初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 第二单元测试卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=125°，若要使AB∥CD，则∠2应等于（ ）
A．55° B．45° C．35° D．65°
2．根据投影屏上出示的填空题，判断下列说法正确的是 （ ）
已知：如图是△ABC.
试说明：∠BAC+∠B+∠C=180°.
解：过点A作DE∥ ◎ .
∴∠DAB=∠B，∠EAC= ＠ .
又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ▲ .
∴ ※ +∠BAC+∠C=180°.
A．◎代表 AB B．@代表∠BAC
C．▲代表 90° D．※代表∠B
3．同一平面内五条直线l1，l2，l3，l4与l5的位置关系如图所示，根据图中标示的角度，下列判断正确的是（ ）
A．l1∥l3，l2∥l3 B．l2∥l3，l4与l5相交
C．l1与l3相交，l4∥l5 D．l1与l2相交，l1∥l3
4．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
6．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
7．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
8．（2022七下·兴宁期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则.
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
9．（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．150°
10．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线 达标检测卷）如图，已知A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于（ ）
A．180°n B．(n＋1)·180°
C．(n－1)·180° D．(n－2)·180°
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b+c的值是 ．
12．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
13．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，若∠1=52°，则∠AEF= ，∠FEH= .
14．（2023七下·九江期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
15．（2023七下·双鸭山期末）如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
三、作图题（共2题，共14分）
16．（2023七下·房山期末）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
（1）如图1，若点在线段上，且为钝角．
①按要求补全图形；
②判断与的数量关系，并证明．
（2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系
17．[推理能力]如图，已知∠ABC=(2x+36)°.
（1）请你再画一个∠DEF，使得DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.
（2）在(1)的条件下，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系 请说明理由.
（3）在(1)的条件下，若∠DEF=(3x+24)°，求x的值.
四、解答题（共4题，共32分）
18．（2023七下·番禺期末）如图，是河岸外一点．
（1）过点修一条与河岸平行的绿化带绿化带用直线表示，请画图表示；
（2）现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
19．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
20．（2023七下·肥西期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分．
（1）直线与有何位置关系？请说明理由；
（2）求的度数；
（3）若左右平移，在平移的过程中，
①求与的比值；
②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
21．（2023七下·伊通期末）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．
（1）线段，的关系是 ；
（2）如图1，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是 ；
（3）如图2，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
（4）如图3，当点在点上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系： ．
五、实践探究题（共9题）
22．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则 ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF⊥MN（已知），
∴∠EFM=90°（垂直定义），
要使AB∥CD，则满足∠1=∠AFN=125°，
∵∠AFN=∠BFM=∠EFM+∠1（对顶角相等），
∴90°+∠1=125°（等量代换），
∴∠1=35°.
故答案为：C.
【分析】由垂直定义得∠EFM=90°，由平行线的判定方法，要使AB∥CD，则满足∠1=∠AFN=125°，进而根据对顶角相等及角的和差可得90°+∠1=125°，求解即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴ ◎代表 BC，故选项A错误；
B、∵DE∥BC，∴，∴ @代表∠C，故选项B错误；
C、∵，∴ ▲代表 180° ，故选项C错误；
D、∵，∴，∴ ※代表∠B，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】 过点A作DE∥DE，根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，进而结合平角定义及等量代还可得出∠B+∠C+∠BAC=180°，从而逐个判断得出结论.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=92°（对顶角相等），
∴l2∥l3（同位角相等，两直线平行），
∵88°≠92°，
∴l4与l5相交，
∴ l2∥l3，l4与l5相交 .
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠1=92°，进而根据同位角相等，两直线平行可得l2∥l3；由于88°≠92°，由内错角不相等，故两直线不平行，即两直线相交可得l4与l5相交，据此判断可得答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分别过E、F作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故答案为：C.
【分析】分别过E、F作，，由AB∥CD可得，利用平行线的性质及角的和差关系分别求解，继而判断.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
∵FB、HG分别为 、 的角平分线
∴ ，
∵
∴
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ，再根据角平分线的定义得出 ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ，联立求解可得 ，最后根据角平分线的定义可得 .
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……
∵A1B∥AnC，
∴A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，
∴∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….
∴∠A1＋∠A1A2A3＋…＋∠An－1AnC＝(n－1)·180°.
故答案为：C.
【分析】过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……根据平行的传递性得A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，再由平行线的性质得∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….将所有式子相加即可得证.
11．【答案】14
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∵∠5与∠1、∠2与∠6，∠8与∠4，∠3与∠7，∠7与∠9，∠4与∠9都是同位角，
∴a=6；
∵∠5与∠9、∠4与∠6，∠1与∠7，∠2与∠9都是内错角，
∴b=4；
∵∠6与∠9、∠1与∠6，∠1与∠9，∠4与∠7，都是同旁内角，
∴c=4；
∴a+b+c=14.
故答案为：14.
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此逐个判断得出a、b、c的值，再求和即可.
12．【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
13．【答案】116°；12°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可知∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG
∵∠1=52°，
∴∠BFB'=180°-∠1=128°，
∴∠BFE=∠EFB’=64°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，
∴∠AEF=∠A'EF=116°，
∴A'EG=∠A'EF-∠DEF=116°-64°=52°，
∴∠GEH=∠A'EG=52°，
∴∠FEH=∠DEF-∠GEH=64°-52°=12°.
故答案为：116°；12°.
【分析】根据折叠性质可得∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG，由邻补角互补求出∠BFB'，进而得到∠BFE=∠EFB’=64°，再根据两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得到∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，求得∠AEF，等量代换得到∠GEH=∠A'EG=52°，即可求解∠FEH.
14．【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
15．【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ①∵AB⊥BC于点 B，DC⊥BC于点 C，
∴AB//CF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直），
∴∠ADC+∠BAD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴①正确；
②∵AB//CF，
∴∠AFD+∠BAF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴②正确；
③∵AF//ED（已证），
∴∠DAF=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∠F=∠CDE（两直线平行，同位角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，
∴③正确．
故答案为：①②③.
【分析】①先根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”说明AB//CF，再利用平行线的性质得出∠ADC+∠BAD=180°；②先由平行的性质得出∠AFD+∠BAF=180°，结合∠BAF=∠EDF，说明∠AFD+∠EDF=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AF//DE；③由平行线的性质，得出∠DAF=∠ADE与∠F=∠CDE，结合角平分线的意义，说明∠DAF=∠F.
16．【答案】（1）解：①补全图形如图：
②判断：．
证明：过点C作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
（2）
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，
∴∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCG=90°，
∴∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，
∴∠B+∠CGD=90°，
故答案为：∠B+∠CGD=90°，
【分析】（1）①依据题意补图即可；
②，理由： 过点C作， 则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得 ， ，由垂直的定义可得，从而求解；
（2）根据题意先画出图形，过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，由垂直的定义可得∠BCG=90°，从而得出∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，继而得解.
17．【答案】（1）解：（1）如下图， DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P ；
①或者②
（2）解：∠ABC=∠DEF或∠ABC+∠DEF=180°，理由如下：
当为图①时；
∵ DE∥AB，EF∥BC
∴∠1=∠ABC，∠1=∠DEF
∴∠ABC=∠DEF；
当为图②时；
∵ DE∥AB
∴∠2=∠ABC
∵EF∥BC
∴∠2+∠DEF=180°
∴∠ABC+∠DEF=180°
综上所述，∠ABC=∠DEF或∠ABC+∠DEF=180°；
（3）解：由（2）可知，当∠ABC=∠DEF时，
2x+36=3x+24，解得x=12；
当∠ABC+∠DEF=180°时，
2x+36+3x+24=180，解得x=24；
∴x为12或24.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据交的方向不同，分两种情况作图即可；
（2）分类讨论，根据平行线的性质和等量代换原则解题即可；
（3）根据等量关系，列一元一次方程，解方程即可.
18．【答案】（1）解：如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短，设计的理由是垂线段最短．
【知识点】垂线段最短及其应用；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据根据过直线外一点作已知直线的方法即可画出直线l；
（2）根据垂线段最短，由过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
20．【答案】（1）解：直线与互相平行，理由：
∵，
∴，
又
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，平分，
∴；
（3）解：存在．
①∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
②设．
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
若，
则，
得．
∴存在．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出，可证出；
（2）先利用平行线的性质求出，再结合角平分线的定义及等量代换可得；
（3）①利用平行线的性质及等量代换可得，再求出即可；
②设，再求出，结合，可得，求出x的值即可.
21．【答案】（1），
（2）
（3）解：当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下：
如图，过点P作交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（4）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵线段是由线段平移得到的，
∴点A与点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，；
故答案为：，；
（2）如图，设与交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（4）如图，设交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用平移的性质可得 ， ；
（2）设与交于点G，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点P作交于点H，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（4）设交于点M，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得.
22．【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 第二单元测试卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=125°，若要使AB∥CD，则∠2应等于（ ）
A．55° B．45° C．35° D．65°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF⊥MN（已知），
∴∠EFM=90°（垂直定义），
要使AB∥CD，则满足∠1=∠AFN=125°，
∵∠AFN=∠BFM=∠EFM+∠1（对顶角相等），
∴90°+∠1=125°（等量代换），
∴∠1=35°.
故答案为：C.
【分析】由垂直定义得∠EFM=90°，由平行线的判定方法，要使AB∥CD，则满足∠1=∠AFN=125°，进而根据对顶角相等及角的和差可得90°+∠1=125°，求解即可得出答案.
2．根据投影屏上出示的填空题，判断下列说法正确的是 （ ）
已知：如图是△ABC.
试说明：∠BAC+∠B+∠C=180°.
解：过点A作DE∥ ◎ .
∴∠DAB=∠B，∠EAC= ＠ .
又∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ▲ .
∴ ※ +∠BAC+∠C=180°.
A．◎代表 AB B．@代表∠BAC
C．▲代表 90° D．※代表∠B
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴ ◎代表 BC，故选项A错误；
B、∵DE∥BC，∴，∴ @代表∠C，故选项B错误；
C、∵，∴ ▲代表 180° ，故选项C错误；
D、∵，∴，∴ ※代表∠B，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】 过点A作DE∥DE，根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，进而结合平角定义及等量代还可得出∠B+∠C+∠BAC=180°，从而逐个判断得出结论.
3．同一平面内五条直线l1，l2，l3，l4与l5的位置关系如图所示，根据图中标示的角度，下列判断正确的是（ ）
A．l1∥l3，l2∥l3 B．l2∥l3，l4与l5相交
C．l1与l3相交，l4∥l5 D．l1与l2相交，l1∥l3
【答案】B
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=92°（对顶角相等），
∴l2∥l3（同位角相等，两直线平行），
∵88°≠92°，
∴l4与l5相交，
∴ l2∥l3，l4与l5相交 .
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠1=92°，进而根据同位角相等，两直线平行可得l2∥l3；由于88°≠92°，由内错角不相等，故两直线不平行，即两直线相交可得l4与l5相交，据此判断可得答案.
4．如图，给出下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；④∠2+∠4=180°．其中能判定直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3（已知），
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），故①能判定；
②∵∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，
∴即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，故②不能判定；
③∵∠4=∠5（已知），
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行），故③能判定；
④∵∠2+∠4=180°（已知），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故④能判定，
综上能判定直线l1∥l2的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】由内错角相等，两直线平行，可判断①；由于∠2与∠3不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角中的一对角，即使∠2=∠3，也不能判断l1与l2平行，据此可判断②；由同位角相等，两直线平行，可判断③；由同旁内角互补，两直线平行，可判断④.
5．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
6．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
7．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
8．（2022七下·兴宁期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则.
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分别过E、F作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故答案为：C.
【分析】分别过E、F作，，由AB∥CD可得，利用平行线的性质及角的和差关系分别求解，继而判断.
9．（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．150°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
∵FB、HG分别为 、 的角平分线
∴ ，
∵
∴
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ，再根据角平分线的定义得出 ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ，联立求解可得 ，最后根据角平分线的定义可得 .
10．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线 达标检测卷）如图，已知A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于（ ）
A．180°n B．(n＋1)·180°
C．(n－1)·180° D．(n－2)·180°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……
∵A1B∥AnC，
∴A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，
∴∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….
∴∠A1＋∠A1A2A3＋…＋∠An－1AnC＝(n－1)·180°.
故答案为：C.
【分析】过点A2向右作A2D∥A1B，过点A3向右作A3E∥A1B，……根据平行的传递性得A3E∥A2D∥…∥A1B∥AnC，再由平行线的性质得∠A1＋∠A1A2D＝180°，∠DA2A3＋∠A2A3E＝180°，….将所有式子相加即可得证.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b+c的值是 ．
【答案】14
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∵∠5与∠1、∠2与∠6，∠8与∠4，∠3与∠7，∠7与∠9，∠4与∠9都是同位角，
∴a=6；
∵∠5与∠9、∠4与∠6，∠1与∠7，∠2与∠9都是内错角，
∴b=4；
∵∠6与∠9、∠1与∠6，∠1与∠9，∠4与∠7，都是同旁内角，
∴c=4；
∴a+b+c=14.
故答案为：14.
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此逐个判断得出a、b、c的值，再求和即可.
12．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
13．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，若∠1=52°，则∠AEF= ，∠FEH= .
【答案】116°；12°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可知∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG
∵∠1=52°，
∴∠BFB'=180°-∠1=128°，
∴∠BFE=∠EFB’=64°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，
∴∠AEF=∠A'EF=116°，
∴A'EG=∠A'EF-∠DEF=116°-64°=52°，
∴∠GEH=∠A'EG=52°，
∴∠FEH=∠DEF-∠GEH=64°-52°=12°.
故答案为：116°；12°.
【分析】根据折叠性质可得∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG，由邻补角互补求出∠BFB'，进而得到∠BFE=∠EFB’=64°，再根据两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得到∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，求得∠AEF，等量代换得到∠GEH=∠A'EG=52°，即可求解∠FEH.
14．（2023七下·九江期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
15．（2023七下·双鸭山期末）如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ①∵AB⊥BC于点 B，DC⊥BC于点 C，
∴AB//CF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直），
∴∠ADC+∠BAD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴①正确；
②∵AB//CF，
∴∠AFD+∠BAF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴②正确；
③∵AF//ED（已证），
∴∠DAF=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∠F=∠CDE（两直线平行，同位角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，
∴③正确．
故答案为：①②③.
【分析】①先根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”说明AB//CF，再利用平行线的性质得出∠ADC+∠BAD=180°；②先由平行的性质得出∠AFD+∠BAF=180°，结合∠BAF=∠EDF，说明∠AFD+∠EDF=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AF//DE；③由平行线的性质，得出∠DAF=∠ADE与∠F=∠CDE，结合角平分线的意义，说明∠DAF=∠F.
三、作图题（共2题，共14分）
16．（2023七下·房山期末）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
（1）如图1，若点在线段上，且为钝角．
①按要求补全图形；
②判断与的数量关系，并证明．
（2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系
【答案】（1）解：①补全图形如图：
②判断：．
证明：过点C作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
（2）
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，
∴∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCG=90°，
∴∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，
∴∠B+∠CGD=90°，
故答案为：∠B+∠CGD=90°，
【分析】（1）①依据题意补图即可；
②，理由： 过点C作， 则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得 ， ，由垂直的定义可得，从而求解；
（2）根据题意先画出图形，过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，由垂直的定义可得∠BCG=90°，从而得出∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，继而得解.
17．[推理能力]如图，已知∠ABC=(2x+36)°.
（1）请你再画一个∠DEF，使得DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.
（2）在(1)的条件下，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系 请说明理由.
（3）在(1)的条件下，若∠DEF=(3x+24)°，求x的值.
【答案】（1）解：（1）如下图， DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P ；
①或者②
（2）解：∠ABC=∠DEF或∠ABC+∠DEF=180°，理由如下：
当为图①时；
∵ DE∥AB，EF∥BC
∴∠1=∠ABC，∠1=∠DEF
∴∠ABC=∠DEF；
当为图②时；
∵ DE∥AB
∴∠2=∠ABC
∵EF∥BC
∴∠2+∠DEF=180°
∴∠ABC+∠DEF=180°
综上所述，∠ABC=∠DEF或∠ABC+∠DEF=180°；
（3）解：由（2）可知，当∠ABC=∠DEF时，
2x+36=3x+24，解得x=12；
当∠ABC+∠DEF=180°时，
2x+36+3x+24=180，解得x=24；
∴x为12或24.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据交的方向不同，分两种情况作图即可；
（2）分类讨论，根据平行线的性质和等量代换原则解题即可；
（3）根据等量关系，列一元一次方程，解方程即可.
四、解答题（共4题，共32分）
18．（2023七下·番禺期末）如图，是河岸外一点．
（1）过点修一条与河岸平行的绿化带绿化带用直线表示，请画图表示；
（2）现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
【答案】（1）解：如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短，设计的理由是垂线段最短．
【知识点】垂线段最短及其应用；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据根据过直线外一点作已知直线的方法即可画出直线l；
（2）根据垂线段最短，由过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可.
19．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
20．（2023七下·肥西期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分．
（1）直线与有何位置关系？请说明理由；
（2）求的度数；
（3）若左右平移，在平移的过程中，
①求与的比值；
②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线与互相平行，理由：
∵，
∴，
又
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，平分，
∴；
（3）解：存在．
①∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
②设．
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
若，
则，
得．
∴存在．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出，可证出；
（2）先利用平行线的性质求出，再结合角平分线的定义及等量代换可得；
（3）①利用平行线的性质及等量代换可得，再求出即可；
②设，再求出，结合，可得，求出x的值即可.
21．（2023七下·伊通期末）如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．
（1）线段，的关系是 ；
（2）如图1，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是 ；
（3）如图2，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
（4）如图3，当点在点上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系： ．
【答案】（1），
（2）
（3）解：当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下：
如图，过点P作交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（4）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵线段是由线段平移得到的，
∴点A与点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，；
故答案为：，；
（2）如图，设与交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（4）如图，设交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用平移的性质可得 ， ；
（2）设与交于点G，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点P作交于点H，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（4）设交于点M，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得.
五、实践探究题（共9题）
22．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则 ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
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