.
故答案为：A.
【分析】先利用完全平方公式将等式的右边展开，然后根据等式的性质可得k=4a，a2=25，求解得出k、a的值，再求和即可判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：20232+2023-20242=2023(2023+1)-20242=2023×2024-20242=2024(2023-2024)=2024×(-1)=-2024.
故答案为：D.
【分析】先将前两项利用提取公式因式法进行变形，计算出括号内的部分后，再利用提取公因式法进行变形，进而利用含括号的混合运算的运算顺序计算可得答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、x2-1=(x+1)(x-1)，可以利用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2-2x=x(x+2)，可以利用提取公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1=(x+1)2，可以利用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
D、x2-2x-1，不能在实数范围内分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就可以利用完全平方公式分解因式，据此逐项判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：∵a、b、c分别为三角形的三条边长，且a2b-a2c+b2c-b3=0，
∴a2（b-c）+b2（c-b）=0，
∴a2（b-c）-b2（b-c）=0，
∴（a2-b2）（b-c）=0，
∴（a+b）(a-b)(b-c)=0，
∴a+b=0（舍去）或a-b=0或b-c=0，
∴a=b或b=c，
∴这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】先把方程分解因式，再根据实际情况分别讨论a+b=0，a-b=0，或b-c=0的情况，最后结论是：因为a、b、c是三角形三边长，所以a+b不可能等于0，只有a-b=0，或b-c=0，无论a=b，还是b=c三角形都是等腰三角形.
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
9．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴甲为：x+2，乙为：x－2，丙为：x+17， ∴x+2+x+17=2x+19，
故答案为：A．
【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，从而得出答案．
10．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．
12．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
13．【答案】-2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1=0，y+3=0，
∴x=1，y=-3，
∴x+y=-2，
故答案为：-2.
【分析】原来的等式可以把含x和y的式子分别放在一起凑成完全平方式，从而得到，进而求得x、y的值，代入即可求得x+y的值.
14．【答案】-450
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式含有因式和，
∴ 设=
∵ 上式为恒等式
∴ 当x=1时，，即：1+m+n-16=0
当x=2时，，即：16+4m+2n-16=0
∴
解得：m=-15，n=30
∴ mn=-450
故答案为：-450.
【分析】本题考查多项式的因式分解的应用。根据题目，列出关于m，n的方程组，是解题关键。
15．【答案】21
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴a＝6，
乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴b＝9，
∴2a+b＝12+9＝21．
故答案为：21．
【分析】根据题意：分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，但是a符合题意，分解结果为（x+2）（x+4），a为6；乙看错了a，但是b符合题意，分解结果为（x+1）（x+9），b为9．代入2a+b即可．
16．【答案】70
【知识点】因式分解的应用；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形的长和宽分别为a，b，周长为14，面积为10，
∴a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．
【分析】由矩形的性质可求出a+b和ab的值，再对式子 a2b+ab2 因式分即可解
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）根据提公因式法即可进行因式分解；
（2）首先提公因式，然后再根据平方差公式，即可得出因式分解的最后结果。
18．【答案】（1）解：由题意得：N=30x4y2÷(-6x2y)=-5x2y；M=(-6x2y)×3xy=-18x3y2；
（2）解：-5x2y+3xy-2y +x2y+xy+y=-4x2y+4xy-y，
这个多项式能够因式分解，
-4x2y+4xy-y=-y(4x2-4x+1)=-y(2x-1)2.
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据“多项式除以单项式，就是用多项式去除以单项式的每一项，再把所得的商相加”及单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”、“单项式除以单项式，把系数与相同字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式”进行计算即可；
（2）先根据整式加法法则算出正确的商与“x2y+xy+y”的和，再将所得和利用提取公因式法分解因式，进而再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
理由：
∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由题意，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
由题意，，
∴△ABC的周长是3+4+5=12.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式的定义及性质即可求出答案；
（2）根据作差，化简代数式即可求出答案；
（3）根据勾股定理列出等式，再根据题意化简等式即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）
（3）证明：根据题意，
得，
则．
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，
∴2a2+2ab=2a(a+b).
故答案为：2a(a+b).
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，
∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2，
∴大正方形的边长为a+2b.
故答案为：a+2b.
【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答；
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长；
（3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明.
21．【答案】（1）
（2）解：因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
（3）解：因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）1+2(x-y)+(x-y)2=(x-y+1)2；
【分析】（1）将(x-y)看作整体，然后利用完全平方公式进行分解；
（2）将(x-2)看作整体，令x-2=m，则原式=9m2-6m+1=(3m-1)2，然后将x-2=m代入即可；
（3）将(x2-6x)看作整体，令x2-6x=m，则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2，然后将x2-6x=m代入即可.
22．【答案】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）解：由题意得：，
解得，
∴两直角边长分别为5和12，
而，
所以可得数字密码为512169（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：，
，
，
，解得．
故、的值分别是56、17．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将多项式可分解为 ，据此即可得解；
（2）由题意得 ， 据此求出xy=60，再根据即可求解；
（3）根据数字密码为242834 ，可得当x=27时，，然后将等号右边式子展开，根据对应系数相等建立关于m、n的方程组并解之即可.
23．【答案】（1）1
（2）解：设
，
∴，
解得；
∴多项式的另一因式是；
（3）解：不能，理由：
∵设
，
∴，，
解得：、或、，
∴系数不是整数，
∴多项式是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
解得；
故答案为：1；
【分析】（1）根据待定系数法可得，再求出a的值即可；
（2）设，再利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，再求出a的值，即可得到答案；
（3）方法同（2），利用多项式乘多项式的计算方法展开，利用待定系数法可得，，求出a、b的值，再根据系数不是整数，即可得到答案。
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