2023-2024学年数学八年级实数单元测试试题（青岛版））基础卷含解析

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2023-2024学年数学八年级实数（青岛版）
单元测试 基础卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）在，4，1.010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），，π，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（本题3分）在，1，，0这四个实数中，最小的是（ ）
A． B．1 C． D．0
4．（本题3分）下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）已知为两个连续整数，且，则等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
6．（本题3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）

A．25 B． C．35 D．
7．（本题3分）如图，数轴上表示0，1，的点分别为A，B，C，点B到点C的距离与点B到点D的距离相等，则点D所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（　　）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，已知的顶点，，点在轴负半轴上，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；作直线，发现直线恰好经过点．若固定点，，将沿箭头方向推，当四边形为矩形时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在矩形中，，点F是的中点，M是上一点，N是上一点，将矩形沿着折叠，点落在点E处，点C恰好落在点F处，若，则（　　）
A．2.5cm B．cm C．cm D．3cm
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）0.0081的平方根是 ．
12．（本题3分）计算： ．
13．（本题3分）若，则 ．
14．（本题3分）下列各数：，0，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1），其中无理数有 个．
15．（本题3分）若，且为两个连续的正整数，则 ．
16．（本题3分）如果正数的平方根为和,则x的值是 ．
17．（本题3分）如图，在中，，，，是内部一动点，且满足，则长的最小值是 ．
18．（本题3分）在矩形中，，点为射线上一点，将沿着翻折，使得点的对应点落在射线上，若线段，连接，则的值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）计算： ．
20．（本题8分）计算：．
21．（本题10分）如图，在中，，点是中点，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
22．（本题10分）已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
23．（本题10分）已知的小数部分为m，的小数部分是n，求的值．
24．（本题10分）类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：
①如果，那么x叫做a的四次方根；
②如果，那么x叫做a的五次方根；
请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：
(1)81的四次方根为______；的五次方根为______．
(2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______．
(3)解方程：
①
②
25．（本题12分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题：
(1)的小数部分为______，的小数部分为______；
(2)若m是的整数部分，n是小数部分，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
根据无理数的定义逐一判断即可得出答案．
【详解】解：是有限小数，属于有理数；
4是整数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有1.010010001…（每两个1之间2的个数依次加1），π，共2个．
故选：B．
2．C
【分析】
本题主要考查了求一个数的平方根．根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解：4的平方根是．
故选：C
3．C
【分析】
本题考查实数大小比较，根据负数小于0，小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴最小的是；
故选C．
4．D
【分析】
本题主要考查算术平方根和立方根，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根以及立方根的概念即可求解．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】
本题考查了无理数的估算，代数式求值，先估算出的取值范围，得出a，b的大小，代入求值即可．
【详解】解：，
，
为两个连续整数，且，
，，
，
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查勾股定理的应用两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图1，将长方体展开，连接，
根据两点之间线段最短，

，
由勾股定理得：．
（2）如图2，

，
由勾股定理得，．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
∵，
故选：A．
7．C
【分析】根据数轴上两点之间的距离列出方程求解即可，本题主要考查了实数与数轴的关系，正确列出方程是解题的关键．
【详解】∵点B到点C的距离与点B到点D的距离相等，
∴
∴
∴点D所表示的数为．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上之间的距离是．
设点表示的数是，求出之间的距离，求出，即可得出关于的方程，求出即可．
【详解】解：设点表示的数是，
在数轴上数表示2，的对应点分别是C、B，
、之间的距离是，
点C是的中点，
，
点表示的数是2，点表示的数是，
，
解得：．
故选：C．
9．A
【分析】
本题考查图形与坐标，垂直平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，连接，过点作轴于点，结合作图可得，，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，即可得，沿箭头方向推使其成为矩形时，轴，即可求得点的坐标，根据勾股定理及平行四边形的性质得，的长度是解决问题的关键．
【详解】连接，过点作轴于点，如图所示，则，，
∵，
∴，
由作图，可知垂直平分，
，
设，则
在中，，解得，
点，
沿箭头方向推使其成为矩形时，轴，
∴此时，点的坐标为，
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解决问题的关键．
设，则，根据折叠的性质可得四边形和四边形关于对称，然后根据勾股定理可得，进而即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴设，
则，
∵四边形是矩形，，
∴，，
由折叠可知：四边形和四边形关于对称，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
在和中，根据勾股定理得：
，，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了利用平方根的定义求一个数的平方根，根据平方根的定义正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可．
【详解】解：因为，
所以0.0081的平方根是；
故答案为：．
12．
【分析】
本题考查了实数的运算．根据算术平方根和零次幂的性质计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了算术平方根，直接利用算术平方根的定义得出a的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：2．
14．2
【分析】本题主要考查了无理数．根据“无限不循环小数是无理数”，即可求解．
【详解】解：无理数有，0.2121121112……（相邻两个2之间1的个数逐次加1），共2个．
故答案为：2
15．
【分析】
本题考查了无理数的整数估算，根据且为两个连续的正整数，得，再代入计算，即可作答．
【详解】解：∵，且为两个连续的正整数，
∴
即
∴
故答案为：
16．1
【分析】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出x的值，然后根据平方根的定义即可求出结论．
【详解】解：正数的平方根为和，
则，
．
17．2
【分析】
本题考查利用勾股定理解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识．取的中点，连接，，．求出，，根据即可解决问题．
【详解】
解：如图，取的中点，连接，，．
，，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为2，
故答案为：2．
18．或
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，根据性质，利用勾股定理分类计算即可．
【详解】①如图1所示，点落在线段上，
∵矩形，
∴，
∵沿着翻折，使得点的对应点落在射线上，
∴，，
∴四边形为正方形，
，，
.
.
∴，
；
②如图2所示，点落在射线上，
∵矩形，
∴，
∵沿着翻折，使得点的对应点落在射线上，
∴，，
∴四边形为正方形，
，，
.
.
∴，
.
综上所述，的值为或.
19．
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、开方，最后算加减．
【详解】解：原式
．
20．
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知运算法则是正确解决本题的关键．
按实数的运算法则计算即可．
【详解】解：原式=
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
（2）由已知得，再由勾股定理得的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，点D是的中点，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形为菱形是解题的关键．
22．
【分析】
此题考查了无理数的估算，求一个数的平方根；首先可以估算的整数部分是3，小数部分是；将其代入求平方根计算可得答案．
【详解】
解：由题意得：，，
．
的平方根为．
23．1
【分析】
本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可．
【详解】
解：，
，
，，
则，，
那么．
24．(1)；
(2)，全体实数
(3)①；②
【分析】
本题考查新定义——四次方根与五次方根的定义．求解时注意正数的四次方根有2个．
（1）根据四次方根、五次方根的定义即可解答；
（2）根据四次方根、五次方根的意义即可解答；
（3）①根据四次方根的定义即可求解；②根据五次方根的定义即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴81的四次方根是．
∵，
∴的五次方根是．
故答案为：，
（2）若有意义，则，
∴a的取值范围为：．
若有意义，则a的取值范围为全体实数．
故答案为：，全体实数
（3）①∵，又
∴；
②∵
∴，
∵，
∴．
25．(1)；
(2)
【分析】本题考查无理数的估算，实数的混合运算．熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算，是解题的关键．
（1）根据无理数的估算方法，确定出整数部分，进而求解即可；
（2）先求出的值，代入代数式，求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的小数部分为；
∵，
∴，
∴，
∴的小数部分为；
故答案为：，；
（2）∵，m是的整数部分，
∴．
∵，n是的小数部分，
∴，
∴．
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