7.4.1 二项分布 课件（共34张PPT）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.4.1 二项分布 课件（共34张PPT）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 38.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-21 09:04:01 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
7.4.1 二项分布
1.两点分布列
X 0 1
P 1－P P
2.二项展开式的通项第 项为
知识准备
二项式定理和二项分布有什么联系？
在实际问题中，有许多试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能的结果.例如
n重伯努利试验的概念
掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上；
检验一件产品结果为合格或不合格；
飞碟运动员射击时中靶或脱靶；
医学检验结果为阳性或阴性；
……
上述试验都只包含两个可能结果.
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
雅各布·伯努利
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.例如：将一枚硬币掷n次
n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)同一个伯努利试验重复做n次;
(2)各次试验的结果相互独立.
n重伯努利试验的概念
解:
随机 试验 是否是n重伯努利试验 伯努利试验 重复试验的次数
(1)
(2)
(3)
例 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，看正面向上的次数.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.研究中靶次数
(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20次.观察取出的次品数
n重伯努利试验的概念
在n重伯努利试验中,"在相同条件下"等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响即,
(1)每次试验是在同样的条件下进行的;
(2)各次试验中的事件是相互独立的;
(3)每次试验都只有两种结果:发生与不发生;
(4)每次试验,某事件发生的概率是相同的.
n重伯努利试验的特征：
深化概念理解
练习 判断下列试验是否为n重伯努利试验
(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击
了10次,其中6次击中;
(3)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽
取5个球,恰好抽出4个白球;
(4)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回
的抽取5个球,恰好抽出4个白球.
不是
不是
是
是
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;
深化概念理解
而在n重伯努利试验中,我们关注某个事件A发生的次数X.
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.
伯努利分布（二项分布）的概念
例 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
析：X的可能取值为0,1,2,3.
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3)，
则A1，A2，A3相互独立，
中靶次数X的分布列：
伯努利分布（二项分布）的概念
追问1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击5次，中靶次数X=2的概率是多少？
追问2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击n次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
追问3：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X的概率分布列是怎样的？
伯努利分布（二项分布）的概念
在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，
则事件发生的次数的分布列为：
.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，
记作.
伯努利分布（二项分布）的概念
BC
(1)公式适用的条件：是n重伯努利试验
(2)公式的结构特征
（其中k = 0，1，2，···，n ）
公式意义理解
伯努利分布（二项分布）的概念
(其中k = 0，1，2，···，n)
X 0 1
伯努利分布（二项分布）的概念
二项分布
思考：对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.求：
(1)恰好出现5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5.
用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5).
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，
其中的伯努利试验是什么？
重复试验的次数是多少？
若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？
典例应用
典例应用
高尔顿板
弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton，1822年2月16日－1911年1月17日），是英国人类学家、生物统计学家、英国探险家、优生学家、心理学家、差异心理学之父，也是心理测量学上生理计量法的创始人，遗传决定论的代表人物，晚年受封为爵士。他是查尔斯·达尔文的表弟，深受其进化论思想的影响，把该思想引入到人类研究。
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
其中的伯努利试验是__________________________________.
重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立
定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________.
A发生的概率是________.
事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么
观察小球碰撞到小木钉后下落的方向
10
小球碰撞到小木钉后向右落下
0.5
典例应用
典例应用
小球最后落入格子的号码X
等于向右下落的次数
典例应用
X的概率分布图如下图：
则小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，
∴X~B(10, 0.5)，
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
课本P77-2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
(1)没有鸡感染病毒的概率；
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.
巩固练习
P81-3（改编）.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，质点向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动6次，分别求质点回到原点和质点位于4的概率.
巩固练习
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P(A)；
(2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
反思感悟
问题：假设随机变量XB(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
证明：若X~B(n，p)，则E(X)=np
二项分布的期望（均值）与方差
直接熟记：若X~B(n，p)，D(X)=np(1 p).
尝试证明这个恒等式
例2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
①求这位司机遇到红灯数的期望与方差；
②若遇上红灯，则需要等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差.
例1（P80-1）.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差．
例题解析
练习 设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若 ，则D(Y)＝_____.
解：由随机变量X～B(2，p)，
练习巩固
练习 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
①3局2胜制中“甲胜”的情况：
2:0——赛2局，甲连胜2局；
2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局；
②5局3胜制中“甲胜”的情况：
3:0——赛3局，甲连胜3局；
3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局；
3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局；
解法一
解法1符合比赛实际规则,比较容易理解,
但不符合二项分布的特征。
练习巩固
练习 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
练习巩固
①3局2胜制：不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3，0.6).
②5局3胜制：不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5，0.6).
解法二
解法2用二项分布求解,解法较简单,
但不易理解.
第1局 第2局 第3局 最终获胜者 解法1中P(甲胜) 解法2中P(甲胜)
甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 0.62 0.63
乙胜 0.62×0.4
甲胜
甲胜
0.62×0.4
甲胜 乙胜 甲胜
甲胜 甲胜 0.62×0.4
乙胜
练习 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
练习巩固
思考：为什么假定赛满3局或5局不影响甲最终获胜的概率？
以3局2胜制为例
当甲先胜2局时,第3局甲是胜是输并不影响甲最终获胜的概率.
这两个事件的概率之和为1
这两部分概率相同
练习 中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0 暂时领先．
(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；
(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．
练习巩固
练习 中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0 暂时领先．
(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；
(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．
练习巩固
所以X的数学期望
1.知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征.
(2)二项分布的概念及表示.
(3)二项分布的均值与方差.
2.方法归纳：公式法、数学建模.
3.常见误区：二项分布的判断错误.
探究内容 二项分布的性质（课本P81）
如果随机变量服从二项分布，记作.
.
对于不同的n和p的取值，绘制概率分布图如右图所示
观察图形，类比函数性质的研究，你能发现二项分布的哪些性质 提出你的猜想.
探究内容 二项分布的性质（课本P81）
记,观察图形我们发现:当由0增大到时,先增后减,在某一个(或两个)值处达到最大.二项分布当时是对称的,当时向左偏倚,当 时向右偏倚。
下面,我们利用分布列的表达式来研究的增减变化及最大值。
探究内容 二项分布的性质（课本P81）
当时, , 随值的增加而增加;
当时, ,
值的增加而减小;
如果为正整数,当时,,此时这两项概率均为最大值.
如果为非整数,而取的整数部分,则是唯一的最大值.
谢谢
7.4.1 二项分布
1.两点分布列
X 0 1
P 1－P P
2.二项展开式的通项第 项为
知识准备
二项式定理和二项分布有什么联系？
在实际问题中，有许多试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能的结果.例如
n重伯努利试验的概念
掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上；
检验一件产品结果为合格或不合格；
飞碟运动员射击时中靶或脱靶；
医学检验结果为阳性或阴性；
……
上述试验都只包含两个可能结果.
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
雅各布·伯努利
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.例如：将一枚硬币掷n次
n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)同一个伯努利试验重复做n次;
(2)各次试验的结果相互独立.
n重伯努利试验的概念
解:
随机 试验 是否是n重伯努利试验 伯努利试验 重复试验的次数
(1)
(2)
(3)
例 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，看正面向上的次数.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.研究中靶次数
(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20次.观察取出的次品数
n重伯努利试验的概念
在n重伯努利试验中,"在相同条件下"等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响即,
(1)每次试验是在同样的条件下进行的;
(2)各次试验中的事件是相互独立的;
(3)每次试验都只有两种结果:发生与不发生;
(4)每次试验,某事件发生的概率是相同的.
n重伯努利试验的特征：
深化概念理解
练习 判断下列试验是否为n重伯努利试验
(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击
了10次,其中6次击中;
(3)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽
取5个球,恰好抽出4个白球;
(4)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回
的抽取5个球,恰好抽出4个白球.
不是
不是
是
是
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;
深化概念理解
而在n重伯努利试验中,我们关注某个事件A发生的次数X.
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.
伯努利分布（二项分布）的概念
例 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
析：X的可能取值为0,1,2,3.
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3)，
则A1，A2，A3相互独立，
中靶次数X的分布列：
伯努利分布（二项分布）的概念
追问1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击5次，中靶次数X=2的概率是多少？
追问2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击n次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
追问3：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X的概率分布列是怎样的？
伯努利分布（二项分布）的概念
在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，
则事件发生的次数的分布列为：
.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，
记作.
伯努利分布（二项分布）的概念
BC
(1)公式适用的条件：是n重伯努利试验
(2)公式的结构特征
（其中k = 0，1，2，···，n ）
公式意义理解
伯努利分布（二项分布）的概念
(其中k = 0，1，2，···，n)
X 0 1
伯努利分布（二项分布）的概念
二项分布
思考：对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.求：
(1)恰好出现5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5.
用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5).
(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，
其中的伯努利试验是什么？
重复试验的次数是多少？
若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？
典例应用
典例应用
高尔顿板
弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton，1822年2月16日－1911年1月17日），是英国人类学家、生物统计学家、英国探险家、优生学家、心理学家、差异心理学之父，也是心理测量学上生理计量法的创始人，遗传决定论的代表人物，晚年受封为爵士。他是查尔斯·达尔文的表弟，深受其进化论思想的影响，把该思想引入到人类研究。
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
其中的伯努利试验是__________________________________.
重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立
定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________.
A发生的概率是________.
事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么
观察小球碰撞到小木钉后下落的方向
10
小球碰撞到小木钉后向右落下
0.5
典例应用
典例应用
小球最后落入格子的号码X
等于向右下落的次数
典例应用
X的概率分布图如下图：
则小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，
∴X~B(10, 0.5)，
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
课本P77-2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
(1)没有鸡感染病毒的概率；
(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.
巩固练习
P81-3（改编）.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，质点向左移动的概率为，向右移动的概率为，共移动6次，分别求质点回到原点和质点位于4的概率.
巩固练习
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P(A)；
(2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
反思感悟
问题：假设随机变量XB(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
证明：若X~B(n，p)，则E(X)=np
二项分布的期望（均值）与方差
直接熟记：若X~B(n，p)，D(X)=np(1 p).
尝试证明这个恒等式
例2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
①求这位司机遇到红灯数的期望与方差；
②若遇上红灯，则需要等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差.
例1（P80-1）.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差．
例题解析
练习 设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若 ，则D(Y)＝_____.
解：由随机变量X～B(2，p)，
练习巩固
练习 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
①3局2胜制中“甲胜”的情况：
2:0——赛2局，甲连胜2局；
2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局；
②5局3胜制中“甲胜”的情况：
3:0——赛3局，甲连胜3局；
3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局；
3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局；
解法一
解法1符合比赛实际规则,比较容易理解,
但不符合二项分布的特征。
练习巩固
练习 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
练习巩固
①3局2胜制：不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3，0.6).
②5局3胜制：不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5，0.6).
解法二
解法2用二项分布求解,解法较简单,
但不易理解.
第1局 第2局 第3局 最终获胜者 解法1中P(甲胜) 解法2中P(甲胜)
甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 0.62 0.63
乙胜 0.62×0.4
甲胜
甲胜
0.62×0.4
甲胜 乙胜 甲胜
甲胜 甲胜 0.62×0.4
乙胜
练习 甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
练习巩固
思考：为什么假定赛满3局或5局不影响甲最终获胜的概率？
以3局2胜制为例
当甲先胜2局时,第3局甲是胜是输并不影响甲最终获胜的概率.
这两个事件的概率之和为1
这两部分概率相同
练习 中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0 暂时领先．
(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；
(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．
练习巩固
练习 中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0 暂时领先．
(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；
(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．
练习巩固
所以X的数学期望
1.知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征.
(2)二项分布的概念及表示.
(3)二项分布的均值与方差.
2.方法归纳：公式法、数学建模.
3.常见误区：二项分布的判断错误.
探究内容 二项分布的性质（课本P81）
如果随机变量服从二项分布，记作.
.
对于不同的n和p的取值，绘制概率分布图如右图所示
观察图形，类比函数性质的研究，你能发现二项分布的哪些性质 提出你的猜想.
探究内容 二项分布的性质（课本P81）
记,观察图形我们发现:当由0增大到时,先增后减,在某一个(或两个)值处达到最大.二项分布当时是对称的,当时向左偏倚,当 时向右偏倚。
下面,我们利用分布列的表达式来研究的增减变化及最大值。
探究内容 二项分布的性质（课本P81）
当时, , 随值的增加而增加;
当时, ,
值的增加而减小;
如果为正整数,当时,,此时这两项概率均为最大值.
如果为非整数,而取的整数部分,则是唯一的最大值.
谢谢